把握运算的一致性 实现整体建构

【摘要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与运算”主题中明确提出：“通过整数、小数、分数的运算，进一步感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性。”在计算教学中，尝试通过承上启下，顺势迁移;数形结合，渗透算理;把握生成，沟通联系;内化方法，整体建构等几个环节让学生在亲历中体验，在过程中建构，真正感悟运算的一致性，感受数学运算的思维之趣。

【关键词】计算教学" 计数单位" 运算一致性" 算理" 建构

【基金项目】本文系江苏省教育科学“十四五”规划课题“生命哲学视角下小学高阶课堂的创新路径的研究”（编号：JN2021/132）的阶段性成果。

【中图分类号】G623.5 " 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2024）12-0133-03

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与运算”主题中明确提出：“通过整数、小数、分数的运算，进一步感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性。”那么在平时的计算教学中如何沟通整数、小数、分数运算之间的联系，体会运算的一致性，感受运算的本质呢？本文以苏教版教材六年级上册第三单元“分数除法”第一课时“分数除以整数”为例，从单元整体建构的视角设计教学环节，帮助学生把握运算的一致性，实现认知结构的整体提升。

一、承上启下，顺势迁移

计算是小学数学知识体系中的重要内容，是学生数学核心素养中最基本的技能。“分数除法”这个单元在小学教材中是非常重要的，是小学阶段最后一次学习计算方法，它是对前面学习的整数除法、小数除法、分数乘法等内容的统整，也为后面学习比、百分数等知识奠定了基础。“分数除以整数”是这一单元的起始课，可见本节课的重要性。这一课的重点在于经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法。

【片段一】

课始，依次呈现下面一组题：

师：量杯里有800毫升果汁，平均分给2个小朋友喝，每人喝多少毫升？

生：800÷2=400（毫升）

师：量杯里有0.8升果汁，平均分给2个小朋友喝，每人喝多少升？

生：0.8÷2=0.4（升）

师：对比上面两题，你有什么发现？

生1：其实这两题条件是一样的。上面一题是800毫升，下面是0.8升，800毫升就等于0.8升。

生2：两道题都用到了除法来计算，它们都表示把总共的果汁平均分成两份，求每份是多少，所以用除法计算。

生3：也就是总量÷份数=每份量。

……

师：量杯里有升果汁，平均分给2个小朋友喝，每人喝多少升？

生1：把升换成0.8升，用除法来计算。

生2：我想问问生1，如果不把升换成0.8升，能直接用除法算吗？

生3：我觉得是可以的，只不过这样变成分数除法了，我们没学过。

生4：我也觉得是可以的，这里的升是一个具体的量，在分数里面是可以平均分的。

……

师：同学们各抒己见、有理有据！看来，不管我们是把一个整数、一个小数或者一个分数平均分成几份，求每份是多少，都可以用除法计算。

例题以除法中的平均分为素材，然而实际生活中需要用分数除法解决的问题并不多，所以教学中尽可能地先调动学生已有的知识基础，将教学起点前移，打通分数除法与小数除法和整数除法之间的联系，拓展了除法意义的一致性。“平均分”即求几分之几除以几，可以理解为将几个几分之一平均分成几份，每份是多少。从运算一致性的角度来看，这里除法的本质是把计数单位的个数平均分，这样的算理同样适用于分数除法。这样的设计寻求内容间的内在联系，引导学生逐步迁移到已有的认知结构中，有助于学生形成完整且统一的除法运算的知识结构。

二、数形结合，渗透算理

数学是研究数量关系和空间形式的一门学科，而数形结合是一种重要的数学思想方法。数形结合可以帮助学生在数与形的转换中形成对计算问题的全新认识，调动学生学习的兴趣和热情，深化对知识的认识和理解，学会对知识进行变通，降低计算难度，有效地培养学生计算解题的方法，拓宽学生的计算思路。

【片段二】

师：÷2，你准备怎样算呢？

生1：可以用我们前面的方法，把化成小数0.8来计算。

生2：÷2，用分子4÷2=2，结果就是。

生3：我同意生2的想法，升是表示把1升果汁平均分成5份，有这样的4份，那么再平均分给2人，每人就分到这样的2份，就是升了。

师：你能想个办法把你说的分的过程表达清楚吗？

生3：我可以画个图给大家看。

师：回顾我们刚才平均分的过程，我们是把涂色部分的，也就是有4个，平均分成2份，每份是2个，就是升。

生4：我是这样想的，平均分给2小朋友，每人就分到这瓶果汁的，可以用×=（升）， 结合右面的图，我们就更好理解了。和生3画的图是一样的。

生5：÷2 =（×5）÷（2×5）

=4÷10

=（升）

……

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休。”在数的运算学习过程中，教师可以引导学生借助形的表达将算理可视化。以数解形，以形释数。教学÷2时，学生根据已有的知识经验，想出了多种不同的算法，但是“会算”并不表示“会意”。学生根据示意图，分一分、画一画，再算出结果。交流中引导学生感受画图的直观，结合图来理解算理，不仅能得到直观的结果，使学生看到分数除法与分数乘法在算法上的一致性，帮助学生理解除法转化成乘法算式的意义，也能把单位的运算凸显出来，对算法和算理进行了统一。这里教师及时有效的数形结合，促进了学生抽象思维的发展，实现了数与形的有效转换，也激发了学生发散性思维的形成，学生能结合图自然地把除法和乘法联系起来，实现了知识的自主建构，提升了学生举一反三的能力，为后继有效学习打下基础。

三、把握生成，沟通联系

【片段三】

师：对比这几种方法，你更喜欢哪种方法呢？

生6：我喜欢生1的方法，换成我们学过的小数除法算，简单。

生7：我觉得生1的方法是挺好的，但是万一果汁总量是呢，是一个无限小数，就不好算了。

生8：我喜欢生5的方法，用商不变规律把变成整数，这样就变成了整数的除法，我们都会算。

生9：我喜欢生2的方法，直接用分子去除以2，分母不变。

生10：如果分子除以2不能正好分完，那生2的方法就算不起来了，同样生5的方法也不是适用每一种情况。

结合板书小结方法：

师：观察、对比这些方法，你有什么发现？

生11：分数的除法计算，我们可以根据题中的数据，把它们转化成我们学过的方法：整数除法、小数除法、分数乘法去算。

生12：前面两个同学的方法，也可以说成是把分数除法转化成整数除法来算的，都是把计数单位平均分的。

生13：我觉得分数除法还是转化成分数乘法比较好算，可以不用考虑分子、分母的大小。

师：同学们真厉害！看来分数除以整数，可以按照整数除法、小学除法的算理来计算，也可以转化成分数乘法来算。

算法各不相同，算理能否相通呢？在多样化的算法里，我们要学会去掉它们的外衣，看到其内在的核心。数的概念及数的运算都是以计数单位为统领的，数的运算可以看成是计数单位之间的运算，计数单位是运算算理的基础与核心，也是搭建运算一致性的桥梁。经过这一轮对比、辩论和反思，学生初步能感受到在算法形式化的外壳下包裹的是计数单位及其个数的计算。通过引导学生探索对运算一致性的理解，有助于学生加强知识之间的联系，形成更为整体而结构化的数学知识。

四、内化方法，整体建构

【片段四】

教学÷3时，大部分学生都是这样算的：÷3=×=（升）

师：有没有不同的方法？

生1：没有了，因为分子4÷3有余数，分不起来。

生2：只有转化成分数乘法这个方法最简单。

到这里学生突然就只有一种方法了，从学生的回答来看，他们只是自然地吸收了分数除法转化成分数乘法的方法。苏教版的教材在这里直接总结除法计算的方法，那么前面一直分的计数单位，到这里不能分了，就直接转化成分数乘法来算了，学生会有种“遇到困难绕道行”的感觉。至于为什么颠倒相乘，学生只停留在对分数除法和乘法一致性的感悟上，很难从计数单位一致性的角度来理解，不利于后面整数除以分数、分数除以分数的学习。

师：分子4÷3有余数，分不起来。是不是这个分数分不起来呢？

生：不是，可以分的。

师：那怎么分呢？能不能结合图来分一分。

生：中有4个，把这4份平均分成3份，每一小份就是，一共就是12个，取出其中的一份就是4个，就是。

师：当原来的计数单位不能被正好分完的时候，把计数单位变小再平均分就可以了。看来，整数、小数、分数都是可以不断地往下分的，可以变成更小的计数单位不断地分下去。对比画图和乘法计算的过程，你有什么发现？

生1：我明白了，分数除以整数是可以分出来的，这个过程就是分数乘法的过程，分母的乘积正好是分成的小份数，就是小的计数单位。

生2：分数除以整数就可以转化成分数去乘整数的倒数。

师：是的，分数除以整数，我们通常转化成分数乘整数的倒数来计算。

生1：我还有一个问题，有没有可能除数不是整数，如果除数是分数、小数呢？

生2：可能。

师：那还能像刚才这样分下去吗？

生3：我觉得应该可以。

师：这个问题很有价值，大家可以先思考着，后面的学习中我们会继续研究！

本环节充分考虑到学生思维盲区、思维困难，把学生的认知生长点变成学生学习的探究点，通过画图，直观地发现需要细分单位后再分。而分数除法与整数、小数的最大不同在于分数单位的不确定性，细分单位后，需要确定新的计数单位，进而帮助学生打通整数、小数、分数运算中计数单位的一致性，充分理解除法的算理。整个过程学生通过深入理解计数单位，进而对数与运算的一致性有所感悟，这是一个循序渐进的过程。反过来，学生通过对算理的本质理解，牢牢地掌握了算法。

从“分数除以整数”回看“分数除法”这一单元的学习，教学中以发展学生运算能力为落脚点，从结构化的角度设计教学过程。不同形式的分数除法计算，运算方法不尽相同，算理万法归宗。抓住知识间的内在联系，构建知识网，从点状知识走向网状认知，有助于学生感悟运算的一致性，整体把握数的运算本质，促进运算能力和推理意识的发展，真正发展学生的核心素养。