二元一次方程组在实际问题中的应用

叶建耀

［摘 要］二元一次方程组的应用是中考考查的重点内容。文章结合几则典例，探索二元一次方程组在实际问题中的应用策略，旨在提高学生解决实际问题的能力，培养学生的思维品质和核心素养。

［关键词］二元一次方程组；实际问题；初中数学

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）29-0016-03

二元一次方程组是刻画现实世界数量关系的重要数学模型。通过二元一次方程组解决实际问题，可以让学生学会分析实际问题中所蕴含的数量关系，认识到方程组这种数学模型应用的广泛性与有效性，可以培养学生把实际问题模型化的数学思想。本文结合几则典例，探讨二元一次方程组在几类实际问题中的应用，以提高学生解决实际问题的能力，培养学生的思维品质和核心素养。

一、二元一次方程组在数字问题中的应用

数字问题中，要学会用各个数位上的数字乘以相应的计算单位表示一个多位数，如一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别是a、b、c，则这个三位数应表示为[100a+10b+c]。通常已知两个数位的数之间的和差关系，及原多位数与新多位数之间的和差关系，求这个多位数，则可以用二元一次方程组解决。

［例1］小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数。小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9。”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9。”那么，你能回答以下问题吗？（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是几？（2）第一次，他们拼出的两位数是多少？（3）第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？

得[y=5]，[x=4]，所以他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5。

（2）根据（1）得十位数字是4，个位数字是5，所以第一次他们拼成的两位数为45。

（3）根据（1）得x、y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是4，所以第二次拼成的两位数是54。

点评：本题分别从两个数字之间的数量关系、新两位数与原两位数之间的数量关系这两个角度列方程组。需要注意的是，用两个字母如a、b表示两位数时，应为[10a+b]或[10b+a]。

二、二元一次方程组在诗歌问题中的应用

我国民间流传着很多诗歌，这些诗歌里包含着数学问题，这样的问题叙述生动、活泼，且大部分都是关于方程或方程组的应用题。因为诗歌语言通俗易懂，雅俗共赏，所以给数学注入了生机与活力，让人耳目一新。

［例2］下面几个诗歌问题能通过列方程组算出来吗？

（1）官兵分布：一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？

（2）鱼肉价钱：老头提篮去赶集，一共花去七十七，满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼，买好未曾问单价，只因回家心发急，道旁行人告诉他，九斤肉钱5斤鱼，有劳各位高才生，帮帮算算此难题。

（3）一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少俩梨。请问君子知道否，几个老头几个梨？

点评：在分析题意的过程中，要抓住其中的词语找出数量关系，如“一官四尺无零数”也就刚好分完，没有剩余；“请问官兵多少数？”问的是官与兵各多少人，不是仅指兵；“九斤肉钱5斤鱼”九斤的肉与5斤鱼放在一起，只能是钱数相等；“一人两个少俩梨”意思是如果每人分两个梨将少两个梨。

三、二元一次方程组在销售问题中的应用

与销售有关的问题常伴随这样一些概念，如利润、利润率、成本、标价、售价、打折等。两种商品的数量关系包括一种是另一种的几倍，或两种商品的数量之和是多少，两种商品的价格关系包括单价之间的数量关系，进价之间的数量关系，售价之间的数量关系，利润之间的数量关系，其数量关系无外乎两种，一种是倍数关系，另一种是和差关系。

为市民对这两种商品仍有需求，于是该商店又以与上次相同的价格购进了A商品和B商品共若干件，购进A商品的件数比上次减少10件，购进B商品的件数与上次相同。由于市场原因，该商店调整了这两种商品的销售单价，A商品每件售价下调了[3a]元，B商品每件售价上调了a元，若要求销售完第二次购进的A、B这两种商品的总利润不得低于3900元，求a的最大值。

解：（1）设该商店此次购进A商品x件，B商品y件，根据题意得：

四、二元一次方程组在行程问题中的应用

在行程问题中，常用的三个量及相互关系：时间×速度=路程，在相遇问题中，两者所走的路程之和=他们原来相距的距离，在追及问题中，快者所走的路程-慢者所走的路程=他们原来相距的距离。船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流的速度，船在逆水中的速度=船在静水中的速度-水流的速度。

［例4］唐朝开元年间，大诗人李白从四川白帝城出发，坐木船顺流东下，直到采石矶，这次行程，他共用了5天；过了几天，他有事回四川去，也同样乘坐这只木船，一切条件都和上次一样，只不过这一次是逆流而上，他却用了55天。李白忽然想到一个问题，如果从白帝城放一只木排顺流而下，那么，到达采石矶一共需要多少天呢？（设定木船的船速与水流速度都是均勻的）

五、二元一次方程组在方案选择问题中的应用

二元一次方程组在解决方案选择问题时，应先运用二元一次方程组求得问题中的两个基础未知量，然后应用一元一次不等式求得自变量的取值范围，最后应用一次函数的性质选择最佳方案，一般为费用最少或者最省时的方案。这样的问题将二元一次方程组、一元一次不等式、一次函数结合在一起，考查了学生综合运用知识解决实际问题的能力。

［例5］（1）【阅读理解】倡导垃圾分类，共享绿色生活。为了对回收的垃圾进行精准分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含A、B两款不同型号的垃圾分拣机器人。已知1台A型机器人和1台B型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台B型机器人先工作5小时后，再加入1台A型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾。问：1台A型机器人和1台B型机器人每小时各处理垃圾多少吨？可以用如下图所示的线段图来分析本题中的数量关系。

由图可得如下的数量关系：①1台A型机器人10小时的垃圾处理量+1台B型机器人10小时的垃圾处理量=5吨；②                       =5吨。

（2）【问题解决】请你通过列方程（组）解答（1）中的问题。

（3）【拓展提升】据市场调研，机器人公司对A、B两款机器人的报价如下表所示。若垃圾处理厂采购的这批机器人（A、B两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？

解：（1）根据第二个线段图可得1台A型机器人8小时的垃圾处理量+1台B型机器人13小时的垃圾处理量=5吨。

点评：本题求B的采购台数时，不能应用不少于80台去求，这是一个取值范围，只能用来列不等式，不能用来确定B的采购台数。只有确定了t的取值范围，才能根据一次函数的性质求得费用最低的方案。前面一步的计算是后面运算的基础。

总之，二元一次方程组应用广泛，还可以用于解决鸡兔同笼问题、产品配套问题等。当问题中有两个未知量时，列方程要从两个不同的角度找到两个相等关系。不同类型的问题有不同的相等关系，因此，将应用题分类也是很重要的一步。