数列求和的常见类型及求解策略

汪金蕾

摘要：数列求和是高考的重点和热点，能够培养学生的逻辑推理和数学运算的核心素养。数列求和问题具有灵活多变、技巧性较强等特点，为此本文通过精简的例题和变式，对数列求和的不同类型进行归类，旨在提供一个可行的“模板”帮助学生快速地解决数列求和问题。

关键词：核心素养 等差数列 等比数列 数列求和

题型一 公式法

等差数列的前n项和公式：[Sn=n（a1+an）2=na1+n（n-1）2d]，等比数列的前n项和公式：[Sn=na1         （q=1）a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q≠1）]

【例1】若[an=2n-1]，求数列[an]的前[n]项和[Sn]。

解：[Sn=n（1+2n-1）2=n2]

【变式】若[an=13?2n-1]，求数列[an]的前n项和[Sn]。

评注：直接代入等差（等比）数列的前n项和公式。

题型二 倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法. 一个数列[an]与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么可将数列的前n项和Sn正序与倒序的两式相加，就得到一个常数列的和。

【例2】设[f（x）=（x-12）3]，求[f（12023）+f（22023）+…+f（20212023）+f（20222023）]的值。

解：由题知[f（x）+f（1-x）=0]，设[a=f（12023）+f（22023）+…+f（20212023）+f（20222023）]①，

则[a=f（20222023）+f（20212023）+…+f（22023）+f（12023）]②；由①[+]②可得[2a=0]，则原式=0。

【变式】设[f（x）=x21+x2]，求[f（12023）+f（12022）+…+f（1）+…+f（2022）+f（2023）]的值。

评注：倒序相加时，注意观察首末两项自变量的关系，这往往是解题的关键。

题型三 错位相减法

这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.这种方法主要用于求数列[{an?bn}]的前n项和，其中[an]，[bn]分别是等差数列和等比数列，可运用乘公比错位相减进行求和。

【例3】若[an=n?2n-1]，求数列[an]的前[n]项和[Sn]。

解：[Sn=1+2?2+3?22+…+n-1?2n-2+n?2n-1]①，

[2Sn=1?2+2?22+…+（n-2）?2n-2+（n-1）?2n-1+n?2n]②，

①-②得[-Sn=1+2+22+…+2n-1-n?2n=1-2n1-2-n?2n]；即[Sn=（n-1）2n+1]

【变式】若[an=（2n-1）13n]，求数列[an]的前n项和[Sn]。

评注：该题型计算量较大，计算时应注意格式和正負号，解题时若含参数，要注意分类讨论；该题型也可用裂项相消法。

题型四 裂项相消法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项拆成两项或多项，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和。

【例4】若[an=1n（n+1）]，求数列[an]的前[n]项和[Sn]。

解：由[an=1n-1n+1]，则[Sn=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1]

【变式】若[an=1n+n+2]，求数列[an]的前[n]项和[Sn]。

评注：裂项法将通项拆成两项之差后，需要再通分验证，乘上系数。

题型五 分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个可求和的数列组成的，求和时可分别求和后再将其合并。

【例5】若[an=2n+2n-1]，求数列[an]的前[n]项和[Sn]。

解：[Sn=n（2+2n）2+1-2n1-2=n2+n+2n-1]

【变式】若[an=1（2n-1）（2n+1）+3?2n-1]，求数列[an]的前[n]项和[Sn]。

评注：分组求和的本质是将数列变形为若干个可求和的数列。

题型六 分奇偶求和之隔项等差（等比）

隔项等差（或等比）数列是等差（或等比）数列的延伸与拓展。若[an+t-an=d]（或[an+tan=q]，[q≠0]），其中t为常数，[t∈N*]且[t≥2]，则称数列[an]是隔项等差（或等比）数列，隔项等差数列的公差为[dt]，隔项等比数列的公比为[qt]，求通项公式时需要讨论n的奇偶性。

【例6】若[an]满足[a1=1]，[a2=1]且[an+2-an=2]，求数列[an]的前n项和[Sn]。

解：当n为奇数时，[a1=1]，[an=a1+（n-1）?1=n]；当n为偶数时，[a2=1]，[an=a2+（n-2）?1=n-1]；

当n为偶数时，[Sn=a1+a3+…+an-1+a2+a4+…+an=1+3+…+1+3+…=n22]；

当n为奇数时，[Sn=Sn-1+an=（n-1）22+n=n2+12]；所以[Sn=n22，n为奇数n2+12，n为偶数，n∈N*]

【变式】若[an]满足[a1=1]，[a2=1]且[an+2an=2]，求数列[an]的前n项和。

评注：隔项等差（或等比）数列求和关键是确定奇数列偶数列的公差（或公比）。

题型七 绝对值型

绝对值型实际是一个去绝对值的过程，将绝对值内的数列进行分类讨论，对于n 的不同取值范围，分别进行求和运算。

【例7】若[an=10-2n]，求数列[{|an|}]的前n项和[Tn].

解：设数列[an]的前n项和为[Sn]；由[an≥0]得[n≤5]，所以当[1≤n≤5]时，[an≥0]，当[n≥6]时，[an<0]；

当[1≤n≤5]时，[Tn=a1+a2+…+an=a1+a2+…+an=Sn=9n-n2]，

当[n≥6]时，[Tn=a1+a2+…+an=a1+…+a5-a6+…an=S5-Sn-S5=2S5-Sn=n2-9n+40]

所以[Tn=9n-n2，1≤n≤5n2-9n+40，n≥6，n∈N*]

【变式】若[an=2n-9]，求数列[{|an|}]的前n项和[Tn]。

评注：绝对值的临界值就是分类讨论的点。

题型八 并项求和法

形如[an=（-1）nf（n）]的摆动数列或成周期性变化的数列，可采用两项合并求解。而对于前n项求和，涉及奇偶问题，则需要讨论n的奇偶性。

【例8】已知[an=（-1）n（2n-1）]，求数列[an]的前2n项和[S2n]。

解：[S2n=-1+3+-5+7+…+[-4n-3+4n-1]=2?n=2n]

【变式】已知[an=-1nn2]，求数列[an]的前2n项和[S2n]。

评注：注意观察数列的递推关系，找出相邻项之间的关系。

数列求和的方法比较多，学生应掌握这几种常见的数列求和类型，同时在求解过程中需要多观察多分析数列的递推关系，找到合适的解决方法。