剖析动点与函数图象中考题

摘要：将动点的位置变化产生的不同图形与函数图象相结合，是中考数学题的常见命题方式.文章以2022年中考题为例，分类解析三种常见题型，引导学生数形结合，分析动点产生图形变化与函数图象的对应方法，培养学生分析、解决问题的能力，提升学生数学核心素养.

关键词：初中数学；动点与函数图象；对应

1 点动

例1（2022[J]5齐齐哈尔）如图1-1所示（图中各角均为直角），动点P在六边形ABCDEF上沿A→B→C→D→E匀速移动，速度为1个单位长度/s，△AFP的面积y与点P运动的时间x（单位：s）之间的函数关系图象如图1-2所示，下列说法正确的是（）.

A.AF＝5

B.AB＝4

C.DE＝3

D.EF＝8

解：因为点P在六边形ABCDEF上沿A→B→C→D→E匀速移动，速度为1个单位长度/s，所以由图1-2的第一段折线可知，点P经过4s到达点B处，此时的三角形的面积为12.

所以AB＝4.由12AF[J]5AB＝12，得AF＝6.

故A选项不正确，B选项正确.

由图1-2的第二段折线可知，点P再经过2s到达点C处，所以BC＝2.

由图1-2的第三段折线可知，点P再经过6s到达点D处，所以CD＝6.

由图1-2的第四段折线可知，点P再经过4s到达点E处，所以DE＝4.故C选项不正确.

由图1-1中各角均为直角，得EF＝AB+CD＝4+6＝10.故D选项不正确.

故选：B.

点评：弄清动点P的起始位置及运动方向，并结合函数图象的变化趋势，根据面积公式计算线段长.

2 线动

例2（2022[J]5潍坊）如图2所示，四边形ABCD的对边分别平行，若∠ADC＝120°，CD＝2，BC＝1，点E，F分别在四边形的AB边与AD边上运动，它们同时从点A出发，速度都是1个单位长度/s，点E沿A→B→C的方向运动，点F沿A→D→C的方向运动，当其中一点到达点C时另一点随之停止.若线段EF在运动过程中扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，那么可以反映y与x之间函数关系的图象是（）.

解：如图3，过点F作FH⊥AB于点H.

（1）如图3所示，当0≤x≤1时，在Rt△FAH中，∠A＝60°，AF＝x，则FH＝AF[J]5sin A＝32x.

所以线段EF扫过的区域面积为△AEF的面积，即y＝12x[J]532x＝34x2，其函数图象为开口向上的一段抛物线.

（2）如图4，当1＜x≤2时，过点D作DP⊥AB于点P，

则DP＝AD[J]5sin A＝32.

所以线段EF扫过区域的面积y＝12×（x-1+x）×32＝32x-34，其图象是一条线段.

（3）如图5，当2＜x≤3时，过点E作EG⊥CD于点G，则CE＝CF＝3-x，EG＝32（3-x）.

所以线段EF扫过区域的面积y＝2×32-12×（3-x）×32（3-x）＝3-34（3-x）2，其图象是开口向下的一段抛物线.

故选：B.

点评：动线段EF扫过区域的面积，与由动点运动的时间而形成的不同图形的形状有关.求面积的关键是将有关线段长用含x的代数式表示出来.

3 形动

例3（2022[J]5辽宁）如图6所示，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动.设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）.

解：如图7，过点A作AM⊥BC，交BC于点M.在等边三角形ABC中，∠ACB＝60°.

在Rt△DEF中，∠F＝30°，则

∠FED＝60°，即

∠ACB＝∠FED，所以

AC∥EF.

在等边三角形ABC中，AM⊥BC，所以

BM＝CM＝12BC＝2，AM＝3BM＝23.

所以S△ABC＝12BC[J]5AM＝43.

（1）如图8，当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG.

由题意，可得CD＝x，DG＝3x.

所以S＝12CD[J]5DG＝32x2.

（2）如图9，当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC.

由题意，可得CD＝x，则BD＝4-x，DG＝3（4-x）.

所以S＝S△ABC-S△BDG＝43-32（4-x）2=

-32（x-4）2+43.

（3）如图10，当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，

此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG.

由题意，可得CD＝x，则CE＝x-4，DB＝x-4，则

BE＝x-（x-4）-（x-4）＝8-x.

所以BM＝4-12x，GM＝34-12x.

所以S＝12BE[J]5GM＝8-x2×34-12x=

434（x-8）2.

综上，选项A的图象符合题意.故选：A.

点评：△ABCD在运动过程中，与Rt△DEF重叠部分的图形在不同阶段形状不同，因而面积的计算方法也不同.路程为x，其面积用含x的代数式表示.

4 结语

运动是物质的固有属性和存在方式，静止是运动的一种特殊状态，它们可以相互转化.解决上述问题可以根据运动时间（或路程）、图形的特殊位置、图象的拐点和图象变化趋势，数形结合，或用某一未知数表示线段长，求出函数解析式，进而确定对应的函数图象.