基础与素养并重，过程与方法同行

李心军 魏柏婷

摘 要：圆锥曲线问题在高考中既是重点也是难点，其面积最值问题更是热点.本文探究2023年高考数学全国甲卷理科第20题的多种解法，并在此基础上溯源试题的命题背景，分析试题对解析几何中圆锥曲线教学的引导作用，提出一些教学建议.

关键词：圆锥曲线；解法探究；教学建议

3 试题的变式

【变式1】设F为抛物线C：y²=4x的焦点，M，N为抛物线C上的两点，且以M，N为直径的圆过点F，求当△MNF面积取最小值时，直线MN的方程.

【变式2】过抛物线E：y²=2px（p＞0，p为常数）的焦点F的两条互相垂直的直线与抛物线分别交于点A，B和C，D，求四边形ACBD面积的最小值.

以上变式问题用上述方法类似可解，同时此方法可以推广到椭圆或双曲线中.

4 近年高考中的面积问题

在2019—2022年高考试题中，以面积为命题点的试题数量达到7个以上，解答题和选填题都有，例举如下：2022新高考全国Ⅰ卷第21题第（2）问；2021年全国乙卷理科第21题第（2）问；2020年新高考全国Ⅱ卷数学第21题第（2）问；2019年全国Ⅲ卷理科第21题；2019年全国Ⅱ卷理科第21题第（2）问；2021年全国甲卷理科第15题：2020年课标Ⅰ卷文科第11题.说明圆锥曲线的面积问题是高考的热点以及难点.

5 教学建议

圆锥曲线中与焦点相关的面积计算问题的求解策略蕴含了解析几何的核心思想——几何问题代数化，用坐标、向量、方程、函数表示问题中涉及的几何元素，利用函数与方程思想、基本不等式、极坐标与参数方程等求解.在借助几何图形，寻求“最值”的特殊位置的探究中，立意培养学生的直观想象素养；在建立目标函数的过程中需要进行“动因”分析，立足培养学生的逻辑推理素养；在建立了相应的目标函数后就要合理选择运算方法，提高解题效率，立足培养学生的数学运算素养；通过抛物线中与焦点三角形面积最值问题的求解策略的探究，在反思过程中让学生逐渐形成此类题目的一般解法，立足培养学生的数据处理素养；通过试题的求解过程需要直观想象，逻辑推理，数学运算，数据处理等素养相互发挥作用才能完成，而逻辑推理贯穿于课堂教学的始终，并与其他核心素养相互融合发挥作用，从而更好地培养学生的综合能力.对此，提出如下教学建议.

5.1 立足基础——以定义为根基，凸显解题通性通法

高考圆锥曲线试题大多属于中檔题或压轴题，解答题中第一问主要考察圆锥曲线的相关定义和其它基础知识，总体难度不高；第二问常见面积问题、最值问题、定值定点问题等，虽然计算量比较大，但离不开圆锥曲线的通性通法，一般都有章可循——几何问题代数化.所以圆锥曲线的教学应以定义为根，以公式为本，以数学思想方法为魂，重视通性通法.

5.2 强化综合——以综合为主导，感悟数学思想方法

高考圆锥曲线试题中，无论是选择题还是填空题，对学生综合能力的考查要求较高，虽然整体思路有章可循，但计算量以及数学思想方法的选择却很重要，恰当地选择合适的计算方法，则可达到事半功倍的效果.学生需加强限时训练，采用灵活多样的思维方式，努力提高解答的准确性；需要灵活运用数形结合、分类与整合、化归与转化、函数与方程等数学思想以及配方法、换元法等方法，把握内在联系，寻求变化发展，有效提升思维能力.

5.3 拓展思维——以思维为目标，发展数学核心素养

“数学思想方法是思维的工具，是形成数学能力

的必要条件.”这正是数学三会里用“数学思维来思考世界”的完美体现；数学是思维的产物，数学的教学过程实则是培养学生思维的过程，在新高考命题趋势中也出现了“无思维，不命题”的重要趋势.因此，在新课程的大背景下，现代数学教育观的核心是提升学生的数学思维和数学素养.在圆锥曲线的教学过程中，则应着眼于对学生数学思维以及直观想象、数学运算、逻辑推理等素养的培养.

参考文献：

［1］教育部考试中心.中国高考评价体系［Ｍ］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］赵思林，纪定春，卢勇刚.例谈高考数学创新型试题的特点［J］.中学数学，2019（5）：3235.