化“隐”为明

朱超

摘 要：隐含条件在初中题目中比较常见，属于一种特殊的条件，极具隐蔽性.隐含条件虽然在题目中并未明确给出，但却可利用题目中的关键词语推断而出，以便于帮助学生打开解题思路.本文就以此出发，结合大量的数学题目，针对初中数学解题中隐含条件的挖掘途径进行了详细的研究，具备一定的参考价值.

关键词：初中数学；隐含条件；解题；挖掘路径

顾名思义，隐含条件就是隐藏在题目内部，出题者常常并未将其明确给出，而是将其隐藏在题目之中，需要解题者通过分析、推理、转换等方式才能从中获得.在日常解题中，隐含条件往往是“突破口”，是学生正确、高效率解答题目的关键.鉴于此，初中数学教师在日常解题教学中，应立足于当前数学题目灵活多变的现状，引导学生在扎实数学基础知识的同时，有意识地引导学生掌握隐含条件的挖掘方法，能够借助联想、比较分析、推理、转换等数学方式，促进未知到已知、隐含到明显，最终在隐含条件的辅助下，形成正确的解题思路.

1 灵活挖掘隐含条件，助力数学解题

隐含条件是初中数学解题的一大“利器”，是打开学生解题思维的“钥匙”.同时，隐含条件又极具隐蔽性，常常存在于各个“地方”，如：已知条件、数学概念和性质、数学公式、数学图形等，给学生的识别和应用带来了极大的难度.鉴于此，笔者就结合大量的题目，针对隐含条件的具体挖掘路径进行了如下分析：

1.1 基于数学概念挖掘隐含条件

鉴于初中数学的特点，数学概念是学习的基础，同时也是隐含条件的“藏身之处”.随着数学题目发展，多数题目中的隐含条件都回归到了基本的数学概念与定义中.通常这种类型题目的难度系数比较低，但也是学生最容易忽视从而导致错误的题目.

例2 已知关于x的一元二次方程（a²-2）x²-（4a+2）x+1=0存在两个不相等的实数根，求a的取值范围.

解析：这题也属于基础题目范畴，难度系数比较小，但依然有部分学生会出现失分的现象.主要是学生看到题目中“有两个实数根”，就直接运用了“判别式大于零”进行求解，忽视了一元二次方程在定义中隐含的条件，即：二次项系数不能为零.鉴于此，在求解时应同时满足判别式大于0、二次项系数不等于0两个条件，方可得到正确的答案.

总结上述两道例题，难度系数非常低，但却是学生容易出现错误的题目，主要原因就是学生在做题时，忽视了数学概念、定义中的隐含条件，最终出现了考虑不周全的现象，导致解题出现错误.鉴于此，在日常的教学中，不仅要重视数学概念教学，还要引导学生围绕数学概念进行深入分析，了解每一个数学概念的细节、每一个约束条件等，并围绕数学概念进行例题讲解、变式训练等，以便于学生真正完成数学基础概念的理解、深化等^［1］.

1.2 基于代数公式挖掘隐含条件

代数占据了初中数学的半壁江山，代数公式不仅是学生解题的关键，也是隐含条件的“藏身之处”.尤其是在很多数学题目中，都包含了大量的数学公式信息，并将题目中的关键条件隐藏于此.鉴于此，在引导学生挖掘隐含条件，解决数学问题时，应着眼于相关的数学公式，以此作为切入点，挖掘其中的隐含条件.

例3 已知（a²+b²）²-3（a²+b²）-10=0，求a²+b²=__________.

解析：这一题目难度系数比较低，但多数学生在解题时，常常出现各种各样的错误.主要原因就是在解题时，忽视了隐含条件的挖掘，而是直接采用了换元法：令a²+b²=x，则（a²+b²）²-3（a²+b²）-10=x²-3x-10=0，通过解方程，即可得出x=5或x=-2，于是很多学生就直接将这两个答案写在试卷上.但实际上来说，这样解题是错误的，因为学生在解题时，忽视了数学公式中的隐含条件，在a²+b²=x中，x的定义域是x≥0，因此x=5符合题意，x=-2不符合题意，应舍去.

解析：乍一看这一题，难度系数比较高，但只要通过分析就会发现，题目中已经给出了函数y的代数式，且在求解的过程中，唯有结合相关的数学公式，充分挖掘题目中的隐含条件，即：x²-1≥0，1-x²≥0，x³+1≠0，学生才可在充足的解题条件中，将所有的不等式联立起来，最终经过求解得出x=1时，y=0，因此，2^{3x+1 990y}=8.

综合这两道数学题目，我们发现隐含条件都隐藏在既定的数学公式中，学生在解题时，唯有紧紧围绕题目中涉及到的数学公式，充分挖掘其中的隐含条件，学生才能准确地解答问题.鉴于此，在日常教学中，教师必须要高度关注数学公式教学，引导学生在数学公式的深刻學习中奠定坚实的数学解题基础^［2］.

1.3 基于图形挖掘隐含条件

鉴于数学学科的特点，“数”和“形”是数学学习的两大组成部分，且两者之间相辅相成、互为促进.尤其是在数学解题的时候，许多条件都蕴含在图形中，学生唯有仔细观察图形，最大限度挖掘其中蕴含的条件，方能在以形助数、以数促形中，明确数学解题思路.否则，一旦忽视了数学图形的研究，就会导致隐含条件挖掘不够，从而学生在解题时就会步步受限.

例5 如图1所示，已知圆O的半径为3 cm，B为圆外的一点，OB与圆相交于A点，已知AB=OA，点P到点A的圆上距离为π cm，对直线BP与圆O之间的位置关系进行判断.

解析：题目已知条件中，已经明确了圆的半径和圆弧AP之间的距离，学生要想进行计算，还应围绕圆弧AP和圆周长之间的关系进行探究，进而对三角形AOP的形状进行证明，得出其是一个等边三角形，并以此进行求解.而这一解题思路的关键，就是隐藏在图形中有关边的关系，即根据题目中的已知条件可得出圆的周长为6π cm.∵点P到点A的圆上距离为π cm，∴圆弧AP所对应的圆心角∠O=60°.又OP=OA，∴△POA为等边三角形，即AB=AP.在三角形PAB中，∵AB=AP，∠PAB=120°，∴∠ABP=∠APB=30°.因此，在三角形OPB中，∠OPB=90°，即直线BP与圆O之间的位置关系是相切.

基于上述条件，就针对四个结论进行验证.针对①来说，可将x=1带入其中进行验证，即可得到二次函数的最小值为-4a，因此结论①正确；针对②来说，-1≤x₂≤4，当x₂=4时，y₂存在最大值，即y₂的最大值为a×（4+1）×（4-3）=5a，因此-4a≤y₂≤5a，所以本结论错误；针对③来说，若是要y₂＞y₁，可直接结合图像得出x₂＞4或者x₂＜-2，本结论错误；针对④来说，因為y=ax²+bx+c=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，因此得出b=-2a，c=-3a，将其带入公式中，结合a≠0的条件，得出x₁=-1、x₂=3，因此本结论错误.

结合上述两道例题即可得知，多数数学题目已经将大量的条件隐藏在图像中，学生在解题的时候，唯有认真观察图像，充分挖掘题目中隐藏的条件，才能充分发挥隐藏条件的价值，帮助学生迅速形成明确的解题思路^［3］.

1.4 基于题设挖掘隐含条件

在初中数学解题中，题设条件不仅仅是向学生传达信息的重要载体，同时在题设中的关键之处，也为学生隐藏了大量的隐含条件.在这种情况下，学生在审题的时候，一旦稍有忽略，错过题目中的关键字眼，就会导致其在解题时，因为无法挖掘其中的隐含条件，导致其陷入到解题困境中.

例7 已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像经过点（-1，7），并且在x轴上截取的线段长为3，其图像的对称轴为x=1，求该二次函数的解析式.

可见，在这一数学题目解答中，隐藏条件就蕴含在数学关系中，学生唯有具备扎实的数学知识，从已有的数学关系出发，最大限度挖掘其中隐藏的条件，才能形成正确的解题思路.

2 隐含条件在初中数学解题中应用价值总结

通常在数学考试中，不会直接将所有的条件都清晰地告诉学生，而是给学生设置了重重障碍.尤其是在新课程改革背景下，教师在教学中还承担着培养和发展学生数学核心素养的重任.在这一背景下，数学考试题目的形式也随之发生转变，致使隐含条件越来越多.面对这一现状，学生在解题之前，唯有具备扎实的基础知识体系，并进过认真审题、分析和推理等，将题目中蕴含的条件找出来，才能在此基础上形成正确的解题思路.

可以说，数学新课程改革背景下，培养学生的隐含条件发掘能力，具备十分重要的价值.首先，有助于提升学生的数学解题能力.通过大量的例题证明，隐含条件是解题的关键，直接决定了学生的解题正确率.因此，在日常数学教学中，通过有意识的训练，学生在解题的时候就会形成一种良好的习惯，不再局限于题目的表层含义中，而是认真分析题目内涵，有意识地挖掘题目内部的隐含条件，使其在学习的过程中，逐渐形成了良好的解题习惯；其次，有助于训练学生的思维.初中阶段恰恰是思维培养的关键阶段，而数学学科又被称之为“思维体操”，不仅仅对学生的数学思维提出了很高的要求，也是训练学生思维的最佳载体.隐含条件的挖掘过程，也是学生思维发展的过程，学生在要想将隐藏在题目中的隐含条件挖掘出来，必须要经过一系列的观察、推理、分析等活动，而这些活动均属于思维活动的范畴，也促使学生在挖掘隐含条件的过程中，促进数学思维的发展；最后，有助于帮助学生建立其系统化的知识体系，推动知识的迁移和应用.数学知识点之间密切相关，学生在挖掘隐含条件时，常常会产生“以点带面”的效果，将相关的数学知识点串联起来，并在此基础上通过知识迁移，运用其解决相关的问题.可以说，学生在挖掘隐含条件的过程中，也在很大程度上提升了学生的数学学习质量^［5］.

3 结束语

综上所述，在初中数学解题中，隐含条件是解题的“突破口”，能否精准找到题目中的隐藏条件，是影响学生正确解题的关键性因素.但是隐藏条件的寻找也并非易事，需要将其蕴含到日常教学中，促使学生在解题训练中，逐渐习得这一方法与能力.鉴于此，作为一名优秀的初中数学教师，在日常解题教学时，不仅要从思想观念上重视隐含条件，还应结合不同类型的题目，引导学生对隐含条件进行归类，并借助有意识的训练，使得学生真正掌握这一技能，全面提升学生自身的数学解题能力.

参考文献：

［1］陈海平.化“隐”为明巧解题——谈隐含条件在初中数学解题中的价值［J］.数理化解题研究，2022（17）：5961.

［2］张翔.浅析初中数学解题中隐含条件的应用［J］.数理化解题研究，2022（11）：1416.

［3］濮维.谈隐含条件在初中数学解题中的重要作用［J］.数学之友，2022，36（4）：7678.

［4］王志军.发掘隐含条件 助力数学解题——初中数学解题教学中隐含条件的应用［J］.数理化解题研究，2021（32）：67.

［5］王从利.初中数学解题教学中隐含条件的应用思考［J］.数学大世界（上旬），2021（11）：2123.