立足经验生长 辅以技术支持——GeoGebra环境下“离心率与渐近线”的教学

⦿ 浙江省诸暨市滨江初中 石雨卓

对于圆锥曲线的教学,人教A版教科书类比初等函数,“同构”研究方法、内容和过程,形成如图1所示的研究流程.

图1 圆锥曲线研究流程

教科书的这一设计兼顾了三种圆锥曲线的“个性”与“共性”,让学生明确学习方向,同时搭建了新旧知识间的联系,使学生在学习过程中形成数学研究思路,提炼基本活动经验.

1 问题提出

在几何性质的研究中,教科书采用“先通过几何直观感知图形,后通过坐标代数验证性质”的思路展开.由于较难精准画出圆锥曲线的图形,教科书多次采用GeoGebra等信息技术进行探究式教学,但在实际教学中出现了以下问题:

(2)在研究双曲线的几何性质时,学生基于椭圆的研究经验,提出双曲线范围、对称性、定点和离心率的研究内容和思路,并未联想到渐近线;

因此,为了使学生成为课堂真正的“主角”,基本活动经验得以自然生长,笔者对于椭圆与双曲线的离心率以及双曲线的渐近线教学作出如图2的设计:

图2 椭圆的离心率、双曲线的离心率与渐近线教学流程

2 椭圆的“离心率”教学

例1请根据所学知识,画出下列曲线方程所表示的大致图形,并找出它们之间的区别与联系.

生:如图3,两个椭圆的长轴长一样,短轴长不一样,椭圆C2比椭圆C1更扁.

图3

思考1：椭圆的形状大小与椭圆的哪些量有关?如何设计实验?

生:椭圆的形状和大小与椭圆长轴长2a以及短轴长2b有关.

图4

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生:当m∈(0,25)时,图形是焦点在x轴的椭圆,且随着m的增大,椭圆的长轴不变,短轴变长,椭圆更圆;当m=25时,图形是以原点为圆心,5为半径的圆;当m∈(25,+∞)时,图形为焦点在y轴的椭圆,且随着m的增大,椭圆的短轴不变,长轴变长,椭圆更扁.

图5

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生:随着n的增大,椭圆的形状不变.

思考3：如何在例1的图形中找到椭圆的焦点?

生:对于椭圆C1,直接通过c2=a2-b2计算得到;而对于椭圆C2,则以椭圆上顶点B2为圆心,OA2为半径作圆,与x轴的交点即为椭圆的焦点.如图6.

图6 例1中的椭圆及其焦点

思考4：发现两个椭圆的焦距也不一样,那么如何通过a与c的关系刻画椭圆的扁平程度?

3 双曲线的“离心率与渐近线”教学

生:研究双曲线的范围、顶点、对称性和离心率.(此处,学生易得双曲线相关性质,并证明.)

对于双曲线的顶点,若令x=0,则y2=-b2,方程无实数解,即双曲线与y轴没有交点,但仍将B1(0,-b),B2(0,b)画在坐标系中,类比椭圆得到一个相切矩形,双曲线落在矩形外的左右两侧(如图7).

图7

生:保持a=1不变,控制b的大小,随着b的增大,离心率e也随之增大,如图8.观察双曲线的形状特征及变化.

双曲线形状演示

教学说明：在类比椭圆进行双曲线几何性质的研究时,学生自然想到了对双曲线的范围、顶点、对称性和离心率.为了让学生更好地观察双曲线“渐近线”的特征,笔者仍以类比的方法,引入相切矩形,使学生自然观察到“渐近线”,理解椭圆与双曲线之间的“共性”与“个性”.

4 教学反思

4.1 立足经验生长

4.2 辅以技术支持

“工欲善其事,必先利其器”,在探究活动中合理使用GeoGebra进行动态实验,不仅可以使原本枯燥乏味的数学知识变得更加生动形象,更能促进学生养成动手操作、观察猜想、归纳验证、辨析修正的学习习惯.因此,笔者在探究圆锥曲线的几何性质中通过GeoGebra的动态实验,将原本枯燥单调的圆锥曲线变得活泼生动且富有表达力,拉进了学生与解析几何的距离.同时,笔者也注重学生的主体地位和技术的辅助角色,让学生自主设计动态实验,使GeoGebra成为学生探究数学知识的有力工具,从而更好地理解圆锥曲线的几何性质,深入本质,促进数学思维品质的发展,以便更好地面对时代竞争.