核心素养导向下的高中数学微专题教学设计策略

摘" 要：高中数学微专题教学设计是引导学生深入思考、提升学生关键能力、促进核心素养落地的有效途径. 基于对“导数中的多变量问题”的专题探讨，通过设计微专题教学，激发学生学习兴趣，引导学生自主探究，让学生学会系统梳理处理多变量问题的基本策略，凸显微专题教学在培育学生核心素养中的重要作用.

关键词：微专题；教学设计；自主建构；素养提升

中图分类号：G633.6" " "文献标识码：A" " "文章编号：1673-8284（2024）04-0021-05

引用格式：吴清华，周远方，向立政. 核心素养导向下的高中数学微专题教学设计策略：以“导数中的多变量问题”为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（4）：21-25.

核心素养是新一轮课程改革的核心，数学核心素养在教学中落地的实践研究成为数学界普遍关注的焦点，更是每位数学教师都必然面对的重大课题. 基于核心素养，根据课程标准和学生学情，教师应该如何精准确定教学目标，精心组织教学内容，如何通过有的放矢的教学策略与课堂把握，助力学生高效掌握数学知识与方法，提升学生的关键能力呢？根据多年教学实践，笔者认为开发微专题教学系列课程，既是促进数学核心素养落地的重要载体，也是激发学生自主学习兴趣和动力的必要环节，更是提升学生关键能力的有效途径.

“微专题”是指立足于具体学情、教情、考情，选择一些切入点小、角度新、针对性强的微型专题，致力于解决复习中的真问题和实问题. 微专题教学具有因微而准、因微而细、因微而深、因微而活等特点，可以收到见微知著的效果. 微专题教学通过对知识的总结、拓展和延伸，能有效帮助学生巩固新知，解决学习中的难点、疑点、盲点和混点问题，能进一步帮助学生深化对知识的理解，培养学生的钻研精神，发展学生的核心素养. 笔者依据多年教学的实践经验，将微专题教学设计划分为以下五类：知识拓展类，方法总结类，交会关联类，思想提升类，研究性学习类. 下面聚焦方法总结类微专题教学设计，以“导数中的多变量问题”为例，说明核心素养导向下的微专题教学设计策略.

一、教学分析

1. 教学内容设计

函数与导数中常有一类涉及多个可变因素的问题，这些因素可同时变化，可相互制约，盘根错节，变幻莫测. 此类问题内涵丰富，综合性强，解法灵活多变，可以将其统称为“导数中的多变量问题”.

面对复杂的变量关系，学生往往一筹莫展，一时无法厘清头绪，难以找到解决问题的突破口和方法. 我们有必要就这一类问题进行专门探讨，引导学生深刻理解与把握数学本质，找到解决问题的一般方法，提升学生的数学思维品质和数学核心素养.

2. 教学目标设计

（1）熟悉导数多变量问题的常见类型有求参数范围、不等式证明、存在性探索问题、恒成立问题等.

（2）构建导数多变量问题思维导图，掌握解决问题的常见方法有消元、换元、主元、同构和数形结合等.

（3）在综合运用导数知识解决问题的过程中，引导学生深度思考，发展联想性和批判性思维能力，提升学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等素养.

二、教学过程设计

1. 提出问题

引例" 若对任意正实数x，y都有[2y-xelnx-lny-]

[ym≤0]，则实数m的取值范围为" " " " .

思路探索：问题含有[x，y，m]三个变量，如何求解？可以先将不等式变形为[2-xyelnxy≤1m]，通过设[xy=t]，构建关于[t]的函数[ft=2-telnt tgt;0]，再用导数方法探求其最大值，从而得解.

提出问题：该题通过相除的方式，将两个变量[x，y]合二为一构建函数，实现化繁为简、化难为易的目的，充分体现了对转化思想和函数思想的应用. 函数与导数中常会出现这类涉及多个可变因素的问题，有哪些常见的解决策略呢？

【设计意图】从学生的考卷中引出高中数学中一类常见的问题——导数中的多变量问题. 学生面对此类问题时，常倍感棘手，甚至束手无策. 此时，提出这一主题加以专门研究，能很好地契合学生的心理，激发学生的学习兴趣.

2. 揭示规律

例" 已知函数[fx=1x-x+alnx].

（1）讨论[fx]的单调性；

（2）若[fx]存在两个极值点[x1]，[x2]，试证明：[fx1-fx2x1-x2lt;a-2].

针对第（2）小题，有以下探索思路.

思路1：面对多变量问题，最基本的思想就是消元. 待证不等式[fx1-fx2x1-x2lt;a-2]中含有[x1]，[x2]和[a]三个变量，注意到它们之间是有关联的，我们可以利用[x1]和[x2]是方程[x2-ax+1=0]的两根这一层联系或者依据表达式变形后的自身结构，通过等量代换或放缩，最终转变成单一变量进行研究.

解法1：消元法（用等量关系消元）.

由（1）知，当且仅当[agt;2]时，[fx]存在两个极值点[x1]，[x2]，且[x1]，[x2]是方程[x2-ax+1=0]的两根，

所以[x1+x2=a]，[x1x2=1].

不妨设[x1lt;x2]，则[0lt;x1lt;1lt;x2].

因为[fx1-fx2x1-x2][=-2+a∙lnx1-lnx2x1-x2]，

所以只需证[alnx1x2x1-x2-2lt;a-2]，

即证[lnx1x2x1-x2lt;1]，也即证[lnx1x2gt;x1-x2].

由[x1x2=1]，得[x2=1x1].

代入上式，只需证[lnx21gt;x1-1x1]，

即证[2lnx1-x1+1x1gt;0].

令[gx=2lnx-x+1x 0lt;xlt;1]，利用导数研究单调性得证.

解法2：消元法（放缩消元）.

由解法1，知[fx1-fx2x1-x2=a∙lnx1-lnx2x1-x2-2].

由对数平均值不等式，得[x1-x2lnx1-lnx2gt;x1x2=1].

所以[0lt;lnx1-lnx2x1-x2lt;1].

因为[agt;2，]

所以[fx1-fx2x1-x2=a∙lnx1-lnx2x1-x2-2lt;a-2].

结论得证.

思路2：通过观察发现，待证不等式具有关于[x1]和[x2]的轮换对称性的特征，这种特征启发我们尝试将其转化为同构形式，构建新函数，借助函数的单调性来完成不等式的证明.

解法3：同构法（消去参数[a]后同构）.

由解法1知，[x1+x2=a].

不妨设[x1lt;x2]，则[0lt;x1lt;1lt;x2].

于是[fx1-fx2x1-x2lt;a-2]等价于[fx1-fx2x1-x2lt;x1+]

[x2-2]，

即证[fx1-x12+2x1gt;fx2-x22+2x2].

令[hx=fx-x2+2x]，

则可以将证明[fx1-fx2x1-x2lt;a-2]的问题转化为证明[hx1gt;hx2]的问题，

即证[hx1gt;h1x1 0lt;x1lt;1].

令[Fx1=hx1-h1x1 0lt;x1lt;1]，

则[Fx1=hx1-h1x1]

[=2alnx1-x21+1x21]

[=2x1+x2lnx1-x21+1x21]

[=2x1+1x1lnx1-x21+1x21]

[=x1+1x12lnx1-x1+1x1].

由解法1，知[Fx1gt;0].

结论得证.

解法4：同构法（保留参数[a]同构）.

由解法1，知[x1+x2=a].

不妨设[x1lt;x2]，则[0lt;x1lt;1lt;x2].

[fx1-fx2x1-x2lt;a-2]等价于[fx1-fx2gt;a-2 ·]

[x1-x2]，

即证[fx1-a-2x1gt;fx2-a-2x2].

构造函数[Gx=fx-a-2x]，

则将证明[fx1-fx2x1-x2lt;a-2]转化为证明[Gx1gt;]

[Gx2].

[Gx=-a-1x2+ax-1x2].

由[fx=0]，得[x2-ax+1=0]，

即[x2=ax-1].

于是[Gx=-a-1x2+x2x2][=2-a].

因为[agt;2]，所以[Gxlt;0].

则[Gx]在[0，+∞]上单调递减，

由[x1lt;x2]，得[Gx1gt;Gx2].

结论得证.

思路3：通过等价变形，发现待证不等式可以整理成关于[x1x2]的整体结构，那么能否通过将[x1x2]换元，把问题化归成单变量问题来处理呢？

解法5：换元法（比值代换）.

由解法1知，[lnx1x2gt;x1-x2]，

即[lnx1x2gt;x1-x2x1x2=x1x2-x2x1].

令[t=x1x2nbsp; "0lt;tlt;1]，

则[φt=lnt-t+1t 0lt;tlt;1].

所以[φt=1t-12tt-12t=2t-1-t2tt=-t-122ttlt;0].

所以[φt]在[0，1]上单调递减.

因为[φ1=0]，

所以[φtgt;0]，即[lnt+1-ttgt;0].

所以[lntgt;t-1t].

结论得证.

思路4：待证不等式中含有[x1]和[x2]两个变量和一个参量，能否借助三者之间的关联，将它们统一为关于[a]的表达式，然后视[a]为主元，构造函数研究问题呢？

解法6：主元法（反客为主）.

由（1）知，当且仅当[agt;2]时，[fx]存在两个极值点[x1]，[x2]，且[x1]，[x2]是方程[x2-ax+1=0]的两根.

不妨设[x1lt;x2]，

则[x1=a-a2-42]，[x2=a+a2-42].

于是[x2-x1=a2-4]，[x2x1=a+a2-422].

由解法1知，即证[lnx1x2gt;x1-x2]，即证[lnx2x1lt;x2-x1].

等价于证明[2lna+a2-42lt;a2-4].

构造函数[Ha=2lna+a2-42-a2-4" "agt;2].

当[agt;2]时，[Ha=2-aa2-4lt;0]，

所以[Ha]在区间[2，+∞]上单调递减.

故[Halt;H2=0]，即[2lna+a2-42lt;a2-4]恒成立.

结论得证.

【设计意图】课堂上，教师要求学生尝试用多种方法解决该题，就多变量问题如何处理展开深入思考. 课堂上教师恰时恰点地引导，学生小组交流合作全班展示，在思维的碰撞中逐渐清晰解决多变量问题的常见思路. 通过一题多解的设计和不同解法之间的对比，从多个角度挖掘问题的深层结构，揭示多变量问题的本质特征，提升学生的创新思维和探索精神.

3. 自主探究

练习1：已知函数[fx=2lnx-1x]. 若对任意的[x1，x2∈0，+∞]，不等式[fx1-fx2≥m1x1-1x2]恒成立，求实数[m]的取值范围.

【设计意图】让学生认识和体会不同情境下轮换对称式的结构特征，学会通过对变量定序，创造等价变形的条件，从而让不等式的两侧呈现同构特征，由此构造一个同源函数，利用函数的单调性探求参量取值范围. 通过对比分析同构法解题的结构特征，培养学生的观察能力、数学抽象和逻辑推理能力.

练习2：设函数[hx=ax+x+b]，对任意[a∈12，2]，都有[hx≤10]在[x∈14，1]恒成立，求实数[b]的取值范围.

【设计意图】引导学生突破思维定式，抓住主要矛盾，尝试将多元表达式视为关于某个变量（即主元）的函数，并将其余变量视为参数，由此解决问题. 提醒学生选取主元时要把握三个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数要易于研究；三是变更主元时，要消去有范围限制的元，则这个范围应由主元承担.

练习3：已知函数[fx=x2+alnx-2x a∈R].

（1）求[fx]的单调递增区间；

（2）若函数[fx]有两个极值点[x1，x2 x1lt;x2]，且[fx1-mx2≥0]恒成立，求实数[m]的取值范围.

【设计意图】消元思想是高中数学中的基本思想方法之一，它既可以显性地表现为一种具体的技能，又可以隐性地指引思维的方向. 此题和例题，一道求解参数取值范围，一道证明不等式，虽然问题不同，但是涉及的三个变量中[x1，x2]都为函数的极值点，有区别又有联系，让学生在对比研究中体会不同情境中消元思想的应用.

练习4：已知函数[fx=x-aex]有两个不同的零点[x1，x2]，求证：[x1+x2gt;2].

【设计意图】当多元表达式通过消参变形，能将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可以通过换元转为一元表达式，常见的如[x1x2]，[x1x2]，[x1±x2]等. 若在某些情况下，齐次变形无法实现，直接凑出[x1x2]这种结构较为困难，则可以先设[t=x1x2]，从而得出[x1=tx2]，代入有关条件中消去[x1]，再通过变形化为关于[t]的不等式加以证明. 这是极值点偏移问题，还有其他的解法.

练习5：若实数a，b，c，d满足[a2-2lnab=3c-4d=1]，求[a-c2+b-d2]的最小值.

【设计意图】用结构化眼光分析表达式的几何特征，找到数与形的结合点，就可以恰当地运用相关知识解决问题.

4. 构建体系

提出问题：根据前面的研究和探索，我们有什么感悟？

引导反思：当我们面对的问题中存在多个变量时，要先认真审视题目条件，看看变元之间有无明确的等量关系，进而考虑能不能消元. 如果没有明确的等量关系，看看能不能利用不等关系放缩消元；如果不能利用不等关系放缩消元，则要重新审视表达式的结构或将表达式进行适当的变形，考虑能将其中某变量视为主元从而变为单元问题吗？能通过换元实现减元吗？能构建一个同构表达式吗？你注意到了表达式背后的几何意义了吗？你会综合运用这些方法解决问题吗？

方法总结：通过上述探讨，可以引导学生归纳总结“解决导数中的多变量问题”的微专题思维导图如图1所示.

三、教学反思

1. 借助微专题教学构建深度学习、减负增效的生本课堂

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出：“重视学生数学学科核心素养和解决问题的能力，需要引领学生向深度学习发展.”该专题的设计，聚焦一题多解和多题归一，目标指向深度学习、减负增效. 通过一题多解激发学生的学习兴趣，打开学生的解题思路，拓宽学生的视野，培养学生从不同的视角分析问题、解决问题的能力. 而通过问题对比设计，实现多题归一，引导学生归纳概括结构特征，揭示一般规律，体会相应解法的普适性和一般性. 该设计立足“四基”，强调知识的关联性和思想方法的一致性，使解题从表层走向深刻，从零散走向系统，着力帮助学生强化数学知识的内化与迁移，完善学生数学知识体系的建构，促进学生思维品质与问题解决能力的提升. 与大专题教学内容相比，这种设计更能突出重点、突破难点，学生通过深度探究和体验，加深了对知识的本质性理解，积淀了丰富的数学活动经验，提高了学习效率.

2. 借助微专题教学促进数学核心素养的有效落实和提升

高中数学课堂的主要目标是发展学生的数学核心素养，而如何通过重构课程内容与形态有效落实数学核心素养是我们常常思考的一个问题.

微专题教学在知识的整合、方法的深化和能力素养的提升上具有得天独厚的优势. 对于教师而言：一方面，教师要立足教学实际，精准把握学情，找到学生的疑点、盲点和薄弱点；另一方面，教师要深入把握主线内容，通过课堂设计构建多级有序的知识体系，找到关键能力和核心素养的生长点. 对于学生而言，要聚焦主题、沉浸其中，自主思考、合作交流，以更宽的视野挖掘问题本质、从系统高度提炼思想方法，会一题、通一类，达成“一课一得”的目标. 在微专题教学实施过程中，学生的数学抽象、数学直观、数学运算和逻辑推理等能力得到了有效提升. 因此，可以说，从数学核心素养形成的基本过程出发，探讨作为核心素养落地的一种途径和方法的微专题教学，是具有十分重要的意义的.

参考文献：

［1］吴新建. 高三微专题复习课的实践与思考：以复合函数[y=fux]的零点问题的教学为例［J］. 数学通报，2016，55（5）：43-45.

［2］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.