二次函数与几何图形中的动态问题探究

李祥平

【摘要】二次函数与几何图形相结合的综合问题，不但考查学生二次函数和平面几何的基础知识，还考查数形结合、分类讨论等数学思想.其中的几何动态问题一直是初中数学学习的重中之重，要求学生求解时需利用运动变化的观点，综合运用所学知识解决问题.本文分析探究了二次函数与几何图形的几种动态问题，并针对每种动态问题列举了一道典型例题进行详细解答，以期望帮助学生对函数与几何相结合的知识有更全面的掌握.

【关键词】 二次函数；几何；动态

1 点动变换问题

例1 将抛物线y=ax2a≠0向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y=ax－h2+k.抛物线H与x轴交于点A、B，与y轴交于点C.已知A－3，0，点P是拋物线H上的一个动点.

（1）求抛物线H的解析式；

（2）如图1，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由.

分析 动点问题的一般解题思路：①化动为静，让运动的点在某个时刻停止下来，分析此刻变量间的关系；②利用好对称性，如果是二次函数的题一定要利用好图象的对称性；③关系法：根据图形找出已知条件间的关系，列出方程，将几何问题转化为代数问题来解决.

2 线动变化问题

例2 如图3，O为坐标原点，已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点A－3，0、B5，0、C0，5.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）把抛物线y=ax2+bx+ca≠0向下平移133个单位长度，再向右平移nn>0个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围.

分析 解决这种运动变化型的问题，关键是要掌握在运动中分析问题，在变化中进行求解.首先，要把握运动规律，寻求运动过程中的特殊位置；其次，学会将动态问题进行静态化，即将动态情境转化为几个静态的情境，从中寻找到变量之间的关系，用相关字母去表示几何图形中的长度、点的坐标等，将几何问题转化为代数问题解决.

解 （1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线解析式可得

9a－3b+c=025a+5b+c=0c=5，解得a=－13b=23c=5，

所以，抛物线解析式为y=－13x+23x+5.

（2）因为y=－13x+23x+5，

抛物线顶点坐标为1，163，所以将抛物线向下平移133个单位长度，再向右平移nn>0个单位长度后，得到的点M的坐标为1+n，1.设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0，把B、C两点坐标代入可得5k+m=0m=5，解得k=－1m=5，所以，直线BC的解析式为y=－x+5，

令y=1，解得x=4，

新抛物线的顶点M在△ABC内，

所以1+n<4，且n>0，解得0