轴对称问题中的数学思想

⦿ 江苏省苏州市教育科学研究院附属实验学校 杨 敏

数学思想是数学学科的灵魂,是解决数学问题的万能钥匙.它包括转化与化归、分类讨论、数形结合、数学建模、从特殊与一般等思想.在轴对称的问题中也蕴含着以下数学思想.

1 转化与化归思想

在解决数学问题的过程中,将生疏的化为熟悉的、将抽象的化为具体的、将复杂的化为简单的、将一般的化为特珠的以及将未知的化为已知的等,都属于转化思想的具体体现.

例1如图1,已知直线l外有一点P,试在l上求两点A,B,使AB=m(定长),且使PA+PB最短.

图1

图2

分析：当把点P沿直线l的方向平行移动到点C(如图2)使PC=m时,那么问题就转化为在直线l上求作一点B,使PB+PC最短.

作法：如图2,①过P作PC平行于l,使PC=m;②作点P关于直线l的对称点P′,连接P′C交直线l于点B;③在直线l上截取AB=m,使点A,B在PP′的两旁,则A,B就是所求作的点.

点评：本题把已知一点求作两点的问题转化为已知两点求作一点的问题,再利用轴对称知识实现问题的解答.

图3

例2如图3,已知∠BAD=100°,AB⊥BC,AD⊥DC,分别在BC,CD上找一点M,N,使△AMN周长最小,并求此时∠MAN的度数.

分析：要使△AMN的周长最小,可使三角形的三边转化到同一直线上,也就是A,M,N在同一直线上.利用轴对称,分别作点A关于BC,CD的对称点A′,A″,让这两个对称点替代点A,可以实现点A,M,N在同一直线上的目的,同时得∠AA′M+∠A″=80°,进而得到∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″),即可得解．

图4

解：如图4所示,分别作点A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC,CD于点M,N,此时线段A′A″的长就是△AMN周长的最小值．因为∠DAB=100°,由三角形内角和定理,得∠AA′M+∠A″=80°,由对称轴的性质,可得∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,所以∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″)=2×80°=160°,因此∠MAN=180°-160°=20°．

点评：本题通过轴对称把一个三角形的三边转化到同一条直线上,从而实现了三角形周长最小的目的,最后利用轴对称的性质求得相关角度.可以看出,在求线段、线段和最小值方面,轴对称功不可没.

2 分类讨论思想

在解题时,有时需要把问题分为若干个小问题来解决,通过小问题的解决从而达到解决大问题的目的,这种解决问题的思想就是分类讨论思想.

图5

例3如图5所示,由四个小正方形构成的“L”形图中,请尝试用三种方法添加一个小正方形使其成为一个轴对称图形.

分析：轴对称图形是沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形.当沿着竖直的直线折叠时(如图6),小正方形应添在左下边;当沿着水平的直线折叠时(如图7),小正方形应添在右上边;当沿着倾斜的直线折叠时(如图8),小正方形应添右下边.

图6

图7

图8

解：如图6、图7、图8所示.

图9

点评：在解答本题时,将对称轴分为水平、竖直、倾斜三类,从而得到了三种方法.用分类讨论思想可使我们考虑问题既不重复也不遗漏.

例4如图9所示,在长方形纸片ABCD中,AB=1,E是AB的中点,F是CD的中点,H是BC上一点,沿AH将△ABH折叠,点B恰好落在直线EF上的G点．当△ADG为等腰三角形时,求AD的长．

图10

②当AD=AG时,AD=AG=AB=1.

点评：在矩形ABCD中,因为AD的长不确定,所以△ADG为等腰三角形可能有三种情况.因为一个三角形有三条边,所以当一个三角形是等腰三角形时,可能有三种情况,分类讨论起到了化整为零的效果.

3 数形结合思想

数形结合,大致有两种情况：一是借助数的精确性来说明形的属性;二是借助形的直观性来说明某种数量关系.因为数的精确和形的直观,所以数形结合能帮助我们更好地理解和解决问题.

例5如图11,一些数字均匀错落分布在正方形中,王海运用轴对称的方法,迅速求出了这组数字的和,请问你可以吗?

图11

图12

分析：正方形是轴对称图形,经过对边中点的直线和对角线所在的直线都是它的对称轴(如图12).从数字组可以看出,一条对角线上的数字都是5,以这条对角线为对称轴折叠正方形后,对应位置上的数字之和均为10,共产生10个10(如图11),所以正方形中数字之和为5×5+10×10=125.

点评：本题将数的运算与轴对称图形结合起来,找到解题的捷径,体现了数形结合思想的价值.

图13

图14

点评：本题利用轴对称变换,把分散的阴影部分集中起来,组成规则图形,从而求得阴影部分的面积和.在解答过程中,观察图形发现两个轴对称图形,即矩形与抛物线,因为它们的对称轴重合,所以它们组成的图形仍是轴对称图形.求图形面积时,把点的坐标代入函数解析式求得对应线段的长,从而求得面积.通过图形组合构图,通过代入计算求得线段的长,体现了数形结合思想的应用.

数学知识是无限的,但数学思想是有限的,把握住有限的数学思想,不仅能高效地解决问题,而且能更深刻地理解数学知识.