数形结合思想在反比例函数解题中的应用

⦿ 江苏省太仓市高新区中学 周 怡

实践表明,利用数形结合思想解答反比例函数习题可使学生透过现象看本质,避免在解题中走弯路.因此,在反比例函数解题教学中,应将数学思想尤其数形结合思想纳入教学的重点,并有效穿插至数学知识的传授中.同时,明确运用数形结合思想解答反比例函数习题的相关细节,尤其需要注意的是,运用数形结合思想解题的关键在于合理构造图形,灵活应用所构造图形、反比例函数图象的相关性质,厘清坐标与线段、线段与角度之间的逻辑关系,通过谨慎的计算得出结果.

1 解答反比例函数与直线问题

图1

A.-6 B.-5 C.5 D.6

解：由A(a,1),B(-2,b)均在函数y=x+5的图象上,得a+5=1,-2+5=b,解得a=-4,b=3,则A(-4,1),B(-2,3).

故选答案:B.

点评：该题能很好地考查学生的抽象能力,增强学生运用数形结合思想解题的意识.解题时需根据函数图象经过的已知点求出A,B两点的具体坐标.通过观察函数图象,合理抽象出“数”与“形”的关系,构造出对应不等式,计算得出结果[1].

2 解答反比例函数与三角形问题

图2

过点A,B分别向x轴作垂线,垂足分别为E,F,如图3.

图3

于是∠BFO=∠AEO=∠AOB=90°,

∠FBO+∠BOF=90°,

∠AOE+∠BOF=90°.

所以∠FBO=∠AOE.

因此,△BFO∽△OEA,则有

点评：该题考查的知识点较多,难度中等.破题的关键在于构造出直角三角形,借助数形结合思想,明确对应角度的相等关系,以证明三角形相似.利用三角形相似时面积与线段的关系,构建已知与未知参数之间的关系.同时,从图形视角分析反比例函数中的k值和对应三角形面积的内在联系,构建“数”与“形”之间的内在逻辑关系,便可达到顺利解题的目的[2].

3 解答反比例函数与圆相关的问题

图4

解：如图5,作△ABD的外接圆J,和OC交于点P,连接AP,PB.由圆的性质,可得∠APB=∠ADB.

图5

由OC⊥AB,且AC=BC,可得直线OC垂直平分线段AB.

由反比例函数图象的对称性可知,直线OC的表达式为y=x,易得A(1,3),C(2,2).

由CD垂直于x轴,可知D(2,0).

又AD2=(1-2)2+(3-0)2=10,AB2=(3-1)2+(1-3)2=8,BD2=(3-2)2+(1-0)2=2,所以AB2+BD2=AD2.

所以△ABD为直角三角形,且∠ABD=90°.

点评：该题综合性较强,难度较大,考查的知识有反比例函数、等腰三角形、圆、勾股定理的逆定理以及分类讨论等数学思想方法.解答该题不仅需熟练应用所学知识,更要在数形结合思想的指引下,结合对题干条件的深入分析构造正确的图形,画出辅助线.其中,充分挖掘隐含条件画出对应的“圆”,更好地揭示图形中角度、参数关系是有效破题的关键.需要注意的是,运用数形结合思想解题时,考虑应全面,避免遗漏满足题设条件的情境[3].

4 总结

以数形结合思想为指引解答反比例函数习题可达到事半功倍的效果.为提高运用数形结合思想解答反比例函数的意识与能力,教学时应展示数形结合在解题中的常见形式,包括根据题干中给出的“数”“角度”等画出对应图形、图象,实现“数”与“形”的转化.将给出的图象、图形放置在坐标系中,借助坐标将“形”转化为“数”.与此同时,结合重点习题讲解、专题训练等多种授课活动,使学生亲身感受数形结合思想在解题中的应用过程,体会数形结合思想的重要价值,积累更多的应用技巧,使学生解答反比例函数习题的能力和水平均能得到很好的提升.