习题讲评的教学追求：讲清、讲深与讲透

⦿ 江苏省海安市李堡中学 姜国生

郑毓信教授在文献[1]中围绕“就题论道”列举了三个实例,娓娓道来,以小见大,深入浅出,笔者深受教益．该文中的“案例1”笔者在教学中也恰好遇到过,但当时没有这样深的认识,所以决定利用一节数学活动课对这道题让学生“再认识”,教师“再讲评”.以下梳理该案例的教学记录,并跟进教学思考,提供研讨．

1 教学案例

例题有甲、乙、丙三种货物,若购甲货物2件,乙货物4件,丙货物1件,共需90元;若购甲货物4件,乙货物10件,丙货物1件,共需110元．若甲、乙、丙三种货物各购1件,共需多少元?

师：同学们,这道例题我们在之前曾经遇到过,当时不少同学都感觉比较困难,只有几个同学做出来了,后来还投影过他们的解法,但由于时间原因,没有深究下去．今天我们专门抽一节课的时间,深入研究一下这道例题的解法．先请一个同学来回顾一下是如何解这道题的?

生1：设购甲货物一件需x元,乙货物一件需y元,丙货物一件需z元,根据题意,列方程组

①

②

②-①,得2x+6y=20,用含y的式子表示x,则x=-3y+10.

②-①×2,得2y-z=-70,用含y的式子表示z,则z=2y+70.

所以x+y+z=(-3y+10)+y+(2y+70)=80.

故甲、乙、丙三种货物各购一件共需80元．

师：很好!请生2来说说,你能看懂生1的解法吗?你觉得他成功解题的关键是哪一步或哪几步?

生2：看懂了!关键是用含y的式子分别表示出x,z,然后代入x+y+z中恰好能消去y,得到数值80!

师：很好!那么,我们是否可以用含z的式子来表示出x,y,再代入x+y+z中求解呢?

(学生经过几分钟演算之后,也算出了一样的结果,教师进行了投影展示.)

师：刚才的思路可看成是“各个击破”,如果着眼于“x+y+z”这个整体,能否直接变形求出x+y+z的值呢?

生3：可以.由①×3-②,得2x+2y+2z=160,即x+y+z=80．

师：很好!看来“①×3-②”这一步很关键,直接得到2x+2y+2z的值,就可以看出答案了!沿着生3的这种整体眼光,能否将原方程组中的两个方程也分别变形出“x+y+z”呢?大家尝试一下!

(不到三分钟,生4发现了思路,手举得很高!)

师：非常好!请一个同学再讲讲生4的这种有创意的解法．(另外一个学生复述一遍思路.)

现在,让我们再练习一道同类题和一道变式题,巩固一下上面的解法．

练习1(同类题)甲、乙、丙三种货物,购甲3件,乙7件,丙1件,共需300元,购甲4件,乙10件,丙1件共需400元.求购甲、乙、丙各一件共需多少元?

教学记录：多数学生很快就完成了解答,且正确率很高,做得快的学生还用了几种不同的方法．

教学反思：以上教学活动用了二十五分钟左右,弥补了之前讲评太快的遗憾,让学生加深了对这道例题的印象．课后还有学生在“错题本”上以“数学写作”的形式梳理了这道例题,说明学生对这样的教学活动还是很有兴趣的．这也提醒笔者,今后遇到经典问题时,要舍得花时间让教学和讲评“慢下来”,特别是有多种解法的,要鼓励学生充分表达、交流各自的解法,然后从解法的繁简、是否有推广运用的价值、是否自然等角度进行评析,让学生学会比较、善于比较,以达到对一类问题的深刻理解．

2 关于习题讲评的一些思考

2.1 注重待讲习题的深入思考

目前,在一线教学中习题讲评课还是占有较大的比例,学生的作业、练习很多都需要集中讲评,在讲评前教师要有进行深入思考．具体来说,如果只是满足于答案的核对或一种技巧性步骤的分享,则学生可能当时能看懂思路,学会了一种解法步骤,但是时间一长,遇到稍有变式的同类问题,可能仍然没有思路．这也是很多学生常常感慨“上课听懂了,但一遇到同类问题仍然不会做”的原因．正如郑毓信教授在文献[1]中给我们的教研启示一样,当我们对要讲评的习题进行备课时,要深入思考：这道习题有哪些不同的思路?这些思路的解题念头从而来而?怎样才能自然而然地想到这些思路?怎样把这些解题方法传递、分享给学生?等等．当然,还要善于站在学生的立场,弄清学生已有了哪些知识、方法的积累,从近期曾经练习过、讲评过的习题中找到同类习题或体现类似方法的习题,引发学生的解题共鸣.这些都是拟讲评习题前进行深入思考的一些角度．

2.2 重视经典问题的深度教学

文献[2]记录了我国著名数学家李大潜院士“怀念徐质夫老师”的一段往事,让李院士印象深刻的是中学阶段徐质夫老师非常注意经典问题的深度教学．这对我们开展习题讲评提供了非常有益的视角,即应该十分重视经典问题的深度教学．具体来说,中学阶段有很多经典问题(或习题),它们多数出现在教材例题和习题中．笔者有一个比较好识别经典问题的方式,那就是在教材例题或习题中出现两次或以上的同类问题往往是经典问题,或者围绕教材例习题进行变式的中考题往往也是经典问题．把这些经典问题搜集起来,特别是将同类问题梳理在一起开展解题教学是很有必要的．那么,如何围绕这些经典问题开展深度教学呢?笔者有以下一些做法：比如,先听学生分享各自的不同解法,然后让学生对比不同解法的优劣,从而在比较中学习、掌握好的解法;再如,在解法反思环节,让学生辨析不同解法的关键步骤,或者找出(或分离)线条较多的几何问题中的基本图形,促进学生对这些基本图形及变式的深刻理解．

2.3 精心预设同类习题及变式

除上文教学实录中提到的“一个学生讲解思路之后,请另一个学生复述解法”之外,为了取得较好的讲评效果,同类练习的反馈也非常必要．这就要求我们在课前备课,搜集或改编同类练习.同类练习可以反馈学生的知识掌握情况,又可以提升学生解题信心．当然,为了防止优秀学生“空转”(对于一些同类问题反复训练),还需要对问题进行必要的变式与拓展,以训练学生创造性思维,激发学生的解题智慧．笔者认为,还应该重视选编“形异质同”问题进行训练．具体来说,上文中教学实录的最后,提供了两道练习题,其中“练习1”属于“形同质同”问题,只是简单改变了数字,问题实际背景、解法思路与原来的“例题”基本一致;而“练习2”则属于“形异质同”问题,拿掉了实际问题背景,在解题方法上需要恰当变形,运用整体眼光进行处理．

3 写在后面

本文是阅读我国著名数学教育家郑毓信教授一篇“接地气”的文献引发的教学记录与思考,对于笔者来说受益很多.比如,今后应该如何深入研究经典问题;如何给学生答疑解惑;如何在解题教学中从“就题论题”到“就题论道”;如何切实将阅读的文献、理论学习转化到教学实践中;等等．当然,笔者的这些认识还很肤浅,期待更多的同行阅读文献,积极实践,交流经验．