例谈轴对称性质的应用

⦿ 贵州省威宁县第十一中学 王光杰

轴对称属于全等变换,对称轴两旁的部分是全等的,据此,可以推出关于轴对称的诸多性质,如“对称点的连线被对称轴垂直平分”“对应线段相等,对应角相等”“对称点与对称轴上任一点连线的夹角被对称轴平分”等.只有明确这些性质,知道其应用于哪一方面,才能在中考中稳操胜券.

1 用“对称点的连线段被对称轴垂直平分”求线段长

由于在对称轴两侧的部分能够互相重合,因此,当对称点连线后,两对称点到交点的距离相等,对称点的连线被对称轴垂直平分.

图1

例1如图1,已知点M是∠AOB内任意一点,点M1,M关于OA对称,点M2,M关于OB对称,连结M1M2,分别交OA,OB于C,D两点,连接MC,MD,若M1M2=10 cm,求△MCD的周长.

分析：根据轴对称图形的性质,即“对称点的连线被对称轴垂直平分”,可得OA垂直平分MM1,OB垂直平分MM2.依据“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”,可得MC=M1C,MD=M2D.于是△MCD的周长就转化为线段M1M2的长.理由如下.由点M1,M关于OA对称,可知OA垂直平分M1M,则MC=M1C.同理,MD=M2D.所以△MCD的周长为MC+CD+MD=M1C+CD+M2D=M1M2=10 cm.

点评：此题的图形也是下面问题的作图方法,即在已知角内有一点M,在角的两边上求作两个点,使点M与这两点构成的三角形周长最小.

图2

变式练习1如图2,点P是∠AOB外一点,点M,N分别是∠AOB两边上的点,点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM=2.5 cm,PN=3 cm,MN=4 cm,求线段QR的长．

答案：4.5 cm.

2 用“对称点的连线段被对称轴垂直平分”求角度

轴对称的性质有多种应用,不仅能求得图形中线段的长,而且可以求得角度,还可以用于证明.

图3

例2如图3,在△ABC中,直线l交AB于点M,交BC于点N,点B关于直线l的对称点D在线段BC上,且AD⊥MD,∠B=28°,求∠DAB的度数．

分析：因为点B关于直线l的对称点是点D,根据对称点的连线被对称轴垂直平分,得直线l是线段DB的垂直平分线,所以MD=MB.根据等边对等角,得∠MDB=∠B=28°.根据三角形外角的性质,得∠AMD=∠MDB+∠B=56°.在Rt△ADM中,根据三角形内角和定理,得∠DAB=90°-56°=34°．

点评：利用“对称点的连线被对称轴垂直平分”这一线段垂直平分线的性质,得到等腰三角形,自然就有等角了.

图4

变式练习2如图4,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为外角∠BCD平分线上一动点(不与点C重合),点E关于直线BC的对称点为F,连接BE,连接AF并延长交直线BE于点G．

(1)求证：AF=BE.

(2)用等式表示线段FG,EG与CE的数量关系,并证明．

答案：(1)略;(2)GE2+GF2=2CE2．

3 用“对应线段相等,对应角相等”求线段长

“对应线段相等,对应角相等”是轴对称最基本的性质,在折叠问题中这个性质的应用最多.下面就是利用此性质解答的折叠问题.

图5

例3如图5所示,AD是△ABC的中线,∠ADC=60°,把△ADC沿直线AD折过来,点C落在点C′的位置.

(1)在图中找出点C′,连接BC′;

(2)如果BC=4,求BC′的长.

图6

分析：我们知道,翻折前后的两个图形关于折痕成轴对称图形,点C与C′是对称点,所以可以用“作垂线—截相等—描点”的方法作出点C′(如图6);根据成轴对称的两个图形中“对应线段相等,对应角相等”,可得DC′=DC=BD=2,∠C′DA=∠CDA=60°,从而得到等边三角形C′BD.

(1)作CO⊥AD并延长CO至点C′,使OC=OC′,点C′即为所求.

(2)连接C′D,则CD=C′D,∠ADC=∠ADC′=60°,所以∠BDC′=60°.由BD=DC=2,可得BD=C′D=2,则∠C′BD=∠BC′D=60°,可知△C′BD为等边三角形,所以BC′=BD=2.

点评：因为轴对称图形中“对应线段相等,对应角相等”,所以图形折叠后与中线相结合,可得到等腰三角形,而等腰三角形是初中学习的重要图形,有关它的性质比较多.

例4如图7-1,△ABC的点C与C′关于AB对称,点B与B′关于AC对称,连接BB′,CC′,交于点O．

图7-1

(1)如图7-1,若∠BAC=30°,①求∠B′AC′的度数;②观察并描述：△ABC′可以由△AB′C通过什么变换得来?求出∠BOC′的角度.

(2)如图7-2,若∠BAC=α,点D,E分别在AB,AC上,且C′D∥BC∥B′E,BE,CD交于点F,设∠BFD=β,试探索α与β之间的数量关系,并说明理由．

分析：(1)①因为点C,C′关于AB对称,点B,B′关于AC对称,由“对应线段相等,对应角相等”,得∠CAB=∠BAC′=∠CAB′=30°,所以∠B′AC′=90°．

②图7-1中,设AC交BB′于点J．△ABC′可以由△AB′C绕点A顺时针旋转60°得到．因为AC=AC′,AB=AB′,∠CAC′=∠BAB′=60°,所以∠AB′O=∠ACO=60°.因为∠AJB′=∠OJC,所以∠B′OC=∠B′AJ=30°．故∠BOC′=30°.

(2)β=2α．理由：由轴对称的性质,得BC=BC′,DC′=DC,∠ABC′=∠ABC.因为DC′∥BC,由“两直线平行,内错角相等”,得∠C′DB=∠ABC=∠C′BD,由等角对等边,得C′D=C′B,所以BC=BC′=C′D=DC.根据四边相等的四边形是菱形,得四边形BCDC′是菱形,所以CD∥BC′.同理BE∥CB′.所以∠FCB+∠CBC′=180°,即∠FCB+2∠ABC=180°.同理∠FBC+2∠ACB=180°,也即∠BFD=∠FBC+∠FCB,所以∠DFB=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=360°-2(∠ABC+∠ACB)=2∠BAC.所以β=2α．

4 用“对称点与对称轴上任一点连线的夹角被对称轴平分”求角度或周长

轴对称的“对称点与对称轴上任一点连线的夹角被对称轴平分”这一性质不经常用,常用在探究性质的问题中.

图8

例5如图8,△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称,△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称,直线MN与EF交于点O,试探究∠BOB″与直线MN,EF所夹锐角α的数量关系.

分析：连接OB′,OB″,OB,根据“对称点与对称轴上任一点连线的夹角被对称轴平分”,可得两组相等的角,即∠MOB=∠MOB′,∠FOB′=∠FOB″,据此可得∠BOB″=2∠MOB′+2∠FOB′=2(∠MOB′+∠FOB′)=2∠MOF=2α.

点评：此题也反映出轴对称与旋转的关系,即当两条对称轴相交时,两次轴对称相当于一次绕着交点旋转对称轴夹角的2倍度数.

图9

变式练习3如图9,点P在∠AOB的内部,点C和点P关于OA对称,点P关于OB对称的点是D,连接CD交OA于点M,交OB于点N．

(1)①若∠AOB=60°,则∠COD=______°;

②若∠AOB=α,求∠COD的度数．

(2)若CD=4,则△PMN的周长为______．

答案：(1)①120; ②2α． (2)4.

轴对称是图形变换之一,属于全等变换,是中考的必考内容,它常与其他图形结合起来考查,要求学生会运用运动的观点看问题.