六年级学生数感与量感及其关系研究——以分数的数感与面积、体积的量感为例

侯昌东 吴启涛

(云南师范大学初等教育学院,云南 昆明 650092)

1.问题提出

在《义务教育数学课程标准(2022 年版)》(以下简称2022 版新课标)中,数感和量感位列义务教育阶段所要发展的数学核心素养的11 个主要表现的第一位和第二位,对小学生达成“三会”的目标有着非常重要的作用。“数感是指对于数与数量、数量关系即运算结果的直观感悟,建立数感有助于理解数的意义和数量关系。量感是指对事物可测量属性及大小关系的直观感知,建立量感有助于养成用定量的方法认识和解决问题的习惯。”[1]“数和运算的核心是发展儿童的数感”[2],测量和度量单位的核心是发展儿童的量感,形成良好的数感和量感对儿童未来发展非常重要。在国内外,数感一直是数学教育领域研究的重要课题。在数感的结构和概念方面,霍雨佳等人认为“数感的内涵是一种对数量非精确、快速的知觉过程,数感的结构是由数、运算、估计和情境所组成的一个四面体形状的结构模型”[3];孙虎等人发现“性别、数学成绩都对学生的数感表现有显著性影响”[4];徐文彬、喻平认为“培养数感的关键在于从熟悉‘相互独立的’标准的计算程序到辨别数字模式和数字关系”[5]。而对量感的研究一直到2022 版新课标发布后才开始逐渐增加,这些研究主要集中在对量感概念的界定,教材中测量内容的编排以及量感的教学策略方面,如高博豪等人认为“量感的内涵包括量的感性体验、量的理性感知、量的测量判断、量的合理辨析、量的单位转换、量的计算应用六个部分”[6],何学冬发现“中新两国的数学教材中的测量内容在内容分布、内容呈现、内容编排顺序、内容难易度方面的侧重点各不相同”[7],孙思雨、孔企平认为“量感的培养强调数学活动、计量单位、数量关系和估测”[8]。因为在认识上对数感和量感不作区分,甚至认为数感包含量感,所以对于量感现状的调查研究较少。

从现有的文献研究中发现,关于数感与量感的关系研究很少。已有的研究主要从理论层面和教学层面出发,比如吴立宝等人认为“数感和量感是一组对立统一的概念,从理论层面概括了数感和量感的共性与区别”[9],肖群等人从一线教学的实操层面出发,“强调要借助学生已有数感帮助其建立对大度量单位的量感”[10]。综上所述,已有研究中缺少从数据统计层面来揭示数感与量感关系的研究,这样就使得讨论数感与量感关系少了必要的实证基础。六年级的学生已经学完了有关数感与量感的所有课程内容,选取这一阶段的学生作研究对象具有较高的研究价值,对小学生的数感与量感培养也有重要的借鉴意义。“小学是数感与量感发展的重要阶段,分数是国际上公认的小学阶段最复杂、最抽象、最容易出现问题的数学概念”[11],面积与体积也是培养量感的重要课程内容。因此,以六年级学生为研究对象,以分数作为调查学生数感的内容,以面积、体积作为调查学生量感的内容,对学生的数感与量感的关系进行调查研究,试图深入分析六年级学生的数感与量感的关系特征,为教学和研究提供实践依据,并提出相应的教学建议供一线教师参考。

2.研究设计

2.1 研究对象的选取

基于研究条件的限制与研究可行性的实际考虑,选取了昆明市两所公办小学的四个班为研究对象,所选学校均为昆明市中心城区学校,师资水平与家长的社会经济地位大部分处在中上层,每所小学选取了两个自然班。各个班级的测试过程与具体要求保持一致,测试时间为100 分钟。共发放问卷142 份,收回有效问卷126 份,其中男生65 人,女生61 人。

2.2 研究方法

研究采用调查研究法,将数感调查问卷与量感调查问卷整合在一起同时测验,测试时间100分钟,要求学生回答问卷的每道题目都必须完整地写出自己的思考过程,不能交流也不能向监考教师询问,测试结束后当场收回问卷。

2.3 测试卷的编制与赋分

根据2022 版新课标中的数感定义和杨德清教授的研究,“从理解数的意义和关系、比较数的相对大小、数的多重表达、运算对数字的意义和影响、估计运算结果并对结果的合理性作出解释等五个维度”[12](以下分别用数的意义,数的大小,数的运算,数的表达和数的估算表示)来评估学生的数感,并且以分数为数感问卷的内容载体。最终测试问卷共包含5 个维度共21 个问题,其中“数的意义”维度取1-5 题的调查数据,“数的大小”维度取6-9 题的调查数据,“数字的运算”维度取10-13 题的调查数据,“数的估算”维度取14-18 题调查数据,“数的表达”维度取18-21 题的调查数据。借鉴已有的数感研究的调查方式,研究采用全选择题、纸笔测验的方式进行施测。

“选项的正确与否不能说明学生所具备的数感的高低,即使得分相同的学生,其数感也并不一定一致。”[13]因此,为了有效区分学生的数感,使用两层计分模式,每个问题包含答案选项和思考过程两个部分,满分6 分。答案选项分值设置为2 分,选对得2 分,选错或未选得0 分。思考过程分值设置为4 分,主要探索学生对问题的解决策略。策略分为数感思维策略、传统算法策略、迷思概念以及猜测策略等4 种情况,根据学生展示的思维策略分别赋予4, 3, 2, 1 分。具体评分标准如表1 所示。

表1 数感问卷的评分标准

研究对量感的维度划分主要依据了《义务教育数学课程标准(2022 年版)》中的定义,将量感分为量的推断、量的区分等维度,以面积、体积作为量感问卷的内容载体。其中量的推断是指不使用测量工具对某个量的大小进行推断,设置6道题,量的区分是指从诸多单位表示的量中选择与某个实际物体相吻合的量,以及针对真实的情景会选择真实的度量单位进行度量,设置6 道题,最终测试问卷共包含2 个维度12 个问题。基于研究时间和研究的可行性与便利性,量感问卷依然采用全选择题、纸笔测验的测量方式。对量感的已有研究考察发现目前尚未开发出关于量感测试卷的双层计分模式,因此量感测试卷采用单层计分的方法,每个问题只要求学生提供答案选项。答案选项分值设置为2 分,选对得2 分,选错或未选得0 分。

2.4 数据的处理

使用SPSS27.0 和Excel 对数据进行描述统计、信度以及方差分析,并分析数感问卷中各维度之间的相关性。在正式分析前,对收集的问卷数据进行Cronbach'sα 系数分析,得出数感问卷的信度为0.893,表示问卷信度在可以接受的范围之内,量感问卷的信度为0.609,因为样本数量未超过200,且目前可供参考的量感问卷极少,导致了量感问卷信度偏低,但也在可接受的范围之内。两份问卷的效度检验均采取内容效度,在制定问卷题目时,研究者与指导教授和小数数学教师讨论了每个题目的切合程度。根据其意见进行修改,建立了内容效度。

利用相关分析来分别考察数感问卷与量感问卷分层次之间的相关性。如表2、表3 所示,当显著性水平为0.01 时,数感问卷组内两两相关的系数在0.384 ～0.671 之间,呈现中高度正相关,量感问卷组内两个维度在0.01 的水平上显著正相关。在显著性检验水平为0.01 时,各维度与数感问卷总分之间的相关系数在0.721 ～0.878 之间,各维度与量感问卷总分之间的相关系数在0.772 ～0.790 之间,均达到高程度相关,表明两份问卷的各层次与整个问卷之间具有高度一致性。

表2 数感各维度间的相关系数矩阵

表3 量感各维度间的相关系数矩阵

3.研究结果

3.1 六年级学生数感、量感发展水平与学生性别和成绩的相关性

如表4 所示,六年级学生的数感与量感水平受到成绩的影响比较明显,受到性别的影响不太明显。为了进一步分析数据,首先从性别角度对数据进行方差齐性检验,经检验,数感的6 个维度的相伴概率为0.110 ～0.759,量感的3 个维度的相伴概率为0.076 ～0.928,全部大于显著水平0.05,可以认为各个组的总体方差是相等的,满足方差检验的前提条件。从方差分析表(表5)可以看出,数感与量感各维度方差检验的F 值为0.013～1.993,相伴概率只有“数的估算”维度小于显著性水平0.05,表示接受备择假设。也就是说,从整体上看,不同性别对六年级学生的数感发展水平与量感发展水平没有显著影响。

表4 不同性别及学业水平的学生在数感和量感各维度上的表现

表5 不同性别对数感和量感影响的方差分析

从表4 可以看出,成绩对数感、量感的表现有明显的影响,大体上表现为学生的数学成绩越高,数感与量感的水平越好。为了进一步研究,对成绩维度的单因素方差分析的前提进行检验,数感的5 个维度及数感总分的相伴概率为0.021～0.681,量感的2 个维度及量感总分的概率为0.130～0.444,只有“数的意义”维度小于显著性水平0.05,可能是因为样本量太少导致的(只有67 份问卷收集到了数学成绩)。因此,可以认为数据满足方差检验的前提条件。从方差分析结果(表6)可以看出方差检验的F 值为0.923 ～20.270,除了“量的区分”维度概率大于0.05 之外,其余维度相伴概率全部小于显著性水平0.05,可见不同成绩水平对数感及数感的各个维度都有显著的影响,对量感及“量的推断”维度也都有显著的影响。

表6 不同成绩对数感和量感影响的方差分析

3.2 六年级学生数感与量感发展水平的关系

3.2.1 六年级学生数感与量感发展水平之间整体的相关性

从表7 中的数据可以看出,六年级学生的数感发展水平与量感发展水平二者之间的相关达到显著水平,相关系数为0.484。

表7 数感与量感整体的相关性检验

3.2.2 六年级学生数感各维度得分与量感得分的相关性分析

从表8 可以看出,数感的五个维度的得分与量感总得分显著性相关,相关性系数为0.344 ～0.425,即说明学生在数感的五个维度的得分越高,量感总得分越高,量感表现也越好。

表8 数感各维度得分与量感总得分的相关性检验

3.2.3 六年级学生量感各维度与数感的相关性分析

从表9 可以看出,量的推断与数感总得分显著性相关,相关系数为0.458,表明学生在量的推断上的得分越高,数感的总得分越高,数感也越好。量的区分虽然也显示与数感总得分显著性相关,但其相关性系数明显低于量的推断,未达到中等相关水平。

表9 量感各维度得分与数感总得分的相关性检验

4.讨论与结论

4.1 性别对数感与量感表现的影响

整体而言,不同性别对六年级学生的数感与量感表现没有显著性的影响。研究在性别对数感表现无显著性影响的结论与范中雄等人所得出“不同性别对学生的数感表现没有显著性的影响”[14]的研究的结论是一致的。以往的许多研究以中学生为研究对象得出了“由于性别刻板印象对女生的负向影响及对男生的正向影响,会使男生的数学学业成绩显著性好于女生的结论”[15],但目前几乎没有研究证明在小学阶段性别刻板印象也会对小学生的数学学业成绩产生影响。恰恰与初中阶段相反,“小学阶段的男生数学学业成绩还不如女生”[16]。因此,性别差异对不同学段的学生的数学学业水平的影响是不同的。因此,研究考察处在六三学制中的六年级学生得出的结论与孙虎、孙伟平等人考察处在五四学制中的六年级学生(初中第一个年级)所得出的“不同性别对六年级学生的数感表现有显著性影响的结论”[17]并不冲突。六年级作为学生从小学到初中的一个过渡时期,性别差异对其数感、量感以及其他数学核心素养的影响是否显著还需要后续的研究继续深入探索。

4.2 成绩差异对数感与量感表现的影响

数学学业成绩对数感及其所包含的各个维度都有显著的影响,对量感及“量的推断”维度也都有显著的影响,表现为数学学业成绩越高,数感与量感表现越好。研究在成绩差异方面数感表现的结论与孙虎、孙伟平等人的“数学成绩对数感及其各个维度都有显著影响的研究结论是一致的”[18],但与谢茜认为“数学学业成绩与数感没有相关性的研究结论不一致”[19]。这说明数学学业成绩与数感之间的相关性受到多种因素的影响,需要后续研究进行进一步探索。数学学业成绩对量感的“量的区分”维度没有显著性影响。这是因为对于量感中“量的区分”维度中的问题,比如“下列选项中体积约为36 立方厘米的是()”,主要依靠学生将生活经验与度量单位建立联系的程度,在2022 版新课标正式确立量感为核心素养之前,“小学数学教师普遍只重视量感学习中的结果,忽视了对学生量感感知水平的培养,对量感内容作生活化的讲解”[20],导致学生对量的理解停留在做题阶段,以至于数学成绩好但缺少生活经验的同学并不能很好地区分生活中的量,造成了成绩对“量的区分”维度没有显著性的影响。

4.3 六年级学生数感与量感发展水平的关系分析

六年级学生数感发展水平与量感发展水平之间显著性相关;数感的5 个维度与量感发展水平之间显著性相关;量感的2 个维度与数感发展水平之间显著性相关。量感的“量的区分”维度中的度量单位问题只考察学生对度量单位的把握,基本不需要学生动用数感素养,例如“你要用以下哪种正方形小格子去大概量出数学书封面的面积? A.1 平方厘米 B.1 平方分米 C.1 平方米 D.以上都不是”,所以“量的区分”维度与数感的相关系数略低。但整体而言,六年级学生数感发展水平与量感发展水平之间是显著性相关的。研究结论也表明数感和量感在学生的认知活动中是共同发展的,学生在解决一些问题时需要同时发挥数感和量感的素养。数感与量感显著相关的研究结论也证实了“数感和量感都来源于数量感,在计算形式、求解策略和对象表征等方面呈现出一定的共性”[21],更体现了小学数学核心素养之间的整体性和关联性。

5.教学建议

基于研究结果、讨论及结论,提出以下两点教学建议,供一线教师借鉴与参考。

5.1 借助数感建立学生对大度量单位的量感

“学生的量感不是与生俱来的,它是从一点一滴的实践、体验中感悟而来的,量感的发展应该贯穿于数学教学的始终,并在数学实践中不断形成和丰富。”[22]但对于公顷、千米这一类较大的度量单位,在教学中无法让学生直接感知体验到,学生也很难依靠直接体验和实践获得对较大度量单位的量感。教师在教学较大的度量单位时,可引导学生将大单位换算成学生可以切实感知的小单位,在大单位和可感知的小单位之间用数感建立联系,借助推算、类比将抽象的大单位感性化。例如,在教授面积单位公顷时,可以借助学生对10000 的数感来帮助其建立对1 公顷的量感,可以设计将1 公顷换算成10000 平方米,引导学生用尺子测量、用熟悉的参照物估算等方法来帮助学生感知10000 个1 平方米的大小,在估测中丰富学生对10000 个1 平方米中10000 的数感,从而帮助学生建立对1 公顷的较准确的量感。

5.2 树立数感与量感相互联系的教学理念

“心算和估算的思维方式是依赖于经验,在计算规则内化后,靠直觉作用,熟能生巧地得到比较准确的结果,属于定性的思维形式”[23]。“这种定性的思维形式是数感和量感共性的起源,具体表现为计算形式、求解策略、对象表征三个方面的共性。在教材内容安排以及教学活动设计中,二者往往同时出现:“数感为量感提供理性支持,增加量感的科学性与严谨性;量感为数感提供可靠的抽象来源,为深入理解数及其关系提供良好的支撑点。”[24]数感、量感都起源于数量感,两者的联系是客观存在的,两者的教学培养策略是可以互相迁移的。教师要破除量感不重要的看法,更要破除孤立地看待数感与量感的看法。既要看到数感与量感的区别,也要看到数感与量感的联系,科学地对待数感与量感这一组对立统一的概念,在教学过程中从数感与量感的三个共性入手,在课堂上将数感的教学与量感的教学联系起来,创设有利于深化数感和量感的数学活动,增强学生的数学活动体验,使学生的数学核心素养得到整体性的发展。

研究调查了昆明市六年级学生的数感与量感现状,梳理了数感与量感的关系,对后续研究有一定的参考价值。由于调查地区仅限于昆明地区,且学生样本量偏少,所得出的结论可能具有局限性和地区性,因此研究得出的结论还需要后续的研究进一步确认。数感、量感在各个年级的表现情况以及数感、量感与其他小学数学核心素养的关系都有很高的研究价值。