函数图象考情分析

蒋丹丽

［摘 要］函数图象是研究函数性质的重要工具，也是每年高考数学的重要考点之一。文章结合八则典例，从八个方面探讨函数图象的考查形式，以帮助学生搭建解决函数图象问题的桥梁，提高学生的思维品质，发展学生的数学素养。

［关键词］函数；图象；高考

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）29-0029-03

函数图象是研究函数性质的重要工具，也是高考数学的重要考点之一。高考数学中的函数图象题通常以一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的图象为基础，对函数性质进行考查，考查的形式主要有知式选图、知图选式、图象变换，以及利用函数图象解决不等式问题、参数问题、最值问题等。本文举例说明，以供参考。

一、函数图象的识别

这类问题一般以选择题的形式出现，题目中给出函数解析式和四个选项中的图象，要求考生选出该函数的图象，即知式选图。函数图象与函数性质是密不可分的，所以这类问题不仅考查函数的图象，还考查函数的性质。

点评：函数图象的识别主要用排除法。要抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域判断图象的左右位置；从函数的值域判断图象的上下位置。②从函数的单调性判断图象的变化趋势。③从周期性判断图象的循环往复。④从函数的奇偶性判断图象的对称性。同时要善于抓住图象的特征，定量计算：从函数的特征点入手，利用特征点、特殊值的计算分析等解决问题。

二、给出图象确定函数

知图选式，也是一类重要考查形式，主要考查函数的图象与性质。一般可通过图象体现出的性质利用排除法筛选。与知式选图类似，主要根据函数的奇偶性、单调性、特值和极限等加以综合分析。

［例2］已知函数[f（x）]的部分图象如图1所示，则它的解析式可能是（）。

解：由图象可知，函数[f（x）]的定义域为R。

点评：一般采用排除法，通过函数的奇偶性和特殊点来排除不符合要求的解析式，最终确定正确选项。

三、函数的图象变换

函数的图象变换主要有平移变换、对称变换、翻折变换和伸缩变换。试题通过对图象变换来考查考生对函数解析式与函数解析式之间的内在联系的理解与应用。

［例3］为了得到函数[y=log2（2x-2）]的图象，只需把函数[y=log2x]的图象上的所有点（）。

A.向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度

B.向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度

C.向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度

D.向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度

点评：本例类似于三角函数图象变换问题，一定要注意“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”之间的区别。

四、利用函数图象研究函数性质

函数图象是研究函数性质的重要工具。利用函数图象研究函数性质的问题在高考数学中一般以多选题的形式出现。试题给出一个函数和四个函数性质选项，要求考生根据函数图象加以选择。

［例4］已知函数[f（x）=f（-x）]，且[f（x）]的对称中心为（1，0），当[x∈2，3]时，[f（x）=3-x]，则下列选项正确的是（）。

A. [f（x）]的最小值是[-1]

B. [f（x）]在（-3，-2）上单调递减

C. [f（x）]的图象关于直线[x=-2]对称

D. [f（x）]在（3，4）上的函数值大于0

解：根据[f（x）=f（-x）]可得[f（x）]为偶函数，对称中心为（1，0），可知[f（x）]的图象关于（1，0）对称，结合[x∈2，3]时，[f（x）=3-x]，可画出[f（x）]的部分图象如图2所示。由图象可知，[f（x）]的最小值是[-1]，[f（x）]在（-3，-2）上单调递增，[f（x）]的图象关于直线[x=-2]对称，[f（x）]在（3，4）上的函数值小于0，故A、C正确，B、D错误，故选AC。

点评：处理这类问题往往可以采用数形结合法：根据函数的对称性以及单调性画出函数的图象，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）进行解题。

五、利用函数图象解决不等式问题

与指数、对数、幂混合型函数相关的不等式问题和与抽象函数有关的不等式问题，通常通过数形结合转化为函数图象的交点和在交点两侧图象的上、下位置关系来解决。

［例5］（1）已知函数[f（x）=log2（x+1）]，若[f（x）>x]，则x的范围是                   。

解：（1）作出函数[y=log2（x+1）]和函数[y=x]的图象（如图3），两个函数的图象相交于点（0，0）和（1，1），当且仅当[x∈（0，1）]时，[y=log2x+1]的圖象在[y=x]的图象的上方，即不等式[f（x）>x]的解集为（0，1）。故答案为（0，1）。

[x1-x2<0]，所以[f（x1）-f（x2）>0]，即[f（x1）>f（x2）]，所以函数[f（x）]在（-∞，0）上单调递减，则函数[f（x）]在（0，+∞）上单调递减，又[f（1）=0]，所以[f（-1）=-f（1）=0]，则函数[fx]的大致图象如图4所示。

根据图象可得不等式[xf（x）<0]的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）。故答案为（-∞，-1）∪（1，+∞）。

点评：本例第（1）题为超越不等式问题，第（2）题为与抽象函数有关的不等式问题，图象法是最佳选择。画函数图象时必须注意与[x]轴的交点和图象左右两个方向上的走势，从整体上把握住图象的变换规律。

六、由函数图象确定参数范围

这类问题要求考生从动态的函数图象中研究其性质，进而确定参数值或范围，体现了由形到数的思维，它能较好地考查考生的观察能力与分析能力，是屡见不鲜的题型。

［例6］已知函数[y=loga（x+c）]（[a、c]为常数，其中[a>0，a≠1]）的图象如图5所示，则下列结论成立的是（）。

A. [a>1，c>1]

B. [a>1，0

C. [01]

D. [0

解：由函数图象可知函数为单调递减函数，结合[y=loga（x+c）]可知[01]，∴[c>0]；当[x=0]时，[logac>0]，∴[0

点评：本题考查了对数型函数的图象与性质，要求考生能弄清参数变化与图象位置的关系，难度不大。

七、利用函数图象求函数最值

函数图象可以让函数性质一目了然。对于某些较为特殊的且容易作出其图象的函数，尤其是分段函数，我们不必采用代数法去求它的最值，运用图象法求解省时省力。

A. [-1] B. [1] C. [2] D. [3]

点评：利用函数图象求函数的最值，先作出所涉及的函数图象，再根据题目对函数的要求，从图象上寻找取得最值的位置，计算出结果，体现了数形结合的思想。

八、利用函数图象研究函数零点问题

对于无法用解方程的方法来确定函数零点的问题，一般采用图象法，将原问题转化为两个函数的交点问题，画出函数图象，这样可直观地看出交点（即零点）的个数和每个零点取值的大致范围。

［例8］（1）函數[f（x）=exlnx-1]的零点个数是（）。

A. [0] B. [1] C. [2] D. [3]

解：（1）由[f（x）=0]可得[lnx=e-x]，作出函数[y=lnx]与[y=e-x]的图象如图7所示，由图可知，函数[y=lnx]与[y=e-x]的图象的交点个数为[2]，故函数[f（x）]的零点个数为[2]。故选C。

点评：遇到超越方程或较为复杂的函数时，一般可将其分解成两个初等函数，再从两个初等函数的图象之间的关系直接看出方程解的个数或函数零点的个数。

从以上八类问题我们可以看出，高考对函数图象的考查具有基础性、多样性和灵活性的特点，不仅要求考生会作函数图象，会变函数图象，更要求考生会用函数图象搭建解决问题的桥梁。