运用一题多变探究与n2有关的数列求和问题

⦿ 山东省平度市第九中学 邱 颖

1 题目及解析

2 变式探究

变式1已知an=(-1)n·n2,求数列{an}的前n项和Sn.

解：因为Sn=-12+22-32+42-……+(-1)nn2,于是有下列两种情况.

评注：记an=(-1)n·n=(-1)n·bn,此题可以看成将其中的bn=n换成了bn=n2.此时,依旧类比an=(-1)n·n求和的处理方法,通过并项法且相邻两项运用平方差公式,构造出一个新的等差数列求和问题,需要注意对项数n进行讨论.

变式2已知an=n2·2n,求数列{an}的前n项和Sn.

解：因为

Sn=12·2+22·22+……+n2·2n,

①

所以

2Sn=12·22+22·23+……+n2·2n+1.

②

①-②,得-Sn=12·2+(22-12)·22+……+[n2-(n-1)2]·2n-n2·2n+1=1·2+3·22+……+(2n-1)·2n-n2·2n+1.

所以-2Sn=1·22+3·23+……+(2n-1)·2n+1-n2·2n+2.

评注：记an=n·2n=bn·2n,此题可以看成将其中的bn=n换成了bn=n2.因此,依旧类比an=n·2n求和的处理方法,看能否利用错位相减法求和.结果发现可以应用两次错位相减法求和解决,究其原因就是n2-(n-1)2=2n-1,这样减一次就可以构造出通项为等差数列乘等比数列的形式,再减第二次就可以用错位相减法求和了.

变式3已知an=n2[(-1)n+2n],求数列{an}的前n项和Sn.

解：由题意,得an=(-1)n·n2+n2·2n,接下来用分组求和的方法求数列{an}的前n项和Sn即可.由变式1和变式2,可得

评注：此题融合了变式1和变式2,先对an=n2[(-1)n+2n]进行适当变形处理,再运用分组求和法、并项求和法和两次错位相减法求和.

解：当n是偶数时,Sn=-1·2+22·2-32·23+42·23-……-(n-1)2·2n-1+n2·2n-1=(22-12)·2+(42-32)·23+……+[n2-(n-1)2]·2n-1=(2+1)(2-1)·2+(4+3)(4-3)·23+……+[n+(n-1)][n-(n-1)]·2n-1,即

Sn=3·2+7·23+11·25+……+(2n-1)2n-1.

而22Sn=3·23+7·25+11·27+……+(2n-1)2n+1,所以可得

评注：此题综合性极强,对于分段数列可以采用分组求和法对奇数项和偶数项分别求和,但是这样在求奇数项和与偶数项和时都需要运用两次错位相减法,非常繁琐,并且一个题目考查同一个方法两次似乎也没有必要,所以可以考虑先并项求和,再用一次错位相减法即可.当然,依旧不要忘记对项数n进行讨论.

3 教学思考

3.1 一题多变的整体性

一题多变主要是通过改变原题目的条件或结论,达到让学生更深刻理解数学知识的目的.但一题多变不是大杂烩,不能随便将一些毫无关系的题目进行拼凑,而是要结合考查的知识进行整体化的设计.比如上述变式1到变式4,从这几个题目中可以看到,与n2有关的求和问题,既可以与裂项相消法及并项求和法相结合,也可以与错位相减法及分组求和法相结合,涵盖了数列求和的主要方法,体现了设计的整体性.这样有利于学生建立起新知与旧知的联系,且学会思考问题的方法,以后做题时就不会手足无措.与n2有关的数列求和问题,实际上最终还是转化为熟悉的数列求和方法,经常需要对n为奇数和偶数进行分类讨论.

3.2 一题多变的层次性

一题多变应能够体现知识的一定规律和关联,便于学生思考问题.用相同、相近、相似的一系列题目培养学生的观察能力,了解数学从简单到复杂、从一般到特殊的探索规律.从变式1到变式4,除涵盖主要的求和方法外,每个变式的难度是逐步递增的,设计的层次性明显.如,原始题目是常见的裂项相消法求和,通过分析数列通项公式的结构,对常见的与等差数列有关的求和问题进行变式,从变式1的并项求和法,到变式2的两次错位相减法求和,到变式3的分组求和法、并项求和法和两次错位相减法求和的综合使用,再到变式4对之前的求和方法进行优化选择.这样,从变式1到变式4,学生会感觉像打游戏闯关一样,每一次的变式都比之前更有挑战性,也更能激发进一步解决问题的斗志.这样不断地吊足学生的口味,从而激发学生学习的兴趣.

4 结束语

总之,一题多变的方向有很多,变化的过程也很多,但不管怎么变,只要把握好学情,从学生的认知出发,一定可以提升学生的数学思维品质和核心素养.