你遇到过这“尴尬”的一幕吗?

⦿ 浙江省宁波市镇海区尚志中学 翁海芳

在讲解反比例函数习题的过程中,笔者曾两次遇到“尴尬”的一幕,课堂上有学生表示:“老师,您的方法太烦了,我有简便方法.”虽然我硬着头皮讲完,但学生之后展示的方法确实比我的简单,作为教师的我都有点汗颜.在之后的章节测试中,笔者发现大多数学生虽然在课堂上对那位同学的方法赞叹不已,但最终还是运用了老师讲的方法解决问题.这一经历促使笔者深入思考“通性通法”与“特解巧法”的关系.

1 第一次教学经历

图1

大部分学生都会通过联立方程,求出A,B的坐标,思维障碍在于怎样用所设的字母表示三角形的边,因此,笔者顺着学生的思维,重点落脚解决障碍,给出通常的解法.

图2

对于y=2x+6,令y=0,得x=-3,则C(-3,0).

本来学生顺着老师的思路,找到了解题的路径,感觉颇有收获,但此时一位学生给出了他的方法,打破了这一氛围.

解法2：如图3,连接AA′,交x轴于点H,记一次函数y=2x+6的图象与y轴的交点为E,连接EH,AO,A′E.

图3

由反比例的性质,可得BC=AE,则S△A′BC=S△A′AE=4.

由点A,A′关于x轴对称,得S△A′AE=2S△HAE.

显然学生的解法更加简单,其他同学都向他投去钦佩的目光,而对老师的“笨”办法则颇为不屑.

课后反思:本题的关键是表示△A′BC的面积,笔者讲解的方法是设反比例函数图象上点A,B的坐标,用点A,B,C的横坐标表示出三角形的高,用点A的纵坐标表示三角形的底,再利用面积公式求出三角形面积,进而结合题意建立等量关系,利用函数与方程的知识求出k的值.

学生的解法首先立足模型“如图4,任意的直线与反比例函数图象相交,都有BC=AE”,再运用“同(等)底等高的两个三角形面积相等”的性质来解题,最后利用k的几何意义求值.这里用到了转化的思想.

图4

2 第二次教学经历

图5

学生会设反比例函数图象上点的坐标,但是不会用所设的点表示其他的点,因此笔者讲解了如下的方法.

图6

某学生给出的方法如下:

图7

课后反思：笔者讲解的方法是典型的坐标法,用坐标表示三角形的底和高,再利用面积公式列出方程.坐标法是解决反比例函数问题的通用方法,所设坐标的点要有利于表示其他有用的点的坐标.在设点的坐标时,可以设横坐标,也可以设纵坐标,可以同时设出横、纵坐标,利用坐标表示线段的长,找到恰当的等量关系建立关于面积的方程.

图8

3 关于通性通法与特解巧法的思考

3.1 通性通法是基础

通性通法是解决问题的普适方法,简单来说,就是指数学的主要性质与主要思想方法,是延伸性、辐射性较强的数学知识与思想方法.“通”指数学知识与数学方法中最重要、最通用的东西.例如,求反比例函数比例系数k的值,一般有两种通法:(1)求出图象上的点的坐标,再运用待定系数法求k值;(2)设特殊点的坐标,进而表示出其他有用的点的坐标,再寻找等量关系建立方程求k值.通性通法易于理解、掌握,但有时过程繁琐,除严谨、仔细的态度外,还需具备一定的运算能力、推理能力、思维能力和综合能力.

3.2 特解巧法靠积累

特解巧法是指针对某个具体问题的结构特征,触类旁通地运用所学知识,通过一定的发散性思维和创造性思维而获得的特殊方法.这种方法适应面比较窄,理解的人觉得非常简单,不理解的人甚至不得其门而入,它着眼于提升和创新.平时在反比例函数的教学中挖掘并补充的很多知识,比如,图4、图8的模型等,利用这些知识点解决问题就是特解巧法,一般比通性通法方便.关键在于平时积累,形成知识网络,并能灵活匹配.

当今数学教学的主导精神是科学化、体系化,通性通法自然被视为解题的首选,但若只要求学生学习通性通法,一定程度会限制他们的创造力和个人表达的空间;而寄希望于向学生灌输解题技巧,铤而走险追求需要苛刻的天资才能支撑起来的创造性思维,则有悖可靠性的原则.只有兼顾通解和巧解,学生的数学素养才能得到更好的发展.二者就像雕刻家手中的两种工具,通解如同凿子,用于揭示问题的大致轮廓,巧解如同刻刀,在细节的刻画上更加精确,缺少凿子和刻刀中任何一个,雕像终究是有缺憾的.