信息技术与高中数学深度融合的教学设计——以“正弦函数、余弦函数的图象”为例

⦿ 太原师范学院 王燕荣 李 者 黄铭超

1 教学准备

1.1 解读课程标准,深入分析教材

新人教A版高中数学教科书必修第一册第五章“三角函数”单元,是按照“任意角和弧度制”“三角函数的概念”“诱导公式”“三角函数的图象与性质”“三角恒等变换”“函数y=Asin(ωx+φ)”“三角函数的应用”的结构编排的[1].其中,“正弦函数、余弦函数的图象”既是对前面所学“任意角和弧度制”“三角函数的概念”“诱导公式”的深化应用,也是后面学习性质与应用的基础,具有承上启下的作用.

新人教A版高中数学教科书与旧人教A版教材比较,“正弦函数、余弦函数的图象”内容的编排变动较大.主要体现为:(1)在旧版教材中,首先利用简谐实验使学生对正弦函数、余弦函数图象有一个直观印象,然后利用正弦线画出正弦函数图象.而在新版教材中,是先借助正弦函数的定义找到画一般点的方法,然后由此画出正弦函数图象,其中并未提及正弦线.(2)旧版教材中没有明确涉及信息技术的运用,而在新版教材中明确指出了利用信息技术可以画出足够多的点,用光滑曲线相连即可得到较精确的正弦函数图象.(3)“五点法”出现的顺序不同.在旧版教材中是学生得到了正弦函数、余弦函数图象后才引入“五点法”,而在新版教材中则是学生得到正弦函数图象后引入“五点法”,然后再画余弦函数的图象.

1.2 精准定位学情

在此前,学生已学习了函数的概念及性质,进一步研究了幂函数、指数函数、对数函数的概念、图象、性质和应用,建立了研究函数的路径,认识到单位圆是研究三角函数的重要工具,掌握了用“描点法”画函数图象的操作技能,积累了丰富的经验.但是,利用定义的几何意义绘制函数图象是第一次,在思维习惯上存在障碍,因此,对正弦函数图象的构造和认识是难点.

1.3 制定合理的教学目标

(1)经历探索正弦函数图象画法的过程,体会到利用正弦函数定义的几何意义画正弦函数图象的合理性,充分感受信息技术运用的必要性和优越性,掌握特殊到一般的思维方法,提高分析和解决问题的能力,培养数学抽象、直观想象、逻辑推理素养.

(2)感受利用“五点法”画函数图象的便捷性,掌握“五点法”,并能利用“五点法”绘制正弦函数图象,丰富作图经验.

(3)能用图象变换的方法由正弦函数的图象绘制余弦函数的图象,体会诱导公式的作用及转化和数形结合的思想,体味数学知识间的内在联系,培养普遍联系、透过现象把握本质等辩证唯物主义观点.

2 “正弦函数、余弦函数的图象”教学活动设计

2.1 搭建脚手架,引出学习课题

问题1回忆幂函数、指数函数、对数函数的学习过程,你能概括它们研究的基本思路吗?

问题2三角函数作为一类新的基本初等函数,研究其定义后下一步该研究什么?

学生联想到前面所学的函数,研究思路均是从实际问题中获得变量之间的关系,归纳抽象出函数的概念,然后画出函数的图象,继而根据图象研究函数性质,最后进行应用,形成函数学习的研究路径,如图1.

图1

按照上述研究路径,学生自然想到学习三角函数的概念之后,应该研究正弦函数、余弦函数的图象,由此引入学习课题.

设计意图：以单元教学设计理念为指导,通过设置问题逐步激活学生原有的知识与经验,归纳总结形成函数学习的研究路径,并借助PPT将研究函数的思路以知识结构网络图的形式直观呈现给学生,体现学科内容的结构性、整体性与顺序性,同时帮助学生建立原有知识与新知识的联系,把握新知识的生长点,形成整体观念.

2.2 紧扣学生现实,制造疑难和困惑

问题3如何研究正弦函数y=sinx的图象?

学生根据先前画图象的经验,可以通过“描点法”画函数图象.

教师追问:怎样描点?学生认为可以取特殊点.

学生取点出现的可能情况有以下几种:

教师追问:描点的过程中有没有遇到困难?

设计意图：借助学生已有的作图经验,让其亲自经历动手描点的过程,感受到图象的精确度会受每个点的精确度的影响,进而产生尽可能要精确描点的意愿,引发学习的内在需求.

2.3 依托数学思考,感受信息技术运用的优势

教师引导:刚才通过粗略计算描点不够准确,怎么办?追本溯源,回归到正弦函数的定义,看看有没有发现?

教师引导:研究问题,先特殊再一般,刚才研究了特殊点在单位圆中对应的几何量,那么对于任意的一点(x0,sinx0)如何在单位圆中找到对应的几何量呢?

学生自然想到借助单位圆能够明确x0和sinx0在单位圆中对应的几何量.

教师追问:如何精确描出任意点(x0,sinx0)?

学生感到有困难,让单位圆在纸上滚动不实现,只能粗略估计横坐标x0的位置,这不是又不精确吗?

教师不失时机地利用几何画板动态展示滚动与平移过程,具体步骤为:在单位圆上任取一点B,∠AOB的弧度数为x0,将单位圆在x轴上滚动,得到点的横坐标x0,其纵坐标与点B的纵坐标相同,将MB平移到x0的位置,得到点T,如图2.

图2 描点T(x0,sin x0)

设计意图：通过教师的引导、追问,引发学生不断深入思考,分散学习难点,使学生感受到传统教学手段不易实现,进而体味到信息技术运用的必要性和优越性,发展数学抽象、直观想象素养.

2.4 借助信息技术,促进数学思维的深层发展

问题5我们已经学会了精确绘制正弦函数图象的某一个点,如何画出函数y=sinx的图象呢?

学生马上会想到,可以运用几何画板精确画出问题3中情况1和情况2所取的点,然后用光滑的曲线连接就可以得到y=sinx的图象,如图3、图4所示.

图3

图4

教师追问:大家都这样认为吗?

教师引导:对比图3和图4,大家发现它们有哪些共同之处?

学生发现:形状相同,取点均在区间[0,2π]上.

教师追问:正弦函数的定义域是什么?

学生注意到正弦函数的定义域为实数集.

教师追问:画出了正弦函数y=sinx在区间[0,2π]的图象,你能想象出正弦函数在整个定义域上的图象吗?若能,依据是什么?

学生结合前面学过的诱导公式一,将y=sinx,x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次平移2π个单位长度),就可以得到y=sinx的图象.师生总结描述正弦曲线.

设计意图：通过运用几何画板作图以及观察图3和图4的异同和取点的区间,引发学生的认知冲突,促使学生深度思考,进而培养思维的深刻性和批判性,提高思维品质,直观感受正弦函数图象的周期性变化,发展逻辑推理素养,再次体味到信息技术运用的优越性.

问题6在精确度要求不高的情况下,如何快速画出正弦函数在区间[0,2π]上的图象?

学生观察图3和图4,发现:图3比图4方便,仅需五个点就可以快速画出正弦函数在区间[0,2π]上的图象.

教师追问1:少于五个点可以吗?

教师追问2:五个点可以任取吗?

学生经过动手实践,体会到少于五个点和任取五个点会出现不能很好描述正弦函数图象走势的情况.

教师总结:在精确度要求不高时,这五个点就是画正弦函数图象的关键点,描点后用光滑的曲线连接起来,就能得到正弦函数在[0,2π]的简图(信息技术展现),这种方法叫做“五点法”,非常实用简便.

设计意图：透过现象把握本质,通过对图3和图4的比较发现绘制正弦图象的五个关键点,运用信息技术实现光滑曲线的连接过程,将“五点法”作图步骤可视化,深化学生对正弦函数图象形状的认识,体味数学学科对简洁美的追求.

2.5 采用类比迁移,引发自主探究学习

问题7如何作出余弦函数y=cosx的图象?

学生根据先前的作图经验,给出如下方法:

(1)类比正弦函数,借助单位圆.

(2)精确度要求不高的情况下,利用“五点法”作图.

(3)利用诱导公式,建立正弦函数与余弦函数的关系.

教师引导:学习知识就要学会横向联系和纵向联系,类比正弦函数图象的画法研究余弦函数图象的画法非常好!

对于前两种方法给与肯定,不具体展开.

图5 y=sin x和的图象

教师追问1:你发现了什么规律呢?

设计意图：将作余弦函数图象的问题抛给学生,学生类比正弦函数图象的作图过程,通过独立思考得到不同的作余弦函数图象的方法.通过设计问题串引导学生深入思考,应用信息技术展示已知图象与未知图象的联系,使学生感受图象变换的奥妙,同时加强“五点法”的巩固与应用.整个过程中充分展示了信息技术与数学思考互相促进发展的过程,使信息技术的运用不再流于单纯的演示,而是目的明确、有效促进学生数学思维深层发展的必然过程;同时数学思维的不断深入,离不开信息技术动态直观的演示,有助于学生更好地理解数学知识.

2.6 构建知识网络,提升数学核心素养

问题8本节课你有哪些收获?

学生回答:

(1)学会了绘制正弦函数、余弦函数的图象,明白画函数图象的方法不唯一,有“五点法”“图象变换法”“定义法”.

(2)感悟了数形结合、类比和转化的思想方法,以及分析问题常用到的特殊到一般、分析、比较等思维方法.

(3)真正感受到了信息技术的功能,尤其是动态性和直观性.

教师与学生共同整理研究正弦函数、余弦函数的思路并构建知识结构网络图,如图6.

图6

设计意图：学生的学习是知识增长、能力提升和情感发展的过程,通过对学习的反思,促使学生形成新的数学认知结构,能够从整体把握研究函数的一般方法,实现从“授之以鱼”过渡到“授之以渔”,使学生获得良好的情感体验,从“要我学”逐步转变为“我要学”,进而实现“我会学”,培养数学核心素养.

3 结束语

合理运用信息技术可以辅助数学教学,不仅可以加强数学知识的发生发展过程,加深对数学概念的理解和认识,体现知识之间的逻辑联系,更能体现以“独立思考、合作交流、启发引导”为特征的教与学的方式.数学教学与信息技术的深度融合不是一蹴而就的,需要不断摸索、创新和反复实践检验.