二次函数轴对称性的数量刻画与应用

二次函数的图象和性质是全国各省市中考必考的内容，其中二次函数图象的轴对称性是二次函数图象非常重要的特点，同时也是近年各省市中考的高频考点.但是，由于义务教育段教材对二次函数的轴对称性认识的描述比较模糊，只是通过师生画二次函数的图象，结合轴对称图形的定义，让学生体会到二次函数的图象是一条对称的曲线，缺乏数量上的具体刻画.

本文中将对二次函数的轴对称性进行数量上的刻画，并以此为基础，进而对涉及二次函数图象上点的纵坐标（函数值）大小的比较、界点等类问题的解决分享一些思路和方法.

1 对二次函数图象轴对称性的数量刻画

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线x=-b2a对称，有如下结论：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上的任意两点（x1，y1），（x2，y2）亦或是任意两组对应值，若满足x1+x22=-b2a，则必有y1=y2；反之，若y1=y2，则也一定有x1+x22=-b2a.从二次函数图象来看，关于直线x=-b2a对称的两个点到直线x=-b2a的距离相等.

2 二次函数图象轴对称性的两个结论

由于数量间的相等关系是数量间大小关系发生变化的分界点，因此在初中数学中，在比较数量间的大小关系时，往往从研究数量之间的相等关系入手，从而以此为界点，完成数量间大小的比较问题.如，在初一数学中，我们就曾经利用方程（数量间的相等关系）得到方案的选择问题（数量间的大小关系），就是借用了这一思想.

结合二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象特点，当agt;0时，图象上距离对称轴x=-b2a越远的点，其纵坐标（也就是函数值）越大；当alt;0时，图象上距离对称轴x=-b2a越远的点，其纵坐标（即函数值）越小.根据上面1中的结论，移动二次函数的对称轴，不难得出在x1lt;x2的条件下，有以下两个结论：

（1）当agt;0时，若x1+x22lt;-b2a，则y1gt;y2，反之，若y1gt;y2，则x1+x22lt;-b2a；

若x1+x22gt;-b2a，则y1lt;y2，反之，若y1lt;y2，则x1+x22gt;-b2a.

从二次函数对称轴的位置来看，对称轴x=-b2a在x=x1+x22的右侧有y1gt;y2，在左侧有y1lt;y2.

（2）当alt;0时，若x1+x22lt;-b2a，则y1lt;y2，反之，若y1lt;y2，则x1+x22lt;-b2a；

若x1+x22gt;-b2a，则y1gt;y2，反之，若y1gt;y2，则x1+x22gt;-b2a.

从二次函数对称轴的位置来看，对称轴x=-b2a在x=x1+x22的右侧有y1lt;y2，在左侧有y1gt;y2.

3 结论应用

下面笔者对一些中考（或模拟）习题进行粗浅的分析，共同体会以上结论在分析二次函数相关问题时所起的作用，以飨读者.

例1（陕西中考练习题）若一个二次函数y=ax2-2ax-1（a≠0），当x分别取x1，x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为

解析：题目中的未知数比较多，其中的a，x1，x2及其对应的函数值均未知，直接入手将其代入函数解析式还是比较困难的，将要面对比较繁杂的方程组.在题干己告知“当x分别取x1，x2两个不同的值时，函数值相等”的条件下，虽然不知道具体函数值是多少，由上文1中结论可知，以这两组对应值为坐标的点必是二次函数图象上对称的两个点.因此必有x1+x22=-（-2a）2a=1，所以x1+x2=2，将x=2代入函数解析式可得出y=-1.

例2（2013陕西中考副题）若一个二次函数y=ax2-4ax+3（a≠0）的图象经过两点A（m+2，y1），B（2-m，y2），下列关系正确的是（）.

A.y1gt;y2

B.y1lt;y2

C.y1=y2

D.无法判断

解析：对于二次函数图象及性质问题的解决，往往需要先解决二次函数图象的三要素（开口方向、对称轴、顶点坐标）问题.对二次函数y=ax2-4ax+3（a≠0）而言，开口方向不明（取决于a的正负），可继续考察其余两个要素，利用二次函数的对称轴公式，不难确定出二次函数的对称轴为直线x=2，再次注意到二次函数图象经过A，B两点，其横坐标满足m+2+2-m2=2，结合二次函数对称轴为直线x=2，由上文1中结论可得y1=y2.故选择：C.

例3（西安交大附中模考）若二次函数y=-（x-h）2的图象经过两点A（m+6，y1），B（m，y2）两点，且y1=y2，求y2的值.

解析：由y1=y2，据上文1中结论知，A，B两点应是二次函数的图象上对称的两个点，则对称轴应为直线x=h=m+6+m2=m+3，所以二次函数y=-（x-h）2即为y=-（x-m-3）2，将点B（m，y2）代入此函数解析式得y2=-（m-m-3）2=-9.

例4（2023思源实验学校模考）二次函数y=ax2+bx+c的图象最高点是点D（m，4）且经过A（d，0），B（d+4，0），则a的值是（）.

A.1B.2

C.-1D.不确定

解析：通过审题，注意到A，B两点纵坐标相同，则A，B应是二次函数图象上对称的两点，且对称轴是直线x=d+d+42=d+2，所以抛物线顶点坐标即为D（d+2，4）.由此不妨设二次函数解析式为y=a（x-d-2）2+4，从而实现“消元”.将点A（d，0）代入，得a（d-d-2）2+4=0，所以a=-1.故选：C.

例5（2013陕西中考）已知两点A（-5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是抛物线的顶点，若y1gt;y2≥y0，则x0的取值范围是（）.

A.x0gt;-5

B.x0gt;-1

C.-5lt;x0lt;-1

D.-2lt;x0lt;3

解析：由抛物线的顶点C（x0，y0）和y1gt;y2≥y0知，顶点C是二次函数图象的最低点，所以抛物线的开口方向向上，即agt;0.结合对称轴是直线x=x0，又y1gt;y2，由上文2中结论（1）知，一定有-5+32=-1lt;x0.故选：B.

例6（西安爱知中学模拟）已知y=x2+（1-a）[J]5x-1是关于x的二次函数，其中自变量x的取值范围为2≤x≤4，当x=2时函数y有最大值，则下列结论正确的是（）.

A.抛物线与x轴无交点

B.a≥7

C.对称轴在y轴左侧

D.当x=4时，ygt;-1.

解析：因为Δ=（1-a）2+4gt;0，所以抛物线与x轴有两个交点，故选项A错误.因为1gt;0，即抛物线开口向上，所以要使在自变量取值范围内，当x=2时y有最大值，由上文2中结论（1）知，该二次函数对称轴必须在x=2+42=3的右侧，即对称轴x=-1-a2≥3，解得a≥7，故选项B正确，选项C错误.当x=4时，y=19-4a，又a≥7，所以y≤-9，故选项D错误.因此，本题正确答案为选项B.

例7（扬州中考）如图1，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2），B（1，0），C（2，1）.若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（）.

A.b≤-2

B.blt;-2

C.b≥-2

D.bgt;-2

解析：由该二次函数解析式知，抛物线开口向上，且必过点（0，1），观察到点C（2，1），二者纵坐标相同.又抛物线对称轴为直线x=-b2，当-b2=0+22，即b=-2时，抛物线恰好过点C.若要让二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，由上文中结论（1）知，对称轴需在x=1的左侧，即对称轴x=-b2≤1，所以b≥-2.故选：C.

通过对以上问题的分析，我们可以得到如下解题经验：在二次函数图象和性质问题的考查中，如果已知条件涉及两个及两个以上点的坐标（或两组及两组以上自变量与函数对应值）时，就应该考虑到此题可能是对二次函数图象轴对称性问题的考查，结合题目中的已知条件，借助本文中对二次函数轴对称性的数量刻画，可以快速找到解决此类问题的突破口和着力点，并方便、快捷地解决问题.