例析直线与圆位置关系的创新应用

罗兴文

［摘 要］数学解题，贵在创新。在数学中，有许多问题都可以通过构造直线与圆的位置关系这个“模型”来解决。文章结合几则典例，从五个方面逐一进行分析探讨，旨在让学生领会直线与圆的位置关系这个“模型”的应用价值。

［关键词］直线；圆；位置关系；创新

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）29-0026-03

数学解题，贵在创新。创新源于对知识的融会贯通。面对代数题，可以联想几何法；面对几何题，可以尝试解析法。通过构建熟悉的数学模型，破解看似陌生的数学问题。在学习了解析几何中的直线与圆的位置关系后，我们发现在数学中有许多问题都可以通过构造直线与圆的位置关系这个“模型”来解决。下面让我们一起来探究！

一、函数值域或最值问题

对于某些函数的解析式，结合它的几何意义，往往可以构造直线与圆的位置关系这一“模型”，并通过数形结合加以求解。

点评：本例考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式的灵活应用，考查数形结合思想。

二、方程有解问题

方程与曲线密不可分，当一个方程看成两条曲线时，它们的交点的横坐标就是方程的根。因此，对于某些方程问题，我们可以将其转化为直线与圆的位置关系问题，并利用解析几何的方法加以解决。

∵方程组有解，∴方程组可看作直线[a+b=2-c]与[a2+b2=2-c2]有交点，

点评：本例的两小个题都体现了直线与圆的位置关系的创新应用和数形结合思想的重要性。

三、不等式求参问题

与方程问题相类似，对于求含参数的不等式的解的问题，我们也可根据不等式的形式将问题转化为熟悉的函数图象的位置关系问题，并结合动态讨论求出参数满足的要求。

解析：（1）由题意可得[4-x2≥0]，得[-2≤x≤2]，

表示上半圆[C]上任意一点到直线[l]的距离小于或等于[3]，且直线[l：kx-y-3=0]过定点（0，-3），如图3所示，设圆心（原点[O]）到直线[l]的距离为[d]，由于上半圆[C]上的点到直线[l]的最大距

四、三角函数最值或范围问题

［例4］（1）已知[cos（α+β）=cosα+cosβ]，则[cosα]的最大值为                  ；

解析：（1）[cos（α+β）=cosα+cosβ?cosαcosβ-sinαsinβ-cosα-cosβ=0]，变形得[cosβ（cosα-1）-sinαsinβ-cosα=0]，设[P（cosβ，sinβ）]，直线[l：（cosα-1）x-ysinα-cosα=0]，

五、条件等式下的最值或范围问题

双元等式条件下的最值或范围问题，是考试常考题型。在已知的等式与目标函数中，通常一个为一次型，一个为二次型，或经过换元后符合这个特征，这时我们不妨尝试应用直线与圆的位置关系这一“模型”加以解决。

［例5］（1）已知实数a、b满足[a2+b2+1=2a+2b]，则（[3a+4b-1]）2的最小值是                   ；

要使直線与圆有公共点，[x∈4，20]。综上，[x∈4，20?0]，故[x]的最大值为20。

数学能力的培养离不开数学知识的创新应用。通过以上几类问题的探究，我们不仅领略了直线与圆的位置关系解题模型的“风采”，还感受到了数学的逻辑之美、和谐之美与创新之美。面对错综复杂的数学问题，我们只有广开思路，激发灵感，善于构造，才能让创新思维飞得更高更远！