基于核心素养的数学公式教学设计

谭骥

摘 要：两角差的余弦公式作为三角恒等变换公式中的“母公式”，其发现与推导过程极为重要，为后续两角和、二倍角等公式的生成提供方法借鉴。教师教学“两角差的余弦公式”时，可以引导学生在探究中发现并体悟两角差的余弦公式，将学生思维引向深层，凸显数学公式学习的深度，在公式的主动生成中发展学生的数学学科核心素养。

关键词：数学公式；教学设计；核心素养；两角差的余弦公式

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：0450-9889（2024）05-0129-04

数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。课堂是发展学生核心素养的主阵地，笔者现以“两角差的余弦公式”教学设计为例，探讨在数学公式教学中发展高中生数学学科核心素养的策略。

一、教学内容分析与教学目标确立

“两角差的余弦公式”来自人教版高中数学必修一第五章5.5三角恒等变换的第一课时，本课属于公式研究型课，介绍了两角差的余弦公式，这个公式是其他三角恒等变换的逻辑起点。与传统的特殊角关系不同，该公式针对的是任意两个角，它们的顶点都是坐标原点，但终边位置可以是任意的。课本利用圆的旋转不变性和两点距离公式来建立坐标之间的联系，推导了该公式。这种方法简洁明了，与诱导公式的推导方法一脉相承，体现了知识之间的联系，因此本课在三角函数教学中起到承上启下的作用。

从知识储备方面看，学生已经学习了弧度制、锐角三角函数和三角函数的诱导公式，这些知识有助于他们理解和接受两角差的余弦公式。此外，学生在本单元的学习中已经有了用单位圆证明诱导公式的经历，他们能够将此方法类比和迁移到本节课。然而，学生在认知方面存在一些障碍：一是对两角差余弦展开式感到困惑，二是在证明过程中容易忽视“任意性”。

基于上述分析，笔者从知识、能力和素养三个方面确立本课教学目标如下。在知识方面，学生经历“提出问题—猜想结果—论证思路—解决问题”的过程，体会单位圆法证明的通性；理解两角差的余弦公式本质是圆的旋转对称性的解析表示。在能力方面，学生经历从特殊到一般的过程，通过观察、实验、猜想和证明，提升分析、归纳、数形结合与合作交流的能力；经历推导两角差的余弦公式的过程，领悟两角差的余弦公式的本质，掌握两个角的差角与某一个角三角函数之间的内在联系，能运用公式进行简单的恒等变换，经历从提出问题到解决问题的过程，提升運用圆的性质证明命题的能力。在素养方面，学生能从特殊情形中发现一般结论并合理猜想目标，对任意角α、β及α-β进行界定，发展数学抽象素养；经历从特殊到一般进行猜想以及严谨论证过程，发展逻辑推理素养；在求解cos 15°的过程中构建几何模型，在单位圆上找出角的始边与终边，发展直观想象素养；通过推导与运用公式发展数学运算素养。

二、以解决问题为主线的教学过程

（一）创设情境，提出问题

教师根据用无人机运送爱心食物的场景创设情境，引发学生思考。教师提出问题：已知点A对点C的俯角为60°，点A对点B的俯角为15°，AB距离28米，计算无人机从起始点A到达小红家点C的距离AC是多少米。这个情境设计贴近生活，学生学习兴趣浓厚，他们能够在情境中将数学知识与现实问题联系起来。同时，问题的设置能够引发学生对角度和距离的思考，并促使他们运用已学知识解决问题。

“创设情境，提出问题”环节是引导学生进入学习的起点，教师需要在本环节通过情境引入和问题提出，激发学生的学习兴趣，引发学生思考，使他们能够主动思考和解决问题，主动建立已有知识与本课所学知识的联系。同时，通过将数学知识与实际问题相结合，帮助学生认识到数学在现实生活中的应用价值，培养他们的数学思维和解决问题的能力。

（二）实验操作，合理猜想

为解决教师提出的问题，学生提出了两种思路。思路一是通过构造底角为15°的等腰三角形（如图1所示），并进一步建构30°、60°的特殊三角形来得出cos 15°；思路二是通过巧拼三角形（如图2所示），让45°与30°作差，构造出15°来得出cos 15°。两种思路都涉及特殊三角形构造和运用。

接着，学生根据思路进行实际操作。他们使用尺子、量角器、计算器等工具辅助操作和测量，运用三角函数、旋转对称性等知识进行推导和计算，验证他们的猜想或推理的准确性。

最后，教师指导学生记录实验操作的步骤、所得数据和结果，并进行分析总结。学生通过比较实验结果与猜想，进一步探究几何关系的规律和性质。如果实验结果与猜想一致，说明猜想正确，可以得出结论；如果实验结果与猜想不符，则重新思考并调整猜想，再次进行实验操作。通过建构特殊几何模型与巧拼三角板，学生体会到用“形”来解“数”的价值，发展了几何直观和逻辑推理等数学学科核心素养。

这个环节通过数学实验引发学生的兴趣和好奇心，培养学生的实践能力、团队合作与交流能力，为将所学知识运用于解决实际问题打下坚实基础。

（三）严谨论证，深化认知

教师首先抛出一个问题：由诱导公式满足猜想，就能够说明猜想一定是恒成立的吗？这个问题引导学生思考：即使某个公式在特定情况下成立，是否能够推广到所有情况下都成立。教师接着追问：如何进行严谨论证？这个问题引导学生思考如何进行严密的推导和论证。学生可以通过数学证明、逻辑推理、特例分析等方法来解释为什么这些论证是严谨和可信的。接着，学生通过证明三角形全等公式来验证猜想。在这个过程中，学生需要严谨地运用几何性质和其他数学知识，确保推导的正确性和严密性。此外，学生还需要特别注意论证过程与类比之间的区别。类比是将一个问题和已知情况进行对比的推理，而严谨论证则需要严格的逻辑推理和数学证明，不能简单地依赖类比推理。最后，学生需要总结论证过程中的关键步骤、所用公式和推理方法以及得出的结论。

这个环节旨在让学生加深对知识的理解和运用，培养他们严谨的逻辑思维，同时强化他们对数学概念和几何关系的掌握。学生之间互动、合作，从不同的角度思考问题，提高了分析问题和解决问题的能力。

（四）学以致用、加深理解

在这一环节，教师设计了四个问题。

1.证明：（1）cos[π2-α]=sin α；（2）cos[π-α]=-cos α。

解答本题需通过计算和推導，考查学生对所学知识的理解和应用能力。学生可以运用数学公式、几何性质等进行计算和推导，并得出结论。这个过程可以帮助学生加深对公式的理解，并提高他们运用知识的能力。

2.已知cos α=[-35，]α∈[，][[π2π]]，求cos[π4-α]的值。

此题要求根据给定的条件求解未知量的值。学生需要运用数学方法和技巧进行计算和推理，进而得出正确的答案，同时需要注意论证过程的严谨性和准确性，清晰地展示每一步的推理和计算过程，并提供详细的解释和论证。通过解决这个问题，学生能够加深对公式和解题方法的理解，并提高问题解决能力。

3.变式：已知cos[π4-α]=[210，]α∈[，][[π2π]]，求cos α的值。

问题3是问题2的变式，是在问题2的基础上进行的修改和扩展，要求学生运用相同的知识和方法来解决相应问题。通过解决变式问题，学生可以进一步巩固和拓展他们的知识，提高问题解决能力和思维灵活性。

4.你能利用图3验证公式[Cα-β]吗？

学生解答此题时可以利用给定的图示和已知条件进行几何构造和计算。通过这个过程，学生可以深入理解公式的推理过程和几何意义，并体会到数学的美妙及其应用的广泛性。教师还可以提问学生是否能够根据图示推导出两角差的正弦公式，激发学生的潜能，鼓励他们在观察和分析中发现新的数学关系和规律。

（五）梳理总结、反思升华

在这个环节，教师首先利用多媒体技术展示一张流程图，图中呈现了本节课的教学逻辑、学习步骤和关键点，帮助学生更加清晰地理解和掌握本节课的教学内容。在流程图的引导下，学生可以看到本节课的知识结构和学习路径，了解各个环节之间的逻辑关系。这有助于学生将所学的知识点整合起来形成知识体系。同时，学生也可以根据流程图梳理本节课所学的研究步骤。流程图清晰地展示了学习过程中的具体步骤和操作，帮助学生厘清思路，掌握解题的方法和技巧。学生可以根据流程图进行复习和回顾，加深对每个步骤的理解和记忆。除了梳理知识和学习步骤，流程图还可以帮助学生反思和升华本节课的学习经验。学生可以通过观察流程图，回顾整个学习过程，思考自己在学习中遇到的困难、解决问题的方法和策略，以及学习的收获和体会，发现自己的不足和改进的空间，进而提高学习效果和学习能力。

（六）布置作业，拓展巩固

在本环节中，教师先呈现一道思考题：你还有其他方法证明两角差余弦公式吗？这个问题能够再次激发学生的探究兴趣。通过思考和讨论，学生可以拓宽自己的思维，探索不同的证明方法，培养创新思维和问题解决能力。接下来，教师布置必做题和选做题。必做题包含一道只考查两角差余弦公式知识的题目，如计算题，帮助学生巩固对该公式的理解。选做题为一道跨学科题目，描述了一个物理实验，涉及天花板上固定绳子、悬挂的小球和倾斜的平面。学生需要根据给定的条件，计算斜面对小球的支撑力和绳子对小球的拉力。这道题目将物理和数学有机结合，让学生体会到数学和物理之间的密切联系。通过完成这样的作业，学生能够运用所学的数学知识解决实际问题，发现数学在物理中的应用。同时，这样的作业也促进了学科之间的关联学习，培养学生的跨学科思维能力。在完成作业的过程中，学生需要进行思考、分析和计算，进一步提升他们的问题解决能力和推理能力。此外，学生还需要书面表达自己的解题思路和结果，发展表达能力和沟通能力。

三、关于数学公式研究型教学的思考

（一）突破思维定式，提炼教学兴趣点

在教学过程中融入趣味性因素，对提高课堂教学效率具有促进作用。但教师要潜心思考：趣从何来？怎么营造出适切的教学氛围？如果教师不认真思考推敲，只是不假思索地照本宣科，很难引发学生渴求知识的兴趣点。例如教学“两角差的余弦公式”，若教师照搬教材，形同于直接要求学生记背公式。这样一来，知识变成了冰冷的数字与符号，学生“知其然但不知其所以然”，必然会影响对数学知识的深刻理解和灵活运用。如何破解这一局面，笔者提出三点教学建议。首先，转换教学视角，课前主动提炼兴趣点。例如在课堂导入环节，教师结合本节课的真实需要，选择能使学生集中注意力听讲的事例。其次，机智教学，现场随机提炼兴趣点。例如开展小组合作、动手操作和探究等学生喜闻乐见的活动。最后，将其他学科知识融入数学学科教学中激发学习兴趣。

（二）重视学生思维，创设能力生长点

数学学科核心素养的提升需多方面共同协调并进，其中最根本的一点就是数学基本技能的生成。不一样的学生，能力的形成速度不同，形成的能力结构也不尽相同。因此，教师要把握好学生思维活动的跳跃点，创设能力生成点。例如教学“两角差的余弦公式”，关于求cos 15°的值大小这一问题，有些学生已经熟知大部分解题要点，但不一定知道数值[6+24]是如何得出的。针对这一棘手问题，教师要放慢教学脚步，让学生亲自计算cos 15°。学生通过构造特殊三角形和巧拼三角板，计算出cos 15°的大小，该环节便是学生直观想象能力和动手操作能力的生长点。

（三）紧扣课堂现场，凝聚思维顿悟点

在课堂学习中，学生在某一节点所获得的思维顿悟是难能可贵的。这些顿悟点看似随机，但是对扫清思维障碍、疏通思维疑点、厘清思维脉络起到关键作用。因此，教师在课堂教学中，要有意识地为学生创造顿悟时机。例如在本节课教学中，学生虽然掌握了cos 15°=cos （45°-30°）=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°，但是如何将单位圆的旋转对称不变性这一解决问题的核心知识点迁移到本节课的学习中，是需要教师在教学中聚焦并突破的难点之一。因此，前边研究诱导公式的经历和经验就是启发学生思维顺利进阶的顿悟点。

（四）勇于舍去完美，诱导最新发展点

大多数教师会情不自禁地追求完美的课堂，尽可能讲遍所有概念，讲完所有题目，教会所有技巧和方法，讲透所有数学思想，等等。事实上，收获完美的课堂既不现实，又没必要。数学概念、定理、推论的发展历程本身就辩证地说明了科学本身是变化的，学生的身心发展也是不断变化的，教师应该顺应教学规律，允许学生在掌握知识等方面有个性化发展，允许不同学生在学习收效层次上有差异。诚然，教师教学最重要的意义在于帮助学生获得最新发展的可能。其实，在本节课教学中，证明两角差的余弦公式的方法有很多，教师不可能将所有能搜集到的方法讲授给学生，而是要适度取舍，学会放手，允许课堂有“瑕疵”。最终的目标是激发学生站在现有的基础上获得进一步的发展。

注：本文系广西教育科学“十四五”规划2022年度教育评价改革专项课题“高品质课堂下中学数字资源应用环境四维评价体系的构建及应用研究”（2022ZJY409）、南宁市教育科学“品质课堂”建设专项课题“双新背景下高中数学绿色课堂的实践研究”（2022PZKT030）的研究成果。

（责编 刘小瑗）