以“元指导”推动学生思维进阶的四路径

【关键词】思维进阶；元指导；思维之道

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2023）46-0087-03

数学思维有“道”可循，有“导”可依。元指导是为了有效帮助学生发现问题、分析问题和解决问题，从数学基本原理、规律、要素等出发，对学生数学学习的基本内容、基本方式、基本过程进行指导的教学方式。本文所提“元指导”主要涉及四个方面：一是揭示思维的原理与规律；二是揭示思维的缘由与依据；三是揭示思维的策略与方法；四是揭示思维的路径与节点。

1.揭示思维的原理与规律

“从宏观到微观”是一种重要的学习逻辑，先总体认识再局部细化，具有进阶取向。在数学内部，无论是认识空间几何体，还是认识圆锥曲线，都遵循这样的学习逻辑。因此，教师在教学中要避免向学生“兜售”零件，应强化“整车”思维，“从宏观到微观”促进学生思维发展。

以人教A版高中数学（下同）必修一“n次方根与分数指数幂”的教学为例，需要经历提出问题、猜想结论、验证结论、完善结论、形成观念的数学思维活动。教学时，教师可先从an运算的三种形式入手，让学生从整体上把握知识的结构，然后再探究解方程：xn=a（n＞1，n∈N*）。鉴于学生在初中已经知道a-n=[1an]（a≠0，n∈N），教师在教学时自然可以提出问题：指数幂中的指数的范围能否再拓展？2[12]有意义吗？引导学生列表呈现2的整数指数幂与指数之间的关系，观察相邻三个整数指数幂之间的关系，进而发现当中间指数是左右指数的平均数时，它所对应的幂是左右指数对应幂的乘积的算术平方根。从直觉到逻辑，设想依据整数指数幂运算法则，可以得到a[mn]=[amn]（a≥0，m，n∈N*，n＞1）和a[-mn]=[1amn]（a＞0，m，n∈N*，n＞1）。通过不同学段数学知识同构式探究的体验，引导学生形成数学一般观念：在不改变原来的运算法则的基础上把原有的数推广到新的数，新产生的数之间、新产生的数与原有的旧数之间的运算，要采用原有的、扩充前的运算法则。

2.揭示思维的缘由与依据

数学教学应揭示思维的缘由与依据，帮助学生理清一种事物是如何指示或预示另一种事物的，从而形成循证、明理、合乎逻辑的思维品质和理性精神。

例如，选择性必修二“等比数列的前n项和公式”可采用以下教学方式展开。

第一，锚定目标。教师引导学生观察等差数列前n项和公式，发现等比数列前n项和公式也应用首项、末项、公比等尽可能少的已知项或值来表示，即用a1、an、q等少数项或值表示a2、a3…an-1等中间项的和，形成“化多为少，简化求和”的一般观念。第二，明晰依据。等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法，即m+n=p+q（m，n，p，q∈N*） am+an=ap+aq。类比这种“构造相同项，化多为少”的算理，等比数列前n项和公式推导的思路和方法也应从等比数列的定义和性质，即an=qan-1，[a2a1]=[a3a2]=…=[anan-1]=q出发，探索解决问题的途径。第三，构建联系。从项的关系走向和的关系，通过合比定理建立条件[a2a1]=[a3a2]=…=[anan-1]=q和目标Sn=a1+a2+…+an之间的联系，可解得Sn=[a1（1-qn）1-q]（q≠1）。第四，以形析数。等差数列前n项和公式的几何背景是梯形的面积公式，观察希尔宾斯基三角形（见图1），可以发现分形的最大特点是“自相似”，即客观事物的局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有相似性。由几何直观引发代数直观，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q（a1+a2+a3+…+an-1）=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an），其中Sn和Sn-1具有相似性。由此可得Sn=[a1（1-qn）1-q]（q≠1）。第五，回溯本质。从Sn=a1+a2+…+an变为Sn=[a1（1-qn）1-q]（q≠1），实质上是将中间项的和用a1、an、q来表示，也可以通过构造相同项，消去中间项，至此错位相减法自然生成。

探究解决问题的路径和方法，应关注直觉背后的逻辑和证据。教师应引导学生把握事物之间的联系，形成理据充分、逻辑自然的思维方式。

3.揭示思维的策略与方法

优化问题解决的过程关键在于灵活运用思维策略与方法，有效地引导、点拨和完善学生的思维。数学思维的策略与方法有很多，比如，以数学定义本身为切入点、以条件与结论之间的差异为切入点、以事物的本源为切入点，等等。

以选择性必修一中“点到直线的距离公式”教学中的一组问题的设计为例。

【问题1】已知△ABC三边长分别为a，b，c如何求其面积呢？

【问题2】已知，A（1，2），B（-1，-1），C（-3，3），如何求△ABC的面积？

【问题3】如何求点C点到AB的距离？

【问题4】设点P（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0），请推导点P到直线l的距离。

【问题5】对P到直线l的距离，除了看成是点P与垂足H间的距离，它还有其他的“身份”吗？（见图2）

【问题6】对这张图你还有何想法？（见图3）

以上6个问题构成思维进阶的6个层次。问题1“唤醒”学生已有的知识、方法及解题经验。在解决问题1的基础上，以点的坐标形式变换学习条件，呈现问题2，激发学生探索新的解决方法，从数学概念的外延（三角形的高）自然转向数学概念的内涵（点到直线的距离）。问题3以特例的形式给出求点到直线距离的示范性样本。为了探寻一般性结论，进而提出问题4。首先，解决A=0和B=0的特殊情况；其次，当A≠0，B≠0时，设过点P且与点P垂直的直线方程为y-y0=[BA]（x-x0），與直线l的方程Ax+By+C=0联立，可解得x=[B2x0-ABy0-ACA2+B2]，[y=-ABx0-A2y0+BCA2+B2]；最后，利用两点间的距离公式求得[（x-x0）2+（y-y0）2]=[Ax0+By0+CA2+B2]。反思求解过程，运算的烦琐与复杂引发学生的思维冲突，进而产生寻求简化之道的内在需求。此时教师对求解目标深度追问：求x，y的值方便吗？如果改成求x-x0，y-y0的值会不会简单一些呢？能否直接求出（x-x0）2+（y-y0）2的值呢？启发学生尝试整体化处理问题。问题5另辟蹊径，引导学生多角度理解点到直线的距离，构建并完善知识网络结构。问题6引出教材的处理方法，让学生自然地发现面积法解决问题。

在解决问题中抓住恰当的时机，介入合适的思维策略和方法，有助于学生完善思维结构，提升思维能力，进而由具体事例中的处理经验迁移为解决一般问题的方法论。

4.揭示思维的路径与节点

教师开展单元教学的过程中，应强化整体化的思维教学，探索问题解决的一般思路和基本路径，揭示数学发展的内在逻辑。

例如，必修二“平面向量及其应用”单元主要包括四个方面的内容：向量的概念、向量的运算、向量的定理以及坐标表示、向量的应用。提出研究向量问题、构建向量概念时，教师可围绕“向量是一种怎样的数学工具”这一大任务，引导学生探究向量的特征、表示及性质，明晰用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径。对于向量的运算，教师可在“如何借助代数运算刻画几何对象”这一大任务的驱动下，揭示几何直观与代数运算之间关系。向量加法的平行四边形法则为平面向量基本定理提供依据，教师可围绕“如何表示平面内任意向量”这一大任务，给出用代数方法论证几何关系的数学方法。对于向量的应用，教师可围绕“用向量法解决问题”这一大任务，构建向量模型解决几何问题、物理问题、三角问题等，将数与形融为一体。

数学教学应引导学生明晰知识发展的基本路径，理解认知环节之间的相互联系和影响，在基于具体事例的真实情境中体验思维持续、进阶的演变过程。

（作者单位：江苏省宜兴市丁蜀高级中学）

本文系江苏省教育科学“十四五”规划2022年度重点课题“学习进阶理论下高中数学单元学习元指导研究”（B/2022/03/65）、江苏省教育科学“十四五”规划2021年度重点课题“大概念视角下的高中数学单元整体教学实践研究”（B/2021/02/28）阶段性研究成果。