初中数学单元教学设计探索——以“一元二次方程”为例

⦿ 吉林师范大学数学与计算机学院 蔡欣彤

“一元二次方程”位于人教版初中数学九年级上册第二十一章,是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、因式分解、平方根等知识后,对研究方程的基本思路比较熟知的基础上展开学习的,是方程知识的自然生长.本文中将“一元二次方程”内容进行了整合与重组,基于单元整体教学设计理念,设计本单元起始课,彰显数学知识的系统性和逻辑性,促进学生思维的发展.

1 教学设计

1.1 情境引入

根据以下情境找出等量关系,并列出方程(组).

(1)用一根长54 cm的铁丝围成一个正方形.设正方形边长为xcm.

(2)乒乓球比赛中,赢一场得2分,输一场得1分,初三(2)班赛了12场后积20分.设赢x场,输y场.

(3)800 m赛跑中,甲同学速度是乙同学的1.2倍,甲同学比乙同学成绩快2 s.设乙同学速度为xm/s.

(4)某校学生人均阅读量从七年级的每年85万字增长到九年级的每年100万字.设七年级到九年级人均阅读量年均增长率为x.

(5)参加团建活动的每两人之间互送一件礼物,共送出了45件礼物.设有x人参加活动.

学生根据题意可列出方程(组)：

(5)x(x-1)=45.

设计意图：设置生活情境,让学生在列方程的过程中,感受方程是刻画现实世界和解决问题的重要工具.同时,随着问题的加深,方程从一元到二元、从整式到分式、从一次到二次的过程中,初步形成方程体系的整体结构,感悟方程模型的广泛性和简洁性.

1.2 概念归纳

问题1以上列出的方程中,有我们学过的吗?你能说出它们分别是哪一类方程并说明理由吗?

问题2化简方程(4)和方程(5),对比方程(1)(2)(3),它们有什么特点,你能给它们命名吗?

问题3一元一次方程的一般形式为ax+b=0(a≠0),类比一元一次方程,你能写出一元二次方程的一般形式吗?

追问1：说出一元二次方程的一般式中各项及系数分别是什么?

追问2：为什么要限制二次项系数a≠0?

思考：根据以上问题,你能说出一元三次方程、一元四次方程……一元n次方程吗?

设计意图：通过复习,归纳一元一次方程、二元一次方程及分式方程的概念和特点,发现各类方程的相同点和不同点,感受各类方程的区别与联系,类比之后,顺势构建一元二次方程的定义和一般形式,并拓展一元n次方程的形式.

1.3 解法探究

问题4根据方程的研究思路,在学习定义和一般形式之后,我们接下来应该研究哪些内容?

定义—解法—应用.

问题5运用已有知识如何解方程x2-25=0?

方法1：由x2-25=0,得x2=25,所以x1=5,x2=-5.

方法2：利用因式分解,将方程x2-25=0化成(x+5)(x-5)=0,得到x1=5,x2=-5.

学生解答后,教师给出这两种解法的名称,即“直接开平方法”和“因式分解法”,并归纳、概括解一元二次方程的基本思想：降次,将其转化为一元一次方程的形式求解.

探究1x2+6x+4=0能否用直接开平方的方法求解?

教师引导学生思考,将方程左边转化为x2+2bx+b2的形式,配成完全平方式后,便可以用直接开平方法求解了,从而得到解一元二次方程的另一种方法——配方法.

探究2如何用配方法得出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解?

师生共同推导求根公式,得到解一元二次方程的第四种方法——公式法.

拓展：尝试解下列方程.

设计意图：首先用一个简单的方程介绍直接开平方法和因式分解法,建立“降次”的基本思想,再通过直接开平方法和配方法同根同源,将方程转化为完全平方的形式,突破用配方法解一元二次方程的难点,最后得到求根公式,帮助学生感悟四种方法之间的关联.拓展练习设计了一个一元三次方程和一个根式方程,学生凭借经验能够想到将它们转化为一元一次方程求解,体会类比和转化的数学思想.

1.4 解决问题

问题6用方程解决实际问题的过程是什么?

设—列—解—检—答.

问题7从地面竖直向上抛一小球,小球高度h与运动时间t的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).

(1)填写下表：

t/s01234……h/m

(2)小球运动时间为多少时,高度为0?

设计意图：师生共同填写表格,对于t的每一个确定的值,h都有唯一确定的值与之对应,从而使学生自然地想到函数关系;教师适时引领学生类比一次函数与一元一次方程解决问题,为二次函数的学习做铺垫.

1.5 课堂小结

讨论1：本节课你学到了哪些知识?

讨论2：你想对一元二次方程的哪部分内容进行深入研究?

设计意图：此环节不应流于形式,应鼓励学生畅谈课堂收获,通过小结再次建构本单元知识的内在逻辑,同时对后续的学习内容展开思考,激发探究欲望.

2 教学反思

2.1 既见树木,又见森林

在常规教学中,通常先将一元二次方程的定义、解法与应用分开讲解,再综合到一起,这样知识之间相互割裂,缺少关联.而在本节起始课的设计中,将知识点进行了有机组合,先从整体上建构本单元的知识体系,让学生有整体感知,在后续的课程中再对具体知识点进行巩固.既关注局部,更着眼全局.同时,学生通过自主探究与发现,不仅理解了“是什么”与“为什么”,还知道了自己是“如何学会的”,利于感悟知识的生成过程、知识的本质及知识间的相互联系,形成全面思考的习惯,提高数学核心素养.

2.2 授人以鱼,不如授人以渔

一元二次方程无论在学习内容还是学习方法上,与一元一次方程、二元一次方程及分式方程都很相似,因此在引入部分不仅给出了关于一元二次方程的问题情境,而且设置了关于一元一次方程、二元一次方程和分式方程的情境,梳理整个方程体系,在共性与特性之中,类比归纳一元二次方程,预见新知如何发展,让知识自然生长.着眼于学生最近发展区,充分考虑学生的认知水平和已有经验,创设思维情境,促使学生自主探究,提高分析问题和解决问题的能力.

2.3 道而弗牵,开而弗达

整个教学设计注重立足于整体把握,在理解教材、数学与学生的基础上,呈现环环相扣的问题,激发学生认知结构中能够与新知识一元二次方程同化的知识储备,引导学生把新知识和旧知识联系起来,逐步进行探索和融会贯通,层层设问,由表及里、由浅入深地激发学生学习内驱力,开拓思维,让学生成为课堂的主人.同时,突破教学难点,构建一元二次方程知识框架.在此过程中鼓励学生积极思考、合作交流,致力达到教师“举一”而学生“反三”的教学效果.

单元教学作为一种能够优化教学内容、整合数学知识与思想结构的教学模式,是落实核心素养的重要途径.单元教学设计强调学生的自主建构,在设计时应站在学生的视角,与学生已有的知识经验相结合,对学生学习一个单元的完整过程进行合理规划,引导其通过对各个小单元的学习,建构单元主题的大观念,感受数学学习的整体性.在教学中多采用启发式、探究式、引导式等方法,开拓数学单元教学设计研究的更大空间.