批判性思维与审辨式数学课堂教学实践

【摘 要】审辨式数学课堂是基于批判性思维，与数学史和生活实践相关联的课堂，是习得数学知识、体悟数学思想、培育数学素养的重要路径。在具体教学中，可采取以下五个方面的数学教学策略：创设问题情境，促进体验与感知；建构数学模型，促进质疑与假设；自主学习建构，促进推理与论证；寻求深度理解，促进分析与评估；立足问题解决，促进综合与创造。

【关键词】高中数学；审辨式课堂；批判性思维

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2023）46-0054-04

【作者简介】王琳，南京市第一中学（南京，210010）教师，高级教师。

一般认为，批判性思维是为决定信什么或做什么而进行合理的、反省性的思维，包括思维技能和情感态度两个维度。批判性思维技能主要包括：质疑、阐释、推理、论证、判断与评价等。批判性情感态度主要包括：公正性、求真性、开放性、反思性和谨慎性等。审辨式数学课堂就是让批判性思维浸润数学课堂教学，建立数学学科核心素养与批判性思维之间的逻辑关联，让科学教育的路径与方法更加明晰具体。

一、审辨式数学课堂教学模型

审辨式数学课堂教学离不开良好的批判性思维环境的支持，包括数学文化、境脉和资源等。数学文化的人文意蕴主要有求真、向善、臻美三个方面。具体来说，数学文化不仅有“求真”的基本属性，而且具备“向善”的品格和“臻美”的特质：“向善”源于数学文化的内在秩序，作用于人之外显的品行和格局境界；“臻美”则指向数学语言和符号，是对客观世界进行抽象概括后所展现的价值追求。在此基础上，批判性思维浸润数学教学框架模型如下页图1所示，简称为“审辨式教学金字塔”，可用数字“一三五”来描述该模型。

“一”是指位于金字塔框架顶点的“元认知”，它强调思维心理结构中的监控结构，发挥思维发展的定向、控制和调节功能。在课堂教学中，教师一方面要引导学生对自己的思维发展进行持续不断的反思，另一方面也要不断调试自己的教学方式与策略，与学生思维发展同向而行，实现同频共振。

[图1 浸润批判性思维的数学教学框架]

“三”是金字塔框架中的三条侧棱，表示该教学模型的三维度：知识结构、思维技能和情感态度。知识结构是批判性思维的支柱，是在与社会实践长期的互动中积淀而成的系统化、结构化体系。思维技能是批判性思维的重要内容，主要包括：阐释、分析、评价、推理、论证、自我评估等能力。积极向上的情感和持之以恒的态度是提升批判性思维的有力保障，所以在数学教学中发展批判性思维需要科学谨慎、敢于求真、实事求是的态度。

“五”是指“五层级”，即批判性思维在数学教学中主要表现为五个进阶的维度，从低到高依次为：（1）体验与感知。创设与课堂主题学习相关的多元化、网络化数学文化情境脉络，引导学生亲身体验与感知，运用真实情境来激發学生积极探究的情感。（2）质疑与假设。进行主题式设计，实施问题化驱动，让学生反复经历“假设—质疑—推断”的过程，将新知识融入已有的认知结构。（3）推理与论证。运用逻辑推理，设计实验论证，培育学生的理性精神。（4）分析与评估。学生在新知和旧知之间有时会产生认知矛盾，要进行不断的修正和改进假设、证据化思考和协作式研究，形成对数学本质的理性认识。（5）综合与创造。对所掌握的思维技能与情感态度进行综合评价，对问题做出合理评估与判断，进而对所学知识进行意义化建构，迁移解决相关实际问题。

二、审辨式数学课堂教学案例设计与分析

1.创设问题情境，促进体验与感知

情境是课堂教学的载体，也是培养批判性思维的基础。在课堂教学中创设探究性、挑战性的问题情境，融入数学文化，一方面能有效诱发认知冲突，另一方面可以使学生接受数学文化的熏陶，从而激发其探究热情。

【问题1】《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为                   。

本题素材源自数学文化，题设较简单，学生容易入手，题干中已告知数学模型，各节容积成等差数列。只需将问题转化为：已知等差数列[an]，a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，求a5。这是数列中利用方程组的思想解决基本量的运算问题。本题借力数学文化，制造认知冲突，诱发学生思考，科学引导论证，将数学学习从数学史延伸到现实问题的探索中，让思维发展发生于文化与生活、新知与旧知、直觉与理性之间，从而促进学生深入思考，建构数学概念。

2.建构数学模型，促进质疑与假设

建立数学模型需要对所研究问题的本质有清晰的认识，对相关影响因素进行分析。教师可改变设问方式，增强问题的开放性，引导学生自主探究，多角度辩证分析问题，潜移默化地培养学生独立思考与质疑的精神。

【问题2】如下页图2，在边长为1的等边三角形ABC中，连接各边中点得△A1B1C1，再连接△A1B1C1的各边中点得△A2B2C2，……如此继续下去，则△AnBnCn的面积为                           。

本题研究各类图形中的数列问题，通过审题、观察、归纳，学生可识别出数列模型，即图中三角形的边长成等比数列。求△AnBnCn的面积也就是先求出△AnBnCn的边长（用n表示），再利用等边三角形面积公式求解。因此，本题可转化为：记△AnBnCn的边长为an，则数列[an]是以[12]为首项，[12]为公比的等比数列。此题素材注重过程探究、强调知识综合，有利于学生进行抽象概括，培养学生发现新问题、获取新知识、建构新模型、解决新问题的能力。

3.自主学习建构，促进推理与论证

教学中让学生充分利用已经习得的思维与方法，对新问题进行自主推理与论证，让新知识深深扎根于旧知识，并在已有认知的“土壤”上不断“生长”，进而理解新知识的合理性，实现自主建构，这是“求真”的过程，也是发展批判性思维的核心环节。

【问题3】1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”：

4   7   10  13  16  …

7   12  17  22  27  …

10  17  24  31  38  …

13  22  31  40  49  …

16  27  38  49  60  …

（1）这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？

（2）“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？

本题是数阵问题，可用数列知识来解决。教学中教师需要循循善诱，引导学生仔细观察每一行、每一列的数字的规律，概括归纳出数列模型。学生观察发现：每一行的数字成等差数列，每一列的数字也成等差数列，每一行的公差也成等差数列。这样的教学让学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的语言表达事实，自主建构新知识，实现从“解题”到“解决问题”的转变，提升学生的学习自豪感。

4.寻求深度理解，促进分析与评估

批判性思维是基于事实证据的分析与反思，可以使学生学会分析和甄选证据，对命题或观点进行有效证实或证伪。在教学中，教师一方面要向学生阐释论证的重要性，让学生通过自主探究或者合作学习的方式，寻求证据来支撑自己的观点；另一方面也可以在对证据进行分析和反思的基础上，促进学生深度理解数学知识背后蕴含的逻辑美、对称美。

【问题4】如图3，从一个正三角形出发，把每条边三等分，然后以各边的中间部分[13]的长度为底边，分别向外作正三角形，再把“底边”线段抹掉，得到一个“六角星”；再把每条边三等分，以各中间部分的长度为底边，向外作正三角形后，抹掉底边线段。反复进行这一过程，就会得到一个类似于“雪花”的图形。我们将这种雪花称为“科赫雪花”。若第一个正三角形的边长为1，试探求第n个图形的边长和周长。

（图3）

此题素材试图突破以往教学中知识点割裂化的问题设计，抓住现实生活中常见又值得深入探究的真实问题，用“确定”实践情境融入“不确定”问题情境，问题设置逐级进阶、图形呈现形式活泼，既考查学生甄别有效信息的能力，凸显了数学的应用价值，又引导学生学以致用，综合培养学生的数学关键能力。教学中，教师可让学生自主观察、归纳图形的变化规则，得出其边长成等比，边数也成等比的结论。

5.立足问题解决，促进综合与创造

解决实际问题是批判性思维的重要维度，也是培养批判性思维的重要方式。实际问题往往与社会发展、文化生活相联系，培育学生数学学习的情感态度，有助于增强学生的进取心和责任感。学生在解决实际问题的过程中需要对纷繁复杂的信息进行辨析，需要经历构建数学模型、分析综合和论证评估等过程。

【问题5】《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍。意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍。”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数大约是                            。（结果精确到0.1。参考数据：lg2=0.30，lg3=0.48）

由题易知蒲和莞每日生长的长度均是等比数列。学生可分析出，蒲每日生长的长度是以3为首项、[12]为公比的等比数列，莞每日生长的长度是以1为首项、2为公比的等比数列。但问题不局限于此，题中莞的长度总和是蒲的长度总和的5倍，也就是说比较的是两个数列的前n项和的关系而不是通项的关系，这就需要学生进行分析与综合、比较与分类，搞清楚比较的量是什么。教师可鼓励学生运用发散性思维来解决问题，使学生在不断地辨析、比较和优化问题处理的过程中，强化学习思维的自我评估、自我监控，培养其创新精神和创造能力。

三、对审辨式数学课堂教学的反思

1.审辨式数学课堂教学有利于创造能力的形成

建模是描述、认识和解释客观世界的一种方法，它可以帮助学生更好地理解和检验对相关现象的概括认识和理论阐释。在审辨式数学课堂教学中，学生依据自己的具身和先前的概念知识和经验，对所理解的数学模型进行具体体验、反思观察、抽象概括和主动检验，有效地提升了自身的推理论证、分析综合和反思评估等批判性能力，有助于理解数学学科本质，认识到科学探索永无止境，培养创新精神和创造能力。

2.审辨式数学课堂教学有利于批判性思维的发展

批判性思维的培养需要根植于具体的生产实践与文化生活的情境之中，离不开数学文化、数学史证据和普适数学观的支撑，这些都是审辨式数学课堂教学的研究内容。审辨教学以问题质疑为起点，以获取证据、推理、分析与综合为过程，以得出有说服力的結论为旨归，为发展学生的批判性思维能力提供了丰富的实践场域。

【参考文献】

［1］董毓.批判性思维原理与方法——走向新的认知与实践：第2版［M］.北京：高等教育出版社，2017.

［2］钟启泉.批判性思维：概念界定与教学方略［J］.全球教育展望，2020（1）：3-16.

［3］迈克尔·马修斯.科学教学——科学史和科学哲学的贡献［M］.刘恩仙，郭元林，译.北京：外语教学与研究出版社，2022.

［4］张红霞，郁波.从“探究”到“实践”：科学教育的国际转向与本土应对［J］.教育研究，2023（7）：66-80.

本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点资助规划课题“基于批判性思维的深度学习实践模型研究”（R-a/2020/01）阶段性研究成果。