等腰三角形与角平分线、平行线教学赏析

引言：

同学们平时在美术课、劳技课经常会开展有趣的折纸活动，今天，我们一起来探究数学中的折纸问题.

1 探索并证明

问题1请同学们利用长方形纸片跟着老师的步骤一起折纸，你能发现折出的三角形是一个等腰三角形吗？你能说明它为什么是一个等腰三角形吗？

师生活动：学生动手操作，折出三角形，然后小组内交流.

设计意图：让学生通过折纸得到一个等腰三角形，为探索主要内容作准备.

问题2对于刚才的实验探究，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？

（1）你能根据结论画出图形，写出已知和求证吗？

（2）结合所画图形，你认为证明△ABD是等腰三角形的思路是什么？

师生活动：学生根据结论画出图形，写出已知和求证，并在教师设置的问题串的启发下获得证明思路，即要证明两条边相等，只需要证明两个角相等即可.教师在黑板板书过程.

引例1如图1，AD∥BC，BD平分∠ABC.

求证：AB=AD.

证明：∵AD∥BC，

∴∠CBD=∠ADB.

又BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC.

∴∠ABD=∠ADB.

∴AB=AD.

设计意图：让学生逐步实现由实验几何到论证几何的过渡.

追问：如果将引例1的结论与题目中的任意一个条件互换，命题还成立吗？你能证明吗？

变式1已知AD∥BC，AB=AD，求证：BD平分∠ABC.

变式2已知BD平分∠ABC，AB=AD，求证：AD∥BC.

师生活动：学生独立完成变式的证明，教师请学生口述证明过程.

设计意图：让学生意识到三者的关系是，已知其中两个可以推导第三个.

问题3上面的引例中是已知AD∥BC，那如果过点A作AE∥BD，会产生等腰三角形吗？

（1）你能画出图形，写出已知和求证吗？

（2）你能证明这个结论吗？

师生活动：按照引例1的思路，学生自主画出图形，写出已知和求证，并独立完成证明.然后由学生口述证明过程，教师在黑板板书.

引例2如图2所示，已知AE∥BD，BD平分∠ABC，求证：AB=BE.

证明：∵AE∥BD，

∴∠CBD=∠AEB，

∠ABD=∠EAB.

又BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC.

∴∠AEB=∠EAB.

∴AB=BE.

设计意图：进一步探索三者之间的关系，引例1是平行于角的一边得到等腰三角形，引例2是平行于角平分线得到等腰三角形.

追问：类比引例1和引例2中的结论，与题目中的一个条件互换，结论是否还成立？你能证明吗？请同学们课后思考，并证明.

变式1已知AE∥BD，AB=BE，求证：BD平分∠ABC.

变式2已知BD平分∠ABC，AB=BE，求证：AE∥BD.

设计意图：由于证明方法和引例1一样，因此这里主要是提醒学生学会用类比的思想解决问题.

问题4通过引例1和引例2的学习，你发现了什么结论，你有何收获？

师生活动：（1）学生回答——在具体数学问题中，等腰三角形、角平分线、平行线存在一定的联系，往往是题目中出现其中两个条件，就可以推导第三个，也就是“知二推一”

（2）教师引导——在引例1和引例2的探索中，等腰三角形、角平分线、平行线是通过找相等的角来建立它们之间的联系的，所以在解题中找相等的角是关键.

2 巩固练习

（1）口答题：找出下列各图中的等腰三角形.

①如图3，已知AD平分∠BAC，EF∥AC;

②如图4，已知AD平分∠BAC，CE∥AB.

③如图5，已知AD平分∠BAC，AD∥CE.

（2）填空题：

①如图6，已知AD平分∠BAC，G为AB的中点，过G作EF∥AD交CA延长线于E，交BC于F，若AB=6，则AE=.

②如图7，已知△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，则EF与BE，CF的之间的数量关系是.

③如图8，若△ABC中∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于点O，过点O作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F，则EF与BE，CF间的数量关系是.

思考：如果过△ABC的两个外角平分线的交点作平行线，自己画出图形，你能得到什么结论？

师生活动：学生回答，相互补充，并说明理由.

设计意图：口答题是巩固引例1和引例2的解题方法，比较简单；填空题是利用结论求线段长，探索线段间的数量关系.

3 典型例题

例1如图9，已知AD是△ABC的角平分线，延长CB至点E，使得DE=AE，连接AE，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，若∠ABE=80°，求∠FDC的度数.

师生活动：学生分析题中条件和解题思路：本题的关键是通过已知条件找到隐藏的等腰三角形AFD，再联系已知条件中的AD是角平分线，得到FD∥AB，进而求出答案.教师引导，学生解答，一名学生板书，师生共同交流.

例2如图10，已知CD=CE，∠ACE=∠B，M为AC的中点，过点M作MN∥AB交AD于点N，求证：EN=ND.

师生活动：学生分析题中条件和解题思路，明确本题的关键是通过已知条件找到隐藏的角平分线，即AD平分∠BAC，再联系已知条件中的MN∥AB，得到△AMN是等腰三角形，进而解决问题.

例3如图11，已知AD是△ABC的角平分线，E为BC上一点，且满足BD=DE，过点E作EF∥AC交AD于点F.

求证：AB=EF.

课后思考：例3中由已知条件找不到需要的等腰三角形、角平分线或者是平行线，该如何处理？（学生想到作辅助线构造.）

设计意图：前面的巩固练习题的条件中能找到已知的等腰三角形、角平分线或平行线，学生很自然把它们联系起来；而例1、例2的题目已知条件中没有明显的等腰三角形、角平分线或平行线，此时要引导学生通过已知条件挖掘隐藏条件.例3是在隐藏条件也没有的情况下，引导学生构造等腰三角形、平行线或者角平分线来解决问题.

4 小结

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）等腰三角形、角平分线、平行线三者间的关系是如何建立的？

（3）具体解题中，如果已知条件中没有明显的等腰三角形、角平分线或平行线，该怎么办？隐藏条件也找不到该怎么办？

设计意图：通过小结，引导学生梳理本节课所学的内容和研究方法，把握本节课的核心是等腰三角形与角平分线、平行线相关的问题，体会找相等的角对建立三者之间关系的作用.