借助整体思想，促进初中数学解题教学

崔娟 王彪彪

【摘要】在初中数学教学中，解题训练环节不容忽视，是锻炼学生解题能力的重要途径，关系到学以致用能力的发展，不过有的题目比较特殊，仅依靠常规方法很难求解，教师可指导他们借助整体思想，使其形成简便的解题思路，促进解题教学质量的提高.笔者据此展开探讨，并列举部分解题案例.

【关键词】整体思想；初中数学；解题教学

整体思想，就是从问题整体角度出发，分析与改造问题的整体结构，找到问题的整体结构特征，将题目中的一些式子或者图形视为一个整体，把握好彼此之间的联系，继而展开有意识、有目的的整体处理.

1  借助整体代入法解决数学题目

整体代入即在解题中，学生结合题目条件和结论先选择一个代数式作为整体，再对所求式子展开化简或变形，最后将代数式整体代入到原式中，从而达到顺畅解题的目的.在初中数学解题训练中，整体代入法通常用来处理代数式化简或者求值类试题，当碰见此类数学试题时，教师可引导学生借助整体代入法对先整合题目中的式子，再代入与求值，逐步提高他们的解决数学试题水平［1］.

例1  假如a=4+3，b=4－3，請求aa－ab－ba+b的值.

分析  解决本道题目时，如果直接将a、b的值代入到原式中求解，计算起算相当繁琐，但是能够将a、b两个式字进行适当改进，再整体代入到原式中求解，产生化繁为简的效果.

详解  因为a=4+3，b=4－3，

所以a+b=8，a－b=23，

则原式aa－ab－ba+b

=（a）2a（a－b）－ba+b

=aa－b－ba+b

=a（a+b）－b（a－b）（a－b）（a+b）

=a+ba－b=823=433，

所以aa－ab－ba+b的值是433.

2  借助整体设元法解决数学题目

助整体设元法来处理部分题目，结合算式特点展开整体设元，通过新的量将题干中的原式或者原式的一部分来替代，巧妙进行等量代换，实现减少运用量的效果，让他们学会简化运算过程.

例2  已知a1，a2，a3……a2009都为正数，

设M=（a1+a2+a3+…+a2008）×（a2+a3+a4…+a2009），

N=（a1+a2+a3+…+a2009）×（a2+a3+a4…+a2008），

请问M和N谁大？

分析  在这一题目中，很难直接对M和N的大小关系进行比较，但是通过阅读题目内容以后发现M和N式子的每个括号中均含有一样的项，可借助整体思想解题，采用整体设元的方法来求解.

详解  设a1+a2+a3…+a2008=x，a2+a3+a4…+a2008=y，

所以a－y=a1>0，

M－N=x（y+a2009）－（x+a2009）y

=xy+xa2009－xy－ya2009

=a2009（x－y）>0

所以M>N，即为M比N大.

3  借助整体合并法解决数学题目

在初中数学解题教学中，代数类题可将一些代数式、方程式或者不等式展开合并，合并之后通常往往能够进行凑整或者消元，这一整体思想即为常见的整体合并.初中数学教师可引导学生根据实际情况借助整体合并的方法解决部分含有代数式、方程式、不等式或者的题目，使其结合解题需要合理就那些整体处理，把问题变得更为简洁，让他们顺畅的解题［2］.

例3  已知a，b，c都为常数，x，y是任意实数，A=（a－b）x+（b－c）y+（c－a），B=（b－c）x+（c－a）y+（a－b），C=（c－a）x+（a－b）y+（b－c）C，证明：A，B，C既不能均为正数，也不能均为负数.

分析  解决本题时，如果采用常规方法要用到分类讨论思想，对a，b，c这三个常数的正负情境进行分类讨论，但是x，y是任意实数，并非固定数，显得难度更大，不翻译继而采用整体合并法进行解题，将A，B，C这三个式子进展开整体合并，就能够轻松证明结论.

详解  根据题意A+B+C化简后可得

ax－bx+by－cy+c－a+bx－cx+cy－ay+a－b+cx－ax+ay－by+b－c=0

随后采用反证法，如果结论不成立，即为A，B，C同号，

假如均为正数，则A+B+C>0，假如均为负数，则A+B+C<0，

均与已知条件存在冲突，所以A，B，C既不能均为正数，也不能均为负数.

4  借助整体配凑法解决数学题目

整体思想中“配凑”就是采用适当的“拼”或者“凑”的方法，把试题变得清晰明了，降低题目的解题难题，一般来说，“配”和“凑”是互为补充、相互依托和相辅相成的，通过配凑通常可达到事半功倍的解题效果.

例4  已知a+2b+3c=12，a2+b2+c2=ab+bc+ac，请求a+b2+c2的值.

分析  要想求出该式子值，就需把a，b，c的值给求出来，但是采用常规方法很难实现，通过对第二个等式的研究发现能够利用整体配凑法，找出a，b，c的关系，再借助第一个等式就能够求出a，b，c的值.

详解  因为a2+b2+c2=ab+bc+ac，

所以2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ac=0，

整理后得到（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2=0，

所以（a－b）=c，

将（a－b）=c代入到a+2b+3c=12，

可得a=b=c=2，

所以a+b2+c2=2+4+4=10，

即为a+b2+c2的值是10.

5  借助整体补形法解决数学题目

对于初中数学几何解题训练来说，因为试题中通常会搭配图形，解决此类试题的关键点就是将一些非特殊或不规则的图形视作一个整体，再添加相应的辅助线补充成整体图像，显得特殊化或规则化，以此有效降低题目的解答难度，部分隐性条件也变得显性化，有助于学生迅速确定切入点，促使他们能够借助整体补形法完成题目解答［3］.

例5  如图1所示，在三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BM为中线，过顶点A作BM的垂线AD同BC相交于点D，同BM相交于点E，证明：∠AMB=∠DMC.

详解  将三角形ABC补成一个以BC为对角线的正方形ABGC，

延长AD同CG相交于点F，

因为在三角形ABC中∠BAC=90°，

所以∠ABM+∠AMB=90°.

因为AE⊥BM，所以∠EAM+∠AMB=90°，

所以∠ABM=∠EAM，

又因为AB=AC，

所以RtΔABM≌RtΔCAF，

所以FC=AM=MG.

因為点F与点M关于BC对称，

所以∠DFC=∠DMC

又因为RtΔABM≌RtΔCAF

所以∠AMB=∠DFC，所以∠AMB=∠DMC.

6  总结

在初中数学教学活动中，教师既要关注基本理论知识与常规运算技巧的讲授，还需注重数学思想的渗透，为学生在解题中更好的应用数学思想做铺垫，使其根据具体题目内容充分借助整体思想的优势展开解题，让他们找到简洁的解题方法，不断提升个人数学解题水平.

参考文献：

［1］魏爽.整体思想在初中数学解题中的妙用［J］.数理天地（初中版），2022（17）：87-88.

［2］沈小军.整体思想在初中数学解题中的妙用［J］.语数外学习（初中版），2020（12）：19-20.

［3］姜华文.浅谈整体思想在初中数学解题中的应用［J］.数学教学通讯，2020（11）：63-64.