高中数学多版新教材“百分位数”对比分析

杨丽蕾

摘 要：百分位数是高中数学新教材的新增内容，本文从内容编排、知识呈现、习题设计三个维度对新人教A版、苏教版与北师大版教材“百分位数”一节进行对比分析，并提出相应的教学建议：关注关联情境设计与统计模型优化；加强定义内涵解读与算法过程理解；优化习题内容设计与概念内涵辨析；重视信息技术介入与应用价值挖掘.

关键词：百分位数；教材比较；数学教学

1 研究背景

百分位数是数据分析中常用的一个量.随着大数据时代的发展，它显得越来越重要.曹一鸣教授在与其它国家课程标准的对比中发现，国外很多国家都设置了“四分位数”与“盒式图”等知识点^［1］，因此在《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称新课标）修订中加入百分位数概念.一方面，这是新课标对国际课标比较研究成果的吸收，也是适应当今社会发展的需要.另一反面，从知识的内在逻辑看，初中所学的中位数是50百分位数，但仅用中位数反映数据的特征信息是不够的，须将其推广到任意百分位数，这也是知识的螺旋上升与一般推广.随着新课标的颁布，各版本教材亦同步更新，但大部分一线教师对该节内容的教学仍有所困惑.

新课标对这一节内容提出的教学要求是“结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义（参见案例14）”.各版本教材遵循课标要求，为“教”与“学”活动提供学习主题和具体内容，是实现数学课程目标、发展学生数学学科核心素养的重要教学资源.但教材编者对课程标准的理解不同，对教学内容亦有各自的见解，各版本教材各具特色，因而有必要进行教材间的比较分析，进一步整合资源，以便更好地进行该节内容的教学.

2 研究设计

针对本节内容，选取三个版本（人教A版^［2］、北师大版^［3］、苏教版^［4］）的教材，从内容编排、知识呈现、习题设计三个维度进行比较分析，以期对教师教学和教科书修订有所启发.

3 教材比较

3.1 内容编排

三个版本的教材在“统计”一章的内容编排上均遵循“收集数据→整理数据→分析数据→作出推断”这一研究顺序，且均将百分位数放在用样本估计总体的数字特征一节中，先研究样本频率分布估计总体取值分布，再研究百分位数，但教学顺序的细节安排略有不同.人教A版教材遵循从整体到局部的研究顺序，先对总体统计特征进行全面刻画，再研究百分位数.因为百分位数是原始数据的缩影，通过这个缩影可以了解数据全貌，进而继续研究平均数、中位数、众数、方差、标准差等数字特征；而北师大版和苏教版教材则更倾向于从熟悉到陌生、從特殊到一般的研究顺序，选择将初中已学过的中位数、方差等内容放在百分位数之前.

3.2 知识呈现

在整体设计上，三个版本教材本节内容的难度都不大，相对简单.人教A版教材通过确定居民用户月均用水量标准以使80%的居民用户不受影响这一问题，引入百分位数，也是对教材上一节居民用户月均用水量的总体取值规律估计的继续研究.结合此实例，得到第80百分位数的含义，在此基础上再给出百分位数的一般定义以及计算方法，最后通过两个例题让学生掌握一组数据的百分位数的计算方法.苏教版教材通过比较英语成绩总体状况基本相当的甲、乙两市，甲市第1 200名与乙市第1 160名相比哪个成绩更好，让学生体会百分位数对数据位置水平的刻画，在此基础上再给出百分位数的一般定义以及计算方法，最后通过一个例题让学生掌握一组数据的百分位数的计算方法.而北师大版教材并未借助任何生活实例，而是选择以学生熟悉的中位数，即50%分位数为例，从特殊到一般，抽象概括出一般的连续变量的p分位数的概念，并给出计算n个数据的p分位数的一般步骤，再通过一个例题帮助学生掌握计算.大方向上来看，三个版本的教材设计还是比较一致的，但是在细节处理上还是有明显的不同.

在新知引入上，人教A版和苏教版教材均以生活案例，即问题情境为载体来学习百分位数，避免了抽象地定义概念和讨论方法，均在回顾以往内容的基础上提出实际生活问题，使得前后问题的解决具有连续性，这也符合新课标对于教学的整体性与连贯性要求.人教A版教材的问题情境即为新课标中的案例14，苏教版教材则是将新课标的案例14放在该节的应用与建模一栏，而北师大版教材并未创设具体情境，开门见山，直接指明要学习百分位数需先回顾中位数，在中位数这一旧知的复习中，让学生产生对百分位数的最初理解.

在定义概括上，由于统计学当中百分位数的定义有多种，北师大版教材和人教A版、苏教版教材出现了差异.北师大版是这样定义的：当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈（0，1），总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.概因其考虑到离散型随机变量的分布函数是阶梯函数，这种定义下的分位数不一定存在或者不唯一，而为了使得对任何一组数据都存在任意的百分位数，人教A版和苏教版教材给出的均是一组数据的百分位数的定义，虽然表述上不尽相同，但其内涵是一致的：一般地，一组数据的第p百分位数是这样的一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有 （100-p）%的数据大于或等于这个值.然而，此定义下的百分位数可能并不唯一.比如一组数据1，2，3，…，100，显然［90，91］间的任意一个数均符合第90百分位数的定义.为了方便统计分析，通常取90和91的平均数90.5作为这组数据的第90百分位数，这一点人教A版教材予以了相应交代.虽然三版教材定义不尽相同，但给出的百分位数一般计算步骤却是一致的，也均交代了四分位数的定义.其中人教A版教材还专门提到计算百分位数方法有多种，我们取一种计算方法比较简单的，减少了读者对于求解步骤的疑惑.此外，三版教材均表明百分位数适用于大样本的数据定位，苏教版教材强调容量较小时有时百分位数不能唯一确定，人教A版教材指出样本量较小时对总体估计会存在较大误差，北师大版教材则指明样本容量越大估计越准确.

在例题选择上，人教A版选择了两个例题，分别对应两类问题：已知一组具体数据估计百分位数和利用频率分布直方图估计百分位数；苏教版和北师大版均只选取一道例题，涉及一组具体数据的百分位数求解，未涉及利用频率分布直方图估计百分位数.

在信息技术的使用上，人教A版教材在教师用书中专门提到了用电子表格软件和R软件计算一组数据的百分位数的方法，有意识地在统计教学中加强信息技术的使用，为利用百分位数解决实际问题打下基础.

3.3 习题设计

在本节练习设计上，人教A版教材三道练习题背景均选用前面已涉及过的案例，且是具有现实意义的统计问题，在内容上也包括了例题的两个方面.苏教版教材呈现两道练习题，包括百分位数求解的两类问题：一类是求一组数据的k百分位数，另一类为求一组数据中的某个已知数据所对应的百分位数是多少.其中练习1给出具体数据，对上述两类问题均有涉及，练习2则是求24人的测试成绩中第5名成绩的百分位数是多少，未给出具体数据，更考查学生对百分位数概念的理解，需要根据计算步骤进行逆向求解.北师大版教材是一道从现实生活抽象出的练习，共两小问，第一小问求中位数，第二小问则意在让学生辨析百分比和百分位数，整个练习对百分位数的求解着墨不多.

纵观百分位数一节后续的习题设计，北师大版教材未涉及利用频率分布直方图估计百分位数，苏教版教材则有一道逆向问题，需求频率直方图中某一具体数据的百分位数.此外，苏教版教材有这样一道题“在一次长跑测试中，小明是班上跑的最快的，小彬是班上跑得最慢的，全班共40人，分别求小明、小彬长跑成绩的百分位数.”苏教版教材给出的答案是小明长跑成绩的百分位数为1或2.小彬长跑成绩的百分位数为98或99或100.从中可以看出，苏教版教材对于定义中的第p百分位数p的取值为［1，100］内的整数，而人教A版教材p的取值为［0，100］内的整数.同时，人教A版在教师用书中作了如下补充说明：（1）第0百分位数为数据组中的最小数，第100百分位数为数据组中的最大数；（2）一组数据的百分位数既可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数；（3）一组数据的某些百分位数可能是同一个数.显然，第0百分位数和第100百分位数都符合百分位数的定义，但却不能按照教材所给百分位数的计算步骤计算出来，所以人教A版教材给出如上规定，使得逻辑更严谨.如此，教师也对百分位数的理解更为具体深入.

4 研究结论

在内容编排上，人教A版教材遵循从整体到局部的研究顺序，从统计的整体看局部的统计方法，研究思路一以贯之，结构性强，而北师大版和苏教版教材，更倾向于从熟悉到陌生，从特殊到一般，贴近学生学习心理.本节内容整体设计上难度不大，但在新知引入上，人教A版和苏教版教材均注重真实情境的设计，有意识地用一个案例来贯穿相关内容.人教A版教材在此基础上更注重在实际问题解决中发展学生数据分析和数学建模素养，而北师大版、苏教版教材则更倾向于百分位数概念本质的理解和计算步骤的程序化操作.在百分位数的定义概括上，三版教材均强调它的直观含义——用以考察一个具体数据在所有数据中所处的位置.北师大版教材强调百分位数定义下的总体是连续变量，该定义直观易理解，且突出百分位数本质，但紧接着给出的却是一组数据的百分位数的计算步骤，而一组数据往往又涉及到离散型变量，这与前述的百分位数定义似乎不甚统一，而人教A版与苏教版教材的百分位数定义中包含有“至少”“小于或等于”“大于或等于”等表述的多个不等关系，这使得百分位数定义不那么直观和易理解，但该定义与后续计算步骤和谐统一，且教材解释充分，内容翔实.在例题和习题选择上，人教A版教材更侧重具有现实意义的统计问题，题型全面，相较于苏教版与北师大版教材，多了利用频率分布直方图估计百分位数的题目，而苏教版教材则更关注百分位数的正向与逆向应用，意在深化对百分位数概念的理解.此外，人教A版教材相较于其他两版教材，有意識地在教学中加强了信息技术的使用.

5 教学建议

5.1 关注关联情境设计与统计模型优化

让学生在实际问题的解决中了解百分位数的统计含义，在感性认识的基础上类比中位数的定义得到一般的第p百分位数的定义是水到渠成的.在此基础上，建议教师教学过程中尽可能使用具有现实意义的同一个案例背景，为学生提供探索学习的关联情境，通过不同的统计问题，引入不同的统计概念和方法让学生比较，以更好地理解各自的统计含义及特点，让学生保持思维的连贯性，也使得问题的解决具有连续性，更好地体现数学学习的整体性.在此基础上，也要重视统计模型的优化意识，比如人教A版教材在确定居民用户月均用水量标准这一案例中还设计了让学生思考14 t这个用水量标准的合理性和可能出现差别的原因的问题，现实又富有研究意义，这其实是在反思整个统计过程，提出改进方案，也是在发展学生的数学建模和数据分析素养，值得在教学过程中借鉴.

5.2 加强定义内涵解读与算法过程理解

日常教学中，由于课时、应试理念及能力水平等多方因素的影响，教师在教学过程中往往将重心放在百分位数计算步骤的程序化解题操作上，而不注重对于百分位数概念本身的理解，这实际上偏离了我们统计学习的重点.教学过程中，应重视对百分位数定义的直观理解，加强对定义内涵的解读，需要帮助学生明确：对于任意一组数据，满足第p百分位数定义的值可能是不唯一的，计算百分位数的方法有多种，通常会取一种比较简单的计算方法来操作，而且通常在样本容量比较大时才使用百分位数.在此基础上，还需帮助学生进一步加强对算法过程的理解，比如从特殊到一般归纳概括出计算步骤，或依据定义，从代数运算的角度阐明计算步骤的合理性：假设一组数据a₁，a₂，a₃，…，a_n从小到大排列，不妨设这组数据的第p百分位数为第k个数（k∈N^*），则由百分位数定义可知，

5.3 优化习题内容设计与概念内涵辨析

在习題选择上，由于百分位数的求解过程并不复杂，先对数据进行排序，然后确定百分位数的位置，再确定百分位数的具体数值即可.题目数量不需要太多，但应当涉及求一组数据的百分位数和根据频率分布直方图求百分位数这两类基本题型.如此，离散型变量和连续型变量都有，教学结构才更完整，前后也更统一.像苏教版教材中的逆向求解问题，可以作为思考题来深化学生对百分位数定义本身的理解.以1，2，3，…，100为例，若要求这组数据中20的百分位数是多少，则按计算步骤逆向求解，设20的百分位数是k（k∈Z，且k∈［1，100］），列式100*k/100∈（19，20），会发现k无解，但根据百分位数的定义，20应该是第19或20百分位数，所以教学中不光要重视计算步骤，也要注重回到概念本身.当然，对于百分位数而言，习题设计也应结合具体案例，借助更加丰富的实际背景，让学生在解决实际问题的过程中发展数据分析素养.此外，习题选择不妨在百分位数定义本身上下功夫，比如判断“若一组样本数据的第10百分位数是23，则这组数据中有10%的数据大于23”“共100名学生参加的测试中，成绩排名是75名的同学比成绩的百分位数为75的同学成绩要好”等等，像这样的概念辨析类题目学生练习的数量比较少，但概念教学最重要的就是深刻理解概念本身，厘清概念的来龙去脉，故建议教学中在此处加强对百分位数概念的辨析.

5.4 重视信息技术介入与应用价值挖掘

鉴于信息技术是现代统计的组成部分，统计教学又与我们的现实生活息息相关，为了更好体现统计的学科特点，在实际教学中，可以拓展更多关于百分位数实际应用的内容，比如四分位数、第5百分位数，第95百分位数在人机工程学、临床检验指标中的应用，同时介绍部分用信息技术工具求解百分位数的方法.如此，既了解了百分位数算法的原理与步骤，学会用信息技术工具求解生活中百分位数问题，又能体会百分数应用的广泛性，激发学生学习兴趣.

参考文献：

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