几何一般观念指引助力学生思维发展

编者按：几何一般观念和代数一般观念分别是什么？体现在哪些内容的学习中？怎样指引教师规划教学过程、设计问题？怎样引导学生理性地、自觉地提出系列问题？怎样构建体现数学本质的知识结构体系？本专题的两篇文章对此进行了全面分析和系统阐述，旨在引导广大教师认真研读教材，理解和应用一般观念，助力学生思维能力的发展. 本专题文章持续刊登，欢迎广大教师围绕一般观念做研究，踊跃投稿！

摘" 要：几何中的一般观念是指几何的组成元素及其相关元素的关系. 认识几何体是通过观察其组成元素及相互关系来实现的，研究直线、平面的位置关系可以转化为研究其基本组成元素及相关元素之间的位置关系. 这样的研究思路包含通常所说的化归思想，但又远不止于此. 几何一般观念还表现在与几何有关的研究中，如向量的应用、平面解析几何等. 理解了几何的一般观念，就能让学生有序提出值得研究的系列问题，就能让学生学会数学地思考，从而发展思维能力.

关键词：几何；一般观念；方法论；向量的应用；解析几何

中图分类号：G633.6" " "文献标识码：A" " "文章编号：1673-8284（2024）04-0004-06

引用格式：蔺平爱，王晓玲，薛红霞. 几何一般观念指引助力学生思维发展［J］. 中国数学教育（高中版），2024（4）：4-9.

2024年初，山西省教育科学研究院组织了一次小学、初中、高中的跨学段数学教学研讨活动，旨在探讨一般观念的统摄作用. 其中，小学的课题是“长方形的面积”，初中的课题是“矩形的性质与判定”，高中的课题是“直线与平面垂直的性质”.

在开始上课之前有一个听课指引，介绍为什么选择这三节课，在几何一般观念的指导下如何设计这三节课的教学. 在上完课之后有一个点评，评析一般观念指引下这三节课反映出来的研究思路和研究方法的一致性等. 听课对象是小学、初中、高中各学科教师. 在互动环节，不同学科教师的分析引发了大家的共鸣，他们都认为这三节课体现了相同的研究思路，即都是按照几何研究对象组成元素及其相互关系展开研究的. 这就是章建跃博士提出的“一般观念”之“几何性质指什么”. 如果小学、初中、高中都能在一般观念指引下开展教学，这将会对学生思维能力的发展产生正向的促进作用. 即使小学、初中未能按照这样的方法教学，在高中阶段依然可为而且应该为之.

下面我们将具体分析在一般观念指引下应该如何开展高中几何教学，从而发展学生的思维能力.

一、在立体几何初步的学习中理解典型的几何一般观念

几何一般观念在立体几何学习中体现得最为典型. 人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）必修第二册第八章“立体几何初步”可以划分为两部分：前三节是整体认识几何体；后三节是微观研究基本图形的位置关系. 无论哪一部分，都体现了几何的一般观念.

1. 依据组成元素及其相互关系认识简单几何体

（1）定性认识简单几何体.

对于如何认识几何体，在“8.1 基本立体图形”的节引言中指出：“本节我们主要从几何体的组成元素及其相互关系的角度，认识几种最基本的空间几何体.”接下来，先从整体入手，通过观察想象围成物体的每个面的形状、面与面之间的关系. 首先，将几何体划分为多面体和旋转体；紧接着指出：“下面，我们从多面体和旋转体组成元素的形状、位置关系入手，进一步认识一些特殊的多面体和旋转体.”再次明确研究的方法. 这两段话指明了研究本节内容的方法论，如图1所示.

在此方法论的指导下，教学中引领学生研究棱柱的程序是：首先，观察围成棱柱的面的形状、位置关系，以及棱的位置关系，形成定义，明确其内涵；其次，研究其外延，根据底面形状不同，可以将棱柱划分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……；再次，进一步研究其外延，依据侧棱和底面位置关系的不同，可以将棱柱划分为直棱柱和斜棱柱；最后，研究特殊情况，依据底面形状特点，可以找到特殊的棱柱，包括正棱柱和平行六面体等.

这种研究方法可以迁移到认识棱锥，因此可以让学生通过类比研究棱锥.

事实上，可以类比多面体，用同样的方法认识旋转体. 例如，圆柱有两个面是平行且全等的圆面，侧面垂直于这两个面，而且是光滑的曲面. 这样做，“8.1 基本立体图形”的研究思路就完全统一了，只是不容易表述. 在此基础上，再研究旋转体的形成过程，得到其定义. 这样设计能让学生感受到立体几何研究思想的一致性，体会到教材中采取的发生定义法表述的简洁性和准确性.

（2）定量认识简单几何体.

“8.3 简单几何体的表面积与体积”中表面积的计算完全体现了几何一般观念，正如教材必修第二册第114页所述：“多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.”教材必修第二册第116页再次强调了这一点：“与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和.” 从简单几何体的体积公式可以看出，所有公式都是用确定几何体的基本元素表示的，即其表面积、高、半径.

如果用祖暅原理推导几何体的体积，可以看出，该原理是将几何体的体积问题转化为对其基本组成元素的度量问题：一是度量两个几何体的高，即“夹在两个平行平面之间的几何体，其高相等”；二是度量组成几何体的所有面的大小，即“被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等”. 完成这两个度量，并且度量结果是“相等”，那么就可以得到结论，即“这两个几何体的体积相等”.

“8.2 立体图形的直观图”也是抓住几何体的基本量进行绘制.

据此，教学中在设计问题串时思路就会很清晰，即先引导学生观察围成几何体的面的形状，再观察特殊的棱（即高）. 这样的设计思路，起点应该在小学，如在“长方形的面积”的探索发现过程中，并一以贯之. 如果这样做了，到了高中阶段，方法的应用则已经娴熟自然. 这是我们的期盼.

2. 借助组成元素及其相互关系认识简单几何体

（1）依据一般观念首先要明确组成几何体的基本图形.

从“8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系”开始，微观研究组成几何体的基本图形及其位置关系，为此要先明确研究对象，即空间中的点、直线和平面. 在平面几何中，已经明确了点和直线，此处只需要明确平面即可，于是就有了“8.4.1 平面”. 明确平面的方法是按照平面的组成元素——点、直线依次进行的. 基本事实1是用点与平面的位置关系表示平面具有的特征，基本事实2是用直线与平面的位置关系表示平面具有的特征，基本事实3是用两个平面的位置关系表示平面具有的特征，而且是借助其相交线表示的. 这种思路依然体现了几何的一般观念.

“8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系”全部借助于各自组成元素的特点表达. 可以说是用公共点个数定义了“空间中直线与直线的位置关系”“空间中直线与平面的位置关系”“空间中平面与平面的位置关系”，只是在“两个平面相交”这种位置关系中，因为要表达两层含义：有无穷多个公共点，并且这些公共点都共线，所以合并为“有一条公共直线”，简洁明了，其本质依然是用公共点及其位置关系表达平面与平面的位置关系.

在日常教学中，就要依据这样的研究方法设计问题，引导学生观察、思考和表达，并形成一种思维的自觉.

（2）在直线与平面的特殊位置关系研究中彰显一般观念的方法论作用.

空间直线、平面的平行与垂直关系是特殊的位置关系，刻画这些位置关系要借助其组成元素及其位置关系.

“8.5.2 直线与平面平行”中的判定定理和性质定理，都是借助直线与平面内的直线间的位置关系表达的. 通俗地说，要研究直线、平面平行，就是研究直线与平面的组成元素——直线之间的位置关系. 因此，教学中设计问题的思路，就是要引导学生观察直线与平面内直线的位置关系. 从定义出发判定直线与平面是否平行，只需要判定直线与平面有没有公共点. 直观上看，平面内任意一条直线与所给直线有两种位置关系：一种是异面；另一种是平行. 而后者容易转化为平面问题解决，于是得到直线与平面平行的判定定理. 这种研究思路如图2所示. 当直线与平面平行时，同样要借助平面得到性质定理. 教材必修第二册在第137页明确了该研究方法：“下面我们研究在直线a平行于平面α的条件下，直线a与平面α内的直线的位置关系.”

[问题：如何判定直线与平面平行][几何一般观念][研究直线与平面内直线的位置关系][直线与平面内一条直线平行][指导] [思路][图2] [依据] [定义][直线与平面内直线没有公共点][转化] [选择] [更多关系][引入其他元素]

后续研究平面与平面平行的思路与此完全一致. 如果再引入一些相关元素，那么就可以得到更多的线面平行的位置关系. 例如，引入直线的一条平行线，于是得到：若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b[⊄]α，则b∥α. 又如，引入直线所在的平面及一条平行线，于是得到：若α ∩ β = a，b[⊂]α，c[⊂]β，b∥c，则a∥b∥c. 这两个结论分别是教材必修第二册第139页练习的第3题第（4）小题和第4题. 顺着这样的思路，还可以继续提出问题.

在“8.5.2 直线与平面平行”中，要学习新知识，更重要的是将如图2所示的探索发现思路揭示给学生，即要求学生自觉地将研究对象整体拆分为组成元素及其位置关系，并通过引入相关元素提出更多值得研究的问题，从而将教材中的例题和练习题统整起来.

按照这样的研究思路，可以展开对“8.5.3 平面与平面平行”的研究，教材必修第二册第139页指出：“类似于研究直线与平面平行的判定，我们自然想到要把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题.”对平面与平面平行的性质的探索，教材必修第二册在141页指出：“根据已有的研究经验，我们先探究两个平行平面内的直线具有什么位置关系.” 这些方法都很明确地告诉我们如何依据几何一般观念展开研究.

同样的研究思路，也适用于对“8.6 空间直线、平面的垂直”的研究，而且更加精彩. 因为随着学习进程的推进，学生的知识积累更加丰富，思路更加灵活，可以提出的问题会更多. 这就是几何一般观念方法论的威力所在.

综上所述，贯穿“立体几何初步”的灵魂是几何一般观念，如图3所示. 教材中在必要的地方都明确地写着应该怎样做，关键就看我们如何落实.

要落实如上一般观念，在教学实践中要有单元意识，注重单元教学的整体性和递进性. 整体性体现为这一章研究方法本质上的一致性. 递进性的具体表现分两个阶段，即在第一次研究时注重揭示方法，为后续研究奠定基础，认识柱体、研究直线与平面平行的学习分别起着这样的作用. 之后，注重在一般观念的指引下运用类似的方法展开研究. 单元教学递进性的具体表现是：随着学习进程的推进，学生对方法的应用越来越自觉. 这就是思维能力得到发展的体现.

二、在与几何相关内容的学习中灵活应用几何一般观念

与几何相关的内容包括向量在几何中的应用和平面解析几何.

1. 在向量的应用中充分发挥几何一般观念

向量的应用包括在平面几何和立体几何中的应用. 前者包括教材必修第二册“6.4.3 余弦定理、正弦定理”“数学探究" 用向量法研究三角形的性质”. 后者包括教材选择性必修第一册“1.4 空间向量的应用”.

（1）在平面向量的应用中依据几何一般观念有序提出系列问题展开探索.

向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，本文侧重从几何的角度分析如何研究向量的应用. 类比图4提出问题的层级性，针对每个研究对象，都可以由易到难地提出系列问题. 在“6.4.3 余弦定理、正弦定理”的教学中，将设计的出发点确定为：借助数量积运算探索三角形的几何性质，能获得哪些有用的结论？按照向量法的步骤，先将△ABC表示为一个向量关系，如a + b = c. 接下来，提出由易到难的三个层级问题：第一层级，直接乘以三角形的基本元素，如在a + b = c两端同乘a，b或c，或a + b，等等；第二层级，乘三角形的相关元素，如在a + b = c两端同乘边BC上的高，即与a垂直的向量，或∠A平分线上的向量，或边BC中线对应的向量，等等；第三层级，在a + b = c两端同乘任意一个向量，即教材必修第二册第62页第19题，如图5所示. 这样做，学生不但可以学到基础知识，还能学会如何提出问题，并为后续开展“数学探究" 用向量法研究三角形的性质”奠定方法论基础.

与“6.4.3 余弦定理、正弦定理”相比，“数学探究" 用向量法研究三角形的性质”的学习更具有挑战性. 因为研究过程中，既要选择方法，又要选择三角形的组成元素及相关元素. 两条线索交织前行，将学生带入一个数学探究的乐园. 但提出问题的思路是一致的，遵循几何一般观念，结合图6可以得到如图7所示的探究线路. 从研究对象△ABC出发，沿着图7中的箭头方向前进，越往后，所提出问题的层级越高，难度越大. 当然，该探究还不止于此，还可以对所得结论进行代数探究，发现更多值得研究的问题并解决问题.

（2）在空间向量的应用中依据几何一般观念确定研究顺序和思路.

要研究立体图形，依据几何一般观念，先要明确其基本元素——点、直线与平面. 于是，在教材必修第二册先有“8.4.1 平面”. 同理，要用向量法研究立体几何问题，先要给出点、直线、平面的向量表示，于是就有了教材选择性必修第一册“1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示”. 教材内容编排结构的一致性是由研究对象自身特点决定的.

进入具体的研究环节，依然遵循几何一般观念. 首先，研究点P的向量表示，在空间中，要找到一个基点O作为参照确定点的位置，这两个点构成的向量[OP]就是点P的位置向量. 这是借助相关元素来刻画点. 其次，研究空间中直线的向量表示，确定直线的基本元素是一个点和一个向量，而直线的组成元素是点，所以只要建立三者之间的关系式，就可以得到直线的向量表达式；最后，研究平面的向量表示，根据基本事实2，需要两条不共线的向量才能确定一个平面. 与直线类似，平面的组成元素也是点，因此只要建立它们之间的关系式就可以得到平面的向量表达式. 由此可见，整个研究过程就是在寻找所研究对象的组成元素及其相互关系，并用向量表达.

建立了空间中点、直线与平面的向量表示之后，再研究位置关系、夹角和距离，就只需要找到各自的“代言人”将其转化为向量问题求解即可.

2. 在平面解析几何中升华几何一般观念

平面解析几何是要用代数方法研究几何问题，与向量的应用本质相同，内容结构也类似. 先要将平面几何中的研究对象用代数表示，即点的坐标、直线的方程、圆的方程、圆锥曲线的方程. 之后再基于方程研究点、直线、圆、圆锥曲线的性质及其位置关系.

为了表示直线，要先建立直线的基本元素，即两个点[P1x1，y1]，[P2x2，y2]的坐标与直线的倾斜角α之间的关系，tan α =[y2-y1x2-x1]，将之定义为直线的斜率，并建立斜率与向量之间的联系，从而将不同的确定直线的方法有机地联系起来.

建立直线的点斜式方程就是求出直线的基本元素与直线上任意一点之间的关系式；建立圆的方程，就是求出确定圆的基本元素——圆心、半径与圆上任意一点的关系式；圆锥曲线方程的建立也是如此，它们与“1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示”有异曲同工之效. 这体现了向量法是没有坐标系的解析几何这一本质，体现了几何一般观念在不同内容中的一致表现.

确定椭圆的基本元素是长轴的顶点和椭圆的焦点，在推导椭圆的标准方程时引入参数b，从几何意义上又有了短轴上的2个顶点. 在研究椭圆的几何性质时，这6个点起着重要作用. 椭圆位于由长轴和短轴确定的矩形内，这个矩形控制了椭圆的形状. 同样地，在研究双曲线时，也有6个点（顶点、焦点、虚顶点），类比椭圆，4个顶点将确定双曲线的形状. 经过试验可以发现，如果以实轴、虚轴为两条对称轴构造长方形，双曲线位于该长方形外部，但这个长方形不能控制双曲线的形状. 再进一步探索，可以连接该长方形的对角线，经过观察发现双曲线被这一对对角线所在的直线控制，从而发现渐近线，之后从代数的角度进行论证即可.

如上内容是从几何到与几何相关的内容来叙述的，而不是按照教材中内容的编排顺序来叙述的. 教师关键是要理解几何一般观念，在此基础上根据教学内容的特点自觉应用. 与几何相关的内容还有很多，但是其中蕴含的几何一般观念不够集中、不够典型，所以此处不再赘述. 事实上，只要理解了几何一般观念，并自觉应用，就可以发现其作为方法论引发思维的巨大威力，就会感受到沉浸在数学探究中的快乐，从而乐此不疲，爱上数学，学好数学.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］章建跃. 章建跃数学教育随想录［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［4］章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］. 上海：华东师范大学出版社，2021.

［5］薛红霞. 转变数学知识观" 做好单元教学设计［J］. 数学通报，2022，61（2）：12-16.

［6］张永刚，赵婧一，常青. 项目学习：用向量发现三角形中的“美”：“用向量法研究三角形的性质”教学设计、实践与反思［J］. 中国数学教育（高中版），2022（6）：29-37，44.