证明一道全等三角形问题的五种方法

徐佳煜

【摘要】初中数学可以分为两大板块内容，即代数和几何.在平面几何板块中三角形是最为基础的一个图形，其他图形都是在三角形的基础上进行改变.初中数学中，有两种特殊的三角形，即全等三角形和相似三角形.全等三角形是相似比为1的相似三角形，许多平面几何问题就是以全等三角形为背景.

【关键词】初中数学；全等三角形；解题技巧

全等三角形是解决诸多几何问题的重要工具，可以带来角度和边长大小相同的条件.除了利用题目中已知的全等三角形，还要能够根据全等三角形的判定条件去寻找隐藏的全等三角形，从而解决问题.本文将以一道在全等三角形背景下的几何证明题为典型例题，探讨解答此题的五种方法，以供参考.

题目  如图1所示，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE相交于点F，求证：BF=2AE.

问题分析  要证明一条线段是另一条线段的两倍，有两种思路：将短线段加倍，或者是取长线段的一半，此时只需要证明这两种情况下的新线段与另一条线段相等即可.以下是以此思路为基础的五种证法.

证法1  如图1所示，

因为AD⊥BC于点D，

所以∠BDA=∠ADC=90°，

所以∠CAD+∠C=90°，

因为∠BAD=45°，∠BDA=90°，

所以∠ABD=∠BAD=45°，

所以AD=BD.

又因为BE⊥AC于点E，

所以∠BEC=90°.

所以∠CBE+∠C=90°，

所以∠CAD=∠CBE.

在Rt△ADC和Rt△BDF中，

DA=DB，∠DAC=∠DBF，

∠CDA=∠FDB，

所以Rt△ADC∽Rt△BDF（ASA），

所以AC=BF.

因为AB=BC，BE⊥AC，

所以AE=EC，即AC=2AE，

所以BF=2AE.

证法2  如图2所示，

因为BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，

所以点F为△ABC的垂心.

连接CF并延长交AB于点G，则CG⊥AB.

由已知得∠ADB=∠ADC=∠AGC=90°.

因为∠BAD=45°，

所以∠ABD=∠BAD=45°，

所以AD=BD.

因为∠BAD+∠3=90°，∠1+∠2=90°，

且∠2=∠3，

所以∠BAD=∠1=45°，

所以∠2=∠1=45°，

所以DC=DF，

在Rt△ADC和Rt△BDF中，

DC=DF，∠ADC=∠BDF，DA=DB，

所以Rt△ADC≌Rt△BDF（SAS），

所以AC=BF，

又因为AB=BC，BE⊥AC，

所以AE=EC，即AC=2AE，

所以BF=2AE.

证法3  如图3所示，延长AD到点G，使DG=AD，

易证Rt△BDA≌Rt△BDG，

所以BA=BG，∠2=∠G.

因为AD⊥BC，

所以∠ADB=90°，

所以∠ABD+∠2=90°，

因为∠2=45°，

所以∠2=∠G=∠ABD=45°.

由BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，

易得∠1=∠3.

在Rt△BDG中，因为∠G=45°，

所以∠4=45°，

所以∠2=∠4.

所以∠1+∠4=∠GBF=∠3+∠2=∠BAC.

所以△GBF≌△BAC，

所以BF=AC.

在△BAC中，BA=BC，BE⊥AC于點E，

即AC=2AE，

所以BF=2AE.

证法4  如图4所示，取BF的中点G，连接DE，DG，

在△BAC中，因为BA=BC，

BE⊥AC于点E，

所以AE=EC，

因为AD⊥BC于点D，

所以∠ADC=90°，

所以DE=12AC=AE.

同理，可证DG=12BF=BG.

易证∠3=∠1+∠2=2∠2=∠ABC=45°.

因为AD⊥BD，BE⊥AE，

所以∠AEB=∠ADB=90°，

所以A，E，D，B四点共圆.

所以∠4=∠BAD=45°，

所以∠3=∠4，

所以DG=DE，

所以BF=2DG=2DE=2AE.

证法5  如图5所示，取BF的中点G，连接DE，DG.

在△ABC中，

AB=BC，AD⊥BD，BE⊥AC，

由证法4得BG=GD，AE=ED，

所以∠1=∠2，∠3=∠4.

所以∠2+∠C=∠4+∠C=90°，

所以∠2=∠4，∠1=∠3.

因为AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，

所以DA=DB，所以△GDB≌△EDA.

所以GB=AE，

所以BF=2BG=2AE.

结语

此题运用到全等三角形的地方是要证明两条线段相等.在初中数学中，常常需要证明两条线段所在的三角形是全等三角形.一般来说，可以分为两个步骤，第一步，合理选择线段所在的三角形，除了题目图中的三角形外，还可以通过构造辅助线的方式构造出其它三角形来证明，同时还要能够以全等三角形的判定定理为方向去构造.第二步，则是通过题目中的已知条件和构造情况证明三角形全等，有时并不能直接证明，而是需要多个全等三角形进行条件传递，才能证明.在这一过程中，学生需要熟练运用全等三角形的判定方法及性质，直角三角形、等腰三角形的性质等内容，同时还要有构造辅助线的能力.