以“圆锥曲线”教学为例谈数形结合思想的渗透

⦿ 江苏省靖江市第一高级中学 闻 君

数形结合将抽象思维转化为形象思维,从而实现抽象、复杂问题直观化、形象化,凸显数学本质,促进学生分析和解决问题能力的提升[1].数形结合实现了“数”与“形”相互沟通,其为数学学习提供方向,有利于数学能力和数学素养的发展与提升.

“圆锥曲线”既是高中数学的重点,也是教学难点,还是高考的考点,其在高中数学教学中的地位和价值是不言而喻的.在“圆锥曲线”教学中,教师中应该重视渗透“数形结合”思想,以此借助图形的形象、直观激发学生的学习兴趣,加深相关知识的理解,帮助学生突破教学的重难点,提高学生应用相关知识解决问题的能力.那么在圆锥曲线教学中,如何发挥数形结合思想方法的优势,以助学生更好地把握知识,提高教学有效性呢?以下笔者结合自己的教学经验谈几点粗浅的认识,供参考!

1 巧借数形结合,促进知识理解

高中范围内圆锥曲线主要包括椭圆、双曲线和抛物线这三大板块,这三大板块的内容具有一定的抽象性和相似性.在日常教学中,若教师直接呈现相关概念、结论等让学生熟记,很容易造成混淆,从而影响解题效果和学习信心.基于此,在研究定义、性质等相关内容时,教师不妨渗透数形结合思想,以此充分发挥图形直观的优势,帮助学生在脑海中形成清晰的知识脉络,建构完善的知识体系[2].

例如,在学习“椭圆”的定义时,为了让学生更好地理解椭圆的定义,教师可以先引导学生将文字语言转化为符号语言——|MF1|+|MF2|=2a(其中|F1F2|<2a),在此基础上,借助图形来观察△MF1F2,并引导学生利用“三角形的三边关系”去理解定义,以此加深对“|F1F2|<2a”的理解.学习了双曲线的定义后,教师可以用同样的方式让学生理解,为什么定义中强调“|F1F2|>2a”.这样通过文字语言、符号语言和图形语言的相互转化,学生脑海中有了图形和定义,日后在研究圆锥曲线的标准方程时,自然可以借助图形获得等量关系,从而轻松地实现由“形”到“数”的转化,增强学习信心.

又如,在教学“抛物线的定义”时,教师可以利用几何画板进行演示,让学生体会“数随形动”,借助几何直观获得其中的数量关系,得到抛物线的定义.这样借助形使抛物线的定义更加生动形象,更易于学生理解和掌握,以便学生建立关于抛物线的图形和数量关系的知识体系,为数学知识的应用打下坚实的基础.

2 巧借数形结合,直观把握性质

在日常教学中发现,学生能够快速地求出圆锥曲线的标准方程,但是在描述各量之间的关系,并用蕴含其中的数量关系解决问题时,部分学生常感无从下手.究其原因就是学生的脑海中并未建立直观图形,这样学生在表述其中蕴含的数量关系时就显得缺乏逻辑性和层次感.基于此,教学中,教师若能借助图形将其中蕴含的数量关系直观地表示出来,定能达到事半功倍的效果.

例如,椭圆标准方程中引入a,b,c三个量,教学中教师不仅要让学生知道相关的量分别代表的几何意义,还要提供机会让学生去提炼其中的等量关系.在实际教学中,为了让学生更好地把握知识,教师给出图1～4所示的图形让学生观察、抽象.如对于图1,M是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,则有|MF1|+|MF2|=2a;对于图2,若椭圆的长轴端点分别为A,B,F1,而F2为椭圆左、右焦点,则|AF1|+|AF2|=|AF1|+|BF1|=2a;对于图3,若椭圆短轴端点是C,D,则|CF1|+|CF2|=2a,|CF1|=|CF2|=a;对于图4,结合勾股定理,易得a2=b2+c2.这样借助图形的直观可以帮助学生更好地理解其中蕴含的数量关系,从而为解题带来便利.

图1

图2

图3

图4

学习了圆锥曲线的相关性质后,教师不要急于让学生去记忆,应该尝试引导学生借助图形去分析、去抽象、去感悟,这样可以使圆锥曲线的性质更加直观、形象,以此帮助学生直观化地把握性质,有效提高解题效率和解题准确率.

3 巧借数形结合,将几何问题代数化

在学习数学的过程中,既要借助形的直观来理解数,也要用数的严谨分析形,通过形与数的相互转化,形成正确的解题思路,提升学生分析和解决问题的能力.

例如,直线与圆锥曲线的位置关系是高考的一个重要考点.在研究位置关系时,若仅从形的角度去观察,显然不具说服力,为此在研究位置关系时,需要将几何问题代数化,运用代数知识来解决.在研究位置关系时,教师可以鼓励学生联想研究圆与直线位置关系的方法,利用方程思想解决问题,通过判断一元二次方程的实根个数,确定圆锥曲线与直线的位置关系.

在学习的过程中,教师要有意识地引导学生进行新旧知识的类比,通过新与旧的有效沟通,提高学生自主探究能力,帮助学生建构完善的体系.

4 巧借数形结合,拓展数学思维

数与形是相互联系的有机整体,二者相互补充,密不可分.在研究圆锥曲线中的数量关系和几何关系时,教师要有意识地引导学生将二者有效地联系在一起,通过彼此的相互转化实现化抽象为具体、化无形为有形,帮助学生快速地形成解题策略,提高解题效率[3].

总之,无论是从加深知识理解的角度,还是从提升解题能力的角度来分析,研究圆锥曲线离不开“数”与“形”的相互转化.因此,在日常教学中,教师要将“数形结合”思想方法融于圆锥曲线的课堂教学实践中,让学生充分感知数形结合的应用价值,以此培养数形结合意识,提升学生数学核心素养.