现象教学视角下的单元复习课

黄雪林

摘 要：现象教学的核心理念是生成，学生头脑中天然生成的知识是学生真正理解了的知识.本文對现象教学视角下如何进行单元复习教学，构建“现象教学单元复习教学模型”进行研究，以“空间的距离”单元为例，阐述围绕“生成”开展的现象教学单元复习课如何通过“直观感知→现象解析→意义生成→应用拓展→综合评价”有层次地推进.

关键词：现象教学；单元复习；空间的距离

单元复习课是对章节教学内容进行深入的解读、整合、重组，以讨论、探究、发现、交流、总结等手段在课堂教学中体现数学概念与数学方法之间的联系，实现学生学科素养提升的综合教学.解题教学典型的单元复习通常以这样的形式开展：梳理单元相关数学概念→例题讲解+变式分析+课堂练习→课堂小结→课后练习.核心素养立意下的高中数学教学和现象教学的主张一样，都重视数学概念的深度理解.解题教学理念下的单元复习课中，以知识清单或者思维导图的形式呈现在导学案上，教学过程中以校对和复述的方式进行数学概念的重现，这种概念梳理方式不容易实现对数学概念的深度理解.

现象教学主张单元复习教学以真实现象为学习和研究的抓手，多视角多维度地分析现象蕴含的数学本质、促进生成结构化的知识框架、自然生成系统化的探究路径、建立起数学概念间的联系.在教学过程中围绕“意义生成”为核心目标，既要感知章节核心概念的来源、生成数学概念之间的本质关系，形成涵括数学现象属性的上位概念，形成知识的系统化和整体化，解决知识碎片化的问题.同时也要能够实现数学方法的自然拓展延伸.主要体现在形成探究常规问题的一般方法，总结归纳特殊情况下的特征规律，摸索统一的研究路径，完成适当的迁移提升，培养必备品格和关键能力.本文以高中数学“空间的距离”为例，阐述现象教学视角下的单元复习教学的实践与研究.

1 案例：现象教学视角下“空间的距离”的专题复习课

1.1 直观现象的探究，生成上位概念和构建系统结构

课前思考：空间的距离包含哪些分类？能否具体陈述并根据自己的理解给出“空间的距离”的统一定义？

生1：空间的基本组成部分包含点、线、面，所以空间的距离主要表现为点与点、点与线、点与面、线与线、线与面、面与面的距离.（在黑板上画出点A和点B、不过点A的直线l、点A与平面α，直线a与直线b，直线l与平面α，平面α与平面β，如图1所示）点A与点B的距离是线段AB的长度；点A到直线l的距离是过A作直线l的垂线段的长度；点A到平面α的距离是过A作平面α的垂线段的长度；直线a与直线b的距离是与直线a和直线b都垂直的垂线段的长度；直线l与平面α的距离是在直线l上任取一点作平面α垂线段的长度；平面α与平面β的距离是在平面α内任取一点作平面β垂线段的长度.

师：在同学的阐述中，我们来梳理一下核心词是什么？

生：垂线段（垂直）.

师：垂线段表现了什么几何特征？

生2：所有连线中长度最短.

师：非常好，进一步思考，相交直线的距离是什么？

众生产生疑惑，一部分同学认为没有距离，一部分同学陷入思考.教师进一步引导.

师：请问我们平时是否会问苏州市和上海市的距离是多少这样的问题？

众生点头表示认同，教师请同学回答“苏州市和上海市的距离是多少”，众生思考后提出不同观点，有的同学认为可以从地图上找出“苏州站和上海站的距离”“苏州市政府和上海市政府的距离”，但这些都不是“苏州市和上海市的距离”.

师：（进一步引导学生思考）一个人从苏州市到上海市，最快需要多长时间？

生3：可以不花时间，如果他站在两市的交界处.

师：所以苏州市和上海市在地理的范畴来说是接壤的，从数学的视角来看距离为0.

众生：相交直线的距离是0，点在直线上时距离为0，直线与平面相交和直线在平面内时距离都是0，相交平面的距离也是0.

师：再提出一个问题，两个几何体之间有没有距离？

众生：有的（回答基本一致，至此同学们对空间的距离有了较为一致的认识）.

师：如果我们把点、线、面、几何体等看作点的集合，那么距离是两个点集所有连线中最短的线段的长度，这就是“空间的距离”的数学本质.基于对“空间的距离”的概念的理解，我们再来看点到球体的距离是点到球心的距离减去半径；两个球体的距离是两球心的距离减去两球的半径.进一步思考：我们可以用数学符号语言对距离进行描述吗？

设计意图：学生在单元复习课前已经存在“空间的距离”的基本认知，只是大部分学生对“空间的距离”的理解是以点与点、点与线、点与平面、线与线、线与面、面与面这样的下位概念的形式呈现的.单元复习课的概念回归环节不应该是机械记忆的重现，如果教师在单元复习课中选择以简单的填空或复述的形式重现数学概念，容易造成数学概念碎片化现象的出现，形成从数学概念到数学方法、数学思想、数学应用三位一体的知识系统或可解决这一问题.

现象教学视角下的单元复习课中，教师结合真实的现象帮助学生完成了“空间的距离”这一上位概念的形成，从点的集合的视角深度理解距离的数学本质.基于上位概念的视角去重新梳理下位概念和平行概念，形成体系，实现深度学习的教学目标.

1.2 直观现象的解析，生成系统的数学方法和规范的表达

进一步思考：生成了“空间的距离”的概念，如何结合概念，整合学生已有的数学经验生成常规方法？

师：“空间的距离”是空间中两个点集中各取一点构成的所有线段中长度最小的线段的长度，即f（x，y，z）=|PQ|_min.生成“空间的距离”概念后，我们重新审视空间的距离有哪些具体的表现形式？以什么标准进行分类？空间中点的集合包含线、面和几何体等形式，空间距离存在点与点、点与线、点与面、线与线、线与面、面与面等形式.思考：求解两个点集的空间距离是否有统一的方法？

生5：生1在绘制草图解释“空间的距离”是用“垂线段”来刻画，结合“距离”的概念我们可以在生1绘制的草图上进行简单的加工和思考（图2）.

师：平行于平面的直线l到平面α的距离是直线上的任意一点到平面的距离，那么直线与平面不平行时的距离如何求解？不平行的两个平面的距离如何求解？

众生：都是0.

师：“垂直的线段”容易在画图的过程中展现但是不好求解，空间向量中“法向量”是垂直的代数表达形式，基于空间向量是自由向量这一属性，求两个空间点集的距离我们探索出了统一的求解方法：在两个空间点集各取一点P和Q，连接两点的向量，在两个空间点集法向量上的投影向量的模就是f（x，y，z）=｜PQ｜_min.生5的推导过程和归纳你们是否认同？

众生：认同.

师：生5的归纳与你们之前关于“空间距离”的理解有什么相同和不同？

生6：我们以前求点到直线的距离必须要有点坐标和直线方程，而且是在平面解析几何中才会求解.点到直线的距离在立体几何中是存在的实际情况，并且推导点到直线距离的方法是可以迁移到解决点到面的距离问题.这样同一类问题，方法的迁移对我们今后的学习有很大帮助.

生7：生1和生5在概念解释和方法归纳的过程中都绘制了草图，数形结合的方法可以较好地帮助我们将抽象的概念形象具体地展现.

生8：我们学习了“空间的距离”的概念后，对于距离的理解就不再是点与点、线与线、点与面等各种各样的模型和公式.我绘制了关于“空间的距离”的一个概念图（图3）：

师：这个整理概念的方法很不错，那么我们今天就安排一个以“空间的距离”为主题的概念手抄报的作业，看看大家对“空间的距离”是否都有自己的理解.

设计意图：“空间的距离”的上位概念的生成不但能够梳理好数学概念间的关系，还能够自然生成求解距离的数学方法.倘若教师只是一味整合空间向量求解空间距离的方法，学生不容易理解向量求距离的本质.讲解再多的例题、变式，都不容易达到理想的复习效果.

现象教学的三个核心词直观、生成和应用与大单元教学的精神是高度契合的，直观的现象帮助学生头脑中生成了“距离”的概念和空间向量求解空间距离的本质思想，在数学方法中深度理解空间向量是自由向量的特征属性.還应当注意到，在学生学习了多种距离后如果仍然停留在对具体距离的认识上，那对认知发展而言是一个缺憾，现实世界中没有抽象的点、直线、平面，有的都是具体的物体和区域.从教学实践来看，在有了点线、线线、面面距离后让学生认识一般意义下的点集距离是可行的，而其教学效果（指对前述距离的反馈）则尤其令人欣喜.

1.3 直观现象的剖析，形成解决实际应用问题的关键能力

“应用”是数学学习的重要目标，如何设计实际应用环节才能实现数学概念、数学方法的深度理解？

师：“空间的距离”在我们身边无处不在，现在我们有一个棱长为2的正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，E为BB₁的中点.你们能否以这个正方体为研究对象，设计以“空间的距离”为主题的数学问题？

生8：求点C到平面AD₁E的距离.这是考查点到平面的距离，由于CAD₁E是典型的三棱锥，且是在正方体内的三棱锥，那么我们可以选择等体积和空间向量点到面的距离形式进行问题的解决.等体积解决点到面的距离较多地建立在较容易得到体积，三棱锥CAD₁E的体积并不容易得到，正方体ABCDA₁B₁C₁D₁方便建立空间直角坐标系，利用空间向量解决点C到平面AD₁E的距离具有明显优势.

师：总结一下同学们自主命制的数学问题，不但考查了点到面的距离、异面直线的距离、平行于平面的直线到平面的距离、两平行平面的距离，还命制了开放性的综合问题.同学们可以在手抄报作业中增加命制关于空间距离的数学问题.（课堂总结和作业布置环节略）

设计意图：传统解题教学单元复习中，数学概念的应用拓展以例题讲解+变式分析+随堂练习的形式呈现，例题的设计一般根据考查的知识点由简至难、逐层推进，变式和随堂练习也都会与例题匹配.整个过程中学生的参与主要体现在主动做题，有的教师为了提高学生的参与度安排学生讲解解题思路、归纳解题过程中的数学方法、总结例题考查的知识点等环节.这些设计能够较好地实现数学概念的应用拓展，实现数学概念的深度理解.

基于现象教学视角下的例题的讲解不是像问题教学一样只是“解决了一道数学习题”，学生在将例题还原为数学现象进行研究的过程中感受生成数学概念、生成数学方法和感受命题视角下对数学概念的深度思考，实现思维的延伸.

2 回顾与反思

2.1 设计理念

大单元复习课的定位不是让学生简单地复述点与点、点与线等形式距离的空间向量的求解方法，而是让他们生成“空间距离”的概念，充分理解空间向量在求空间距离中的工具性作用，将空间距离作为直观现象去观察、分析，最后生成了新的知识体系、新的数学方法，这就是基于现象的大单元教学.基于解题的大单元教学，则有相反的顺序，它会把数学概念以填空或者表格的形式给学生，再让学生去理解知识、掌握知识、应用知识直至综合、创新.大单元复习理念的提出就是针对“碎片化”现象的教学进阶，对知识的整合不是机械地记忆和重复，是希望完善知识体系的同时，培养学生的探究意识和探究能力.知识容易忘记，但探究的意识和能力很难忘记，后者才构成人的内在素养，才是教育应该给予学生的.“你无法获得不是流自自身心灵的泉水”歌德如是说.在课堂教学的过程中可以做这样的诠释：“不是自己头脑中生成的知识，便不能真正地拥有和自如地应用”.归根结底，“生成”才是知识的学习、理解、应用、创新的真正源头.“知识生成”是头脑中自然产生对观察对象的解释，它来自于人与世界的互动，来自于学习者头脑的即时创造.与“建构”相比，“生成”更强调人对世界的认识，而不是人对知识的认识，因而更有生态性.

2.2 教学过程

2.2.1 数学概念体系的生成

理解一个概念，不是说你会把它分析成若干个部分，也不是说你知道它的外部联系.一个概念自有其内部的结构，有其在更大结构中的逻辑次序，有其自身整体化、独立化的意义.整体大于部分之和，而结构优势很难用语言来描述，结构更应该是心灵感受的产物，不能靠听讲而获得，甚至无法告诉别人，因为你能听到的或能告诉别人的，只是依照某种次序排列的词语，每一个词语只代表一个碎片，而不是概念本身.

现象教学不提倡教师提供概念图，教师绘制的概念图表达的是教师对概念和知识点的理解，并不是属于学生自己的概念图.学生根据自己对生成概念、思想、方法的整理绘制的概念图更符合自身认知，较大程度地促进了知识的结构化.

绘制概念图反映的是学生个体对生成概念结构化的重要方式，能够体现知识生成的动态过程.绘制概念图的过程可以帮助学生整合本单元各个知识点间的有效联结、厘清相关概念的内在逻辑、提升知识体系的结构化，使得碎片化学习转向立体式学习与系统式学习.

2.2.2 数学思想体系的形成

生成数学概念体系后学生通过图形语言、文字语言和数学符号语言对生成的概念进行深度解析，而不再是靠背公式背数学模型的方式去解决空间距离问题，实现了对距离本质的理解.数学符号的表述也找到了共性.绘制空间中各种点集的关系时，不難发现两相交直线的距离为0，直线与平面相交时的距离为0，两平面相交时的距离也是0.用数学语言准确刻画数学概念，是数学概念结构化的核心，也是“生成”距离的概念的核心.

现象解析是从直观感知的概念雏形出发，结合学生自身掌握的知识经验对现象的表象进行深度思考和分析，从数学的视角多角度多维度地分析数学现象蕴含的数学本质；领悟数学表象背后的数学本质，自然生成意义的同时在教师的引导下学会规范表达，并在对比与融合中实现数学概念的结构化.其中的“意义生成”是核心部分，这个环节包括数学概念、方法以及新的认知结构的生成，从知识的源头一直延伸到知识的应用拓展，起点是数学现象终点还是数学现象；解题教学的应用拓展往往是以例题的形式呈现的，基于知识教学的例题往往侧重于讲解考点、出处，分析未知量、已知量，题后反思、归纳通性通法、拓展变式.例题通常以考查知识点或者考查方法进行分类，例题+变式的形式能够实现概念的理解和应用.基于现象的应用拓展，将例题还原为数学现象，从数学本质的侧面、反面等多角度多维度解决问题，比如条件的不确定的结构不良型问题、结论不唯一的开放型问题、未知量不唯一的探究型问题等侧重于生成概念的深度理解和实践应用.教学过程中教师可以组织学生归纳例题考查的知识点和解题方法，也可以让学生根据模型命制例题变式等形式开展应用拓展环节，真正实现有效推进高中数学核心素养的落地.

2.2.3 数学应用思维的延伸

如何实现例题讲解还原为数学现象？方式一：将例题分段呈现.教师在课堂中可以只呈现题干条件不呈现题目任务，将例题转化为一个具有多种可能的开放式问题；也可以只呈现一部分条件和题目任务，由学生补充条件.方式二：渐进式呈现解答过程，允许学生在解答过程中犯错并将发现错误的机会也交还给学生.学生亲身体验错误的发生、经历找出错误成因的过程，数学现象的呈现过程远比一道习题的讲解印象深刻.方式三：用数学现象促进解题后的反思与升华，安排学生命制数学题、解答数学题，教师展示学生结果并由全体同学进行评判.经过多轮的练习与反思获取一般性结论.

为什么要把例题还原为数学现象？现实世界呈现给我们的只是表象，问题及规律深藏在其背后^［1］.只有将例题还原为数学现象去研究，才能够实现在例题呈现的过程中体验概念生成、发现数学本质、体悟数学之美.

还原为数学现象的例题也可以是“不完美”的数学题，它以“不完美”的形态，给了学生思维的空间；以“不完整”的解答，给了学生活动的机会；以“不定型”的反思，给了学生提高的余地.从学生的角度看，这才是更为完美的例题和更为完整的教学^［2］.

爱因斯坦曾说过提出问题比解决问题更重要，只有学生自身生成了概念才能够提出对世界的思考.数学成为孩子们面对真实世界自由思考的工具，不再是各种眼花缭乱的公式、定理和永无止尽的数学题目.每个时代的知识都是在不断更新迭代的，但是每个时代的人对世界的思考方式却是相似的，现象教学希望教给学生的是面对世界的思考方式，而不是知识本身.

3 结束语

数学的核心素养需要通过观察世界、思考世界和表达世界来得到落地，到了复习课阶段就要追求对世界的“表达”，有了表达才说明学生有了自己的真实认知.有一点毋庸置疑，那就是表达世界的前提是心里有想要表达的内容，也就是先要在头脑里生成意义，只有生成了意义才能够表达意义.如果没有生成，只听别人讲，这时的“表达”就只是复述，远远不是自己的认识.“理解”是概念学习必须达到的目标，但是怎样才能实现理解？我们的习惯做法是遵循布鲁姆的目标分类学说，从“了解→理解→掌握→应用→分析→评价”.现象教学的单元复习课则从“直观感知”“现象解析”“意义生成”“应用拓展”逐层推进，与布鲁姆的目标分类学说有相通之处，亦有较大的不同.

知识的碎片化现象一直是困扰教师的重要问题，究其根本就是学生在学习过程中缺乏独立思考、仅凭记忆模仿学习、无法实现知识的系统化和整体化.数学学科单元复习教学不应只是把目标定在整合分散于教材各章节中的相关知识、题型分类讲解和“无死角的知识点覆盖”训练上.虽然学生短时间内通过模仿能够解决大部分习题，但是不是自我生成的知识经过一段时间后就只能剩下模糊的印象了.现象教学视角下的单元复习教学让学生直接面对真实的世界自由思考，重视对表象背后数学本质和规律的探究过程，和学生一起完成概念生成的结构化；甚至能够帮助学生形成涵括数学现象属性的上位概念.

随着时代的推进，知识是不断更新迭代的，但是对真实世界的研究方法是相似的.现象教学是让学生直接面对世界自由思考的教学，培养学生的问题意识.能否在提升创新能力上有所突破？这是值得教育工作者一起努力的研究方向.

参考文献：

［1］孙四周.把数学问题还原为数学现象——谈“基于活动与体验的例题教学”［J］.数学通报，2015，54（10）：4145.

［2］孙四周.从三节“同课异构”课看目标定位的方法和意义——兼写一个“下水教案”［J］.数学通报，2014，53（5）：2731.

［3］孙四周.“数形结合”与“数形分离”［J］.中学数学教学参考，2021（35）：1.