运用方程思想解决几何问题“六法”

⦿ 江苏省苏州相城区阳澄湖中学 王伟星

运用方程思想解决几何题,是把一些看上去与方程没有明显联系的几何问题,运用方程的思想巧妙地转化为方程(组),通过解方程(组)最终使问题获解.这种方法不仅直观,容易找到解题思路,而且能够避免繁琐的计算与复杂的推理,大大简化了解题过程,具有极大的优越性.

1 代入面积

图1

例1在△ABC中,∠C=90°,⊙O为它的内切圆,与边AB,BC,CA分别切于点D,E,F.

求证：S△ABC=AD·BD.

证明：如图1,设AD=x,BD=y,⊙O的半径为R,则

在Rt△ACB中,由勾股定理,可得

(x+R)2+(y+R)2=(x+y)2.

化简,得xy=R(x+y)+R2.

故S△ABC=AD·BD.

方法与技巧：先对切线、圆半径设元,目的是建立三角形的边、高与切线之间的联系,再通过勾股定理变形,最后代入三角形的面积公式,证明过程充分体现了方程思想的灵活应用.

2 设元转换

例2如图2,已知AC切⊙O于点C,CP为⊙O的直径,AB切⊙O于点D与CP的延长线交于点B,若AC=PC.求证：(1)BD=2BP;(2)PC=3BP.

图2

证明：(1) 如图3,连接DO.

因为AC,AB分别切⊙O于点C,D,AC=PC,设PO=OC=DO=x,所以AC=PC=AD=2x.

因为OD⊥AB于点D,AC⊥BC于点C,所以可得△BOD∽△BAC.

化简,得BD=2BP.

(2)在Rt△BOD中,由勾股定理,可得OB2=OD2+BD2,即(BP+x)2=x2+(2BP)2.

化简,得2x=3BP,即PC=3BP.

方法与技巧：本题的证明运用了“设元转换”的方程思想.第(1)问通过证明三角形相似,利用相似比证得BD=2BP;第(2)问运用勾股定理,通过逐步化简推得PC=2BP.

3 寻找相等关系

图4

例3如图4,在△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,DE⊥AB于点E,∠ADC=45°.若DE∶AE=1∶5,BE=3,求△ABD的面积.

解：因为DE∶AE=1∶5,所以设DE=k,则AE=5k.

因为在△ADC中,∠C=90°,∠ADC=45°,所以

在Rt△BED中,BE=3,所以

因为∠B=∠B,∠BED=∠C=90°,所以可得△BED∽△BCA.

整理,得2k2+5k-18=0.

所以k=2.

方法与技巧：本题的技巧主要体现在如何寻找相等关系上.要求△ABD的面积,只要求出DE与AB的长即可.由已知DE∶AE=1∶5,设DE=k,可得AE=5k,再由已知可得△BED∽△BCA,然后利用DE∶AC=BD∶BA的相等关系,即可列出关于k的一元二次方程.

4 转设方程组

图5

例4如图5,在矩形ABCD中,EF是BD的垂直平分线,已知BD=20,EF=15,求矩形ABCD的周长.

解：设矩形的长AB=x,宽BC=y.在Rt△BAD中,BD2=AD2+AB2,即x2+y2=202.因为EF是BD的垂直平分线,则有BO=OD=10,所以△OFD≌△OEB.所以OE=OF=7.5.因为∠EBO=∠DBA,∠A=∠EOB=90°,所以△EOB∽△DAB.所以AB∶AD=OB∶OE,即x∶y=10∶7.5.

所以,矩形的周长为2(16+12)=56.

方法与技巧：要求矩形ABCD的周长,必须要知道它的长和宽.不妨设长为x,宽为y,由于未知数有两个,因此要找到两个等量关系列出两个方程.可由勾股定理和相似三角形的性质定理得到关于x,y的两个方程,解这个方程组即可获解.

5 活用余弦定理

例5设P是定角∠MAN的平分线上一定点.过A,P两点任作一圆,与∠MAN的两边分别交于B,C两点.求证：AB+AC为定值.

图6

证明：如图6,设∠CAP=∠BAP=α,AP=a,由余弦定理,得PB2=AP2+AB2-2AB·APcosα,即

AB2-2acosα·AB+a2-PB2=0.

同理,可得

AC2-2acosα·AC+a2-PC2=0.

因为PC=PB,由上述两个方程可知,AB,AC为一元二次方程x2-2acosα·x+a2-PB2=0的两根.由韦达定理,可知AB+AC=2acosα(定值).

方法与技巧：本题的证明技巧表现在灵活运用余弦定理,“沟通”了AB,AC与a,α之间的关系,先讨论特殊情况,再探求一般情况,最后结合韦达定理使问题得证.

6 化为一元二次方程

图7

例6如图7,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点E在直角边AC上(点E与A,C两点均不重合).

(1)若点F在斜边AB上,且EF平分Rt△ABC的周长,设AE=x,试用含x的代数式表示S△AEF.

(2)若点F在折线ABC上移动,试问：是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分?若存在,则求出AE的长;若不存在,请说明理由.

图8

(2)假设存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分.

图9

图10

方法与技巧：本题将三角形的面积、周长、点的位置关系等问题巧妙地转化为一元二次方程来解决.第(1)问利用了相似三角形的相似比;第(2)问根据点F的不同位置,借助图形分为三种情况进行了讨论、排除.

综上所述,运用方程思想解决几何问题,首先要考虑把哪个几何量看作未知数;其次,要找出“形”与“式”之间的内在联系,例如相等、相似关系.在几何问题中,公理、定理、公式、性质,以及题目给出的数量关系、图形中的某些位置关系等,都有可能为我们用方程思想解题提供依据.