初中数学教科书中“几何直观”的设计类型、原则及应用

丁鹏

【摘要】教科书是初中数学学科体系建设和实施的重要依据，肩负着教育、传播、创新的重要责任.几何直观是学生学习知识、认识世界不可缺少的方法，文章从“几何直观”的教学价值入手，分析教科书中“几何直观”的设计类型，如直观表征、直观分析、直观解释、直观发现；结合教学实践进一步探索初中数学教科书中“几何直观”的设计原则，如准确性、整体性、渐进性；从数形结合、建立模型、生活实践、持续创新四个方面探究了初中数学教科书中“几何直观”的应用策略，力求为推动相关领域发展进行有益的尝试及探索.

【关键词】初中数学；教科书；几何直观；类型；原则；应用

引 言

“几何直观”是数学课程体系建设中的核心概念，教育工作者应将其纳入学科核心素养体系之中，明确其在初中数学教育中的重要地位.“几何直观”是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯，利用“几何直观”能够使复杂问题简单化、简单问题直观化、直观问题效率化.目前，对“几何直观”研究的理论与实践成果相对较多，大多与教师、学生教学实践密切相关，而从教科书视角进行研究的相对较少，但教科书作为教学活动组织实施的重要依据，能够为教学发展提供重要指引，帮助教学关联群体树立正确的价值观.基于此，对初中数学教科書中“几何直观”的设计类型、原则及应用进行研究，对于推动理论与实践发展有着极为重要的意义.

一、初中数学教科书中“几何直观”的教学实践价值解析

“几何直观”的最大优势在于“直观”，能够更好地帮助学生理解数学几何图形，在教学过程中发挥应有作用，而图形类型也是极为广泛的，如立体图、平面图、框架图、坐标系、表格及其他直观素材等.下面，笔者从其教学实践价值进行解析：

（一）“几何直观”为教学提供认识世界的工具

初中数学教学内容大多具有双重属性，即包括“数”与“形”的特征，而上述特征是数学“认识世界的双眼”，只有真正认识到其在实践应用中的价值，才能够更好地认识、理解、掌握和使用它们.从实践视角分析，“几何直观”不仅是认识世界的基础，也为认识世界提供支持工具，能够帮助学生更好地理解数字和拓展思维；帮助学生依托图形构建数形关系，掌握图形转化规律，提升知识综合应用能力；能够为学习带来极大的益处，将抽象问题简单化、直观化、关联化，既是提出问题也是解释问题.

（二）“几何直观”是创造性思维的培养基础

思维是学生认识世界和改造世界的意识能力，可分为形象思维和逻辑思维两类，而形象思维是“几何直观”的认知之眼，逻辑思维则是其改造之眼，只有两者兼具才是形象思维发展的高级阶段，在形象思维领域中，“几何直观”能够将抽象问题直观化，更好地建立起具备创造属性的思维体系.数学最大的魅力在于创新，而创新是人类社会发展的基石，所有数学先驱者都认为自己的探索永远都是初级阶段，因为数字本身更符合洋葱理论，无论站在哪个层级都是下一阶段的发展基础.所以，“几何直观”能够有效提升学习者的创造性思维.

（三）“几何直观”是认识、解决问题的方法体系

“几何直观”本身就是极为重要的方法论，为学生认识和改造世界提供载体或工具，能够帮助学生更好地认识、发现和解决问题，充分调动学生的主观能动性.相关理论概述认为“几何直观是思维的重要表现形态，是对客观事物及其运行规律、内在联系的猜想或直接识别的心理认知状态”；“几何直观主要是依托认识工具猜想或见到图形数量关系、图形关系的直接感知”.从方法论视角分析，“几何直观”既是意识，也是能力，具备强大的思维发现功能，能够帮助学生更好地构建认知体系，掌握认识、解决问题的方法.

二、初中数学教科书中“几何直观”的类型分析

（一）直观表征

直观表征是指数学领域依托图形进行“形”的描述与表达，是教科书教学内容和对象的直观呈现，主要包括以下内容：一是依托图形对形成素材进行直观呈现；二是依托图形对素材进行直观表征.实践分析发现，初中数学教科书中的部分概念是现实模型的解构与投影，同时兼具“数”“形”双重特征，能够在生活中找到大量可视化素材，让学生能够通过视觉去认识和感知.如初中数学教科书中利用温度计解析数与数轴的关系，利用原点到点的距离导入绝对值概念等.

（二）直观分析

分析是学习对象根据逻辑思维对事物的本质和内在规律进行探索的过程.直观分析是指借助图形进行数字问题解析的过程.某些问题由于数量关系相对复杂，无效表述可能会影响和干扰信息表达，因此需要选择更加直观的方式“去伪存真”，通过建立模型直观表达数量关系，而图表则是最有效的表达工具，能够将复杂的语言转化为图形，有助于提升分析效率.直观分析能够优化解题思路，体现出知识结构与认知体系的有机结合，更具直观性、逻辑性和灵活性.

（三）直观解释

直观解释是指利用图形及各要素内在关系对问题结果或结论进行重点描述，根据已知结果进行“形”塑，加深学生对数学的想象力.从代数思维视角出发，通过代数运算得到相应的公式，选择图形方式进行解释，可以让代数公式变得更加直观生动且具有形象性，便于学生理解与记忆，促进数学理论和技巧的多样化融合.对于学生而言，图形远比文字更具辨识度，只有把其中的直观内涵和证法思路弄清楚，才能够更好地进行解析.

（四）直观发现

直观发现是指利用图形直观地解析研究对象并且找到结论.从教科书视角分析，获取结论不是创造或创新过程，而是一个发现过程，所以直观发现在教科书中的表达更具实效性.可区分两类情况：一是根据需求构建问题模型，直接找到问题答案，提升问题解析的空间想象力和建构属性.二是利用直观图形和逆向思维模式发现结论.

由上述分析可知，直观表征、直观分析、直观解释、直观发现四位一体，彼此不是独立的，其中直观表征是基础，相同数学问题呈现和要求不尽相同，但直观类型的侧重大同小异.

三、初中数学教科书中“几何直观”的设计原则

数学教科书设计符合逻辑思维习惯，一般分为明暗两条线表述，以期能够更加清晰地进行表达.其中，明线是指通过阅读目录可直接获取的教学内容，而暗线大多需要通过明线间的内在逻辑关系找到“隐藏的表达”，只有明暗双线共同印证才能够发现结论.暗线一般体现的是方法论，能够帮助学生更好地掌握数学要素间的逻辑关系，通过分析相互转换关系达到解决问题的目的.需要遵循如下原则：

（一）准确性

逻辑思维关系是构成数学直观表达的基础，要求所有要素间必须做到关联、精准、直观，因而“准确”才是唯一要求，只有做到精准才能够表达正确.对于数学而言，“几何直观”既是认识数学和挖掘内在规律的工具，也是学生综合能力素质的表现.从教科书内容设计来看，几何直观有着普遍的应用.如借助图形分析性质、依托数轴理解运算、应用线形图区分关系等，要让学生在学习过程中将其转化为自主意识.事实上，教科书内容大多脱胎于“几何直观”，如函数性质借助图形探索、绝对值概念源于两点间距离等.为了让学生更好地掌握教科书中的“几何直观”内容，教科书设计必须做到精准性，以此提升学生理解效率.

（二）整体性

“几何直观”是一种方法论，不仅仅包括直观表征、直观解释、直观分析、直观发现等类型，还有概念生成、问题探究和问题解决等活动.教科书在构建内容体系时，大多会从整体视角出发，即所有问题具有递进性，环环可扣，构建成立体的闭环；同时，所有内容具有内在关联性，互为支撑，能够从多个视角切入分析和解决问题；教科书设计能够帮助学生更好地直观发现，对问题有深刻的领悟，从而形成更加高效的数学直观.从整体性视角分析，几何直观能够确保内容类型和分布不出现偏差，除注重概念本身外，更注重其内在逻辑和关联性，通过保证其逻辑关系的灵活性，更好地将所有的知识点凝结成一个整体.

（三）渐进性

教科书内容按照渐进关系进行设计，能够快速帮助学生形成逻辑思维，更好地认识和理解几何直观.从成长视角分析，几何直观不会凭空产生，而是需要学生在实践中不断积累经验，从基本图形入手，按照层层递进规律进行积淀，逐渐形成符合自己的“几何直观”.如一些简单的图形表达能够引发相应的联想，看到a（b+c）时，学生就会联想到长方形的面积；看到 a2+b2后，学生就会联想到直角三角形直角边的平方和；看到|a-b|后，学生就能够联想到数轴上两点间的距离，而这种认知是需要长期的培养和锻炼才能够形成的.因此，在进行教科书中的“几何直观”设计时，从图形明晰度和问题表述类型等方面进行设计可以保证学生的学习渐进效果.

四、初中数学教科书中“几何直观”的应用策略

初中数学教学中，学生需要经历从感性到理性、从一般到特殊的过程，才能形成“几何直观”，加深对理论和技巧的理解应用，从而提升整体学习效率.

（一）数形结合，优化直观解析策略

将“几何直观”融于学生思维，首先进行图形转化，将“内在逻辑关系”转换为“图形关系”，而后将问题转化为“图形的数量和位置关系”，最后通过图形观察和思考解决问题.华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.数形结合才是解决数学难题的根本，才能够让学生产生良好的空间想象力，能够随时随地构建“几何直观”，帮助学生掌握更多的方法、技巧，提升其分析问题和解决问题的效率.

（二）建立模型，强化直观明理思维

初中生一般不懂得什么是模型，但实际上“几何直观”的形成过程就是模型构建过程，学生通过思维加工将问题场景化，在此场景中不仅有试题背景，还有各类计算因子的内在逻辑关系，“几何直观”就是计算模型搭建.对于学生而言，不同的“几何直观”思维会产生不同的模型，即相同题目可能会有无数道“门”，无论从哪个门进入都会到达同一个终点.所以，“几何直观”能够持续强化明理思维，让学生掌握更多自我成长的方法.意识是行为的先导，学生首先要树立“几何直观”意识，而后才能够在行为中得到实践.

（三）生活实践，增强问题解析效果

几何直观应建立在生活经验基础上，学生在解析题目时，必须从生活中提取关联要素，利用生活中常见的人、事、物去搭建场景，从而更好地思考和解决问题.从教科书内容设计来看，几乎所有的例子都是以生活中的场景为依据的，很容易让学生产生联想，几乎所有的问题都能够在生活中找到原型，有意识地进行解析，帮助学生强化“几何直观”素养和能力.所以，生活才是数学发展的源动力，因为大多数学知识都能在生活中找到“原版”，大多数学规律都能够在生活中使用和完善.

（四）持续创新，强调学生参与体验

随着大数据、物联网、智能AI的不断融合渗透，初中数学教学时会有大量的载体辅助教师完成教学，如教学PPT、教学动漫、视频、语音及在线互动等.所以，教科书也可以从数据发展视角进行创新，在教科书相应章节设计隐藏“彩蛋”，通过读取设备检索二维码，能够进入相应的教学场景，让学生有更好的学习体验；学生在下载软件后，可以在家进行操作，增强学习兴趣.数学“几何直观”绝对不是呆板的，而是在实践探索中不断总结、逐步完善的，在发展过程中会逐渐融合越来越多的创新理论和技能.

结 语

未来，随着教育领域实践探索不断深化，“几何直观”将会有更多的创新与发展，教科书在国内有着不可替代的作用，但随着在线教育不断升级，教科书可以转化为无数的研究方向，教师应对教科书中“几何直观”的设计类型进行研究与实践，帮助学生更好地挖掘自身的成长优势，坚持从小培养、从专业培养，让每名学生都找到适合自己的领域，为国家和社会培养出更多的实践型、创新型人才.

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