一类中考题的解法探究

赵悦 杨泽恒

【摘要】二次函数是初中数学的重要内容.抛物线与四边形等几何图形结合，常出现已知两个定点及抛物线上或与抛物线相关的直线上的动点，求与这三点构成特殊四边形的第四个点这类题目.这类题目是培养学生直观想象和逻辑推理等数学核心素养，提高综合解决问题能力的好载体，中考也常聚焦这类问题.但这类问题有一定的开放性，图形的不确定导致逻辑推理素养弱的学生无从下手，或遗漏结果.这就要求教师在教学过程中应帮助学生先从特殊到一般，从不同省市中考题中抓住这类试题的共同特性，找到解题思路及一般方法；再从一般到特殊，根据具体题干信息及考查内容，分别作答.

【关键词】初中数学；二次函数；解题教学

1  二次函数与平行四边形结合

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（－1，0），且对任意实数x都有4x－12≤ax2+bx+c≤2x2－8x+6.

在第（1）问求出二次函数的解析式：y=x2－2x－3及点A，C坐标分别为（3，0）和（0，－3）的基础上我们重点关注第（2）问的解题思路.

第（2）问：若二次函数图象与x轴正半轴交点为A，与y轴交点为C.点M是二次函数图象上的动点.在x轴上是否存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？

解题思路  M点的动及点N的不确定性，使问题显得似乎不确定.点A是确定的已知点，较为自然的方法是从已知确定点A出发，按A与其他3个平行四边形的顶点的关系依次分类，有3种情况，即AM为对角点、AC为对角点、AN为对角点.以上分类使不确定的情况变成每一种确定的情况，从而能分别对确定的图形求点N.

方法一  教师在教学过程中应帮助学生明确点A是已知点.引导学生根据已知点与其余点的关系，即按点A与其他3个平行四边形的顶点的关系依次分类，在正确分类基础上抓住平行四边形的对角线的交点为对角线的中点特征求解.

解  设点M坐标为（m，m2－2m－3），点N坐标为（n，0）.

如图1，当AM为对角点（非相邻点）时，

由平行四边形的对角线的交点为对角线的中点和中点坐标公式得：

xA+xM=xc+xNyA+yM=yC+yN，

即3+m=0+n0+m2－2m－3=－3+0.

解得m1=0（舍），m2=2.

所以n=5，即N1（5，0）.

如图2，当AC为对角点时，

xA+xC=xM+xNyA+yC=yM+yN，

即3+0=m+n0－3=m2－2m－3+0.

解得m1=0（舍），m2=2.

所以n=1，即N2（1，0）.

如图3，当AN为对角点时，

xA+xN=xC+xMyA+yN=yC+yM，

即3+n=0+m0+0=－3+m2－2m－3.

解得m1=1+7，m2=1－7.

所以n=7－2或－2-7.

所以N3（7-2，0），N4（-2-7，0）.

综上所述，N点坐标为N1（5，0） 、N2（1，0）、N3（7-2，0）、N4（-2-7，0）.

方法二  教師引导学生以所求点N与定点A为平行四边形相邻点或非相邻点（对角点）分类，并抓住平行四边形对边平行且相等这一特征求解.并将两种解题方法对比分析，体会两种方法中共同蕴含的分类思想及不同的知识点.

变式动点的条件，相应考虑矩形、菱形等特殊平行四边形也是中考中常出现的考题.

2  二次函数抛物线与矩形结合

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC，OA=1，对称轴x=2，点D为此抛物线的顶点.

在求出抛物线解析式及点B，C坐标的基础上重点关注第（4）问.

第（4）问：点P在抛物线对称轴上，平面内是否存在点Q，使以点B，C，P，Q为顶点的四边形为矩形？请直接写出点Q的坐标.

解题思路  第（4）问中的动点变为在对称轴上的P点，同样点P的动及点Q的不确定性，使问题具有开放性，需要通过分类将整个问题的不确定性，变为每一类的确定性.由已知确定的顶点C与其他3个顶点B，P，Q的关系进行分类，或者利用定点C与动点Q为对角点或者相邻点的位置关系，进行分类.

方法一  分类后抓住矩形对角线中点的特征求解.

方法二  抓住矩形对边平行和邻边垂直的特征.引导学生从不同的角度分析.

为巩固分类思想和解题方法，两题都可将求x轴上的点变为求y轴上的点，进一步还可变为求其他特殊直线上的点.

3  二次函数抛物线与菱形结合

抛物线y=12x2+2x－6与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC.

在解决第（1）问的基础上重点关注第（2）问.

第（2）问：点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D.试探：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形？

解题思路  通过点P得到的点D随着P动而动，因而也需要通过已知确定的顶点B与其他点的关系进行分类，再抓住菱形临边相等的特征求解.

由已知条件，点B只能分别与点D、点E为对角点.据此再分别求解即可.