中职数学教学中基本不等式的常见题型及解题技巧研究

张泽润

【摘要】基本不等式是中职数学不等式教学的核心概念，由基本不等式衍生的数学题型十分多样.文章立足中职数学教学实际，对中职数学基本不等式的常见题型进行归类，并分析了不同题型的解题技巧，同时对解题教学进行深入反思，指出教师可通过优化教法、凝练内容、跟踪评价的方式提升解题教学质量，希望为丰富中职学生解题技巧提供教学参考.

【关键词】中职数学；基本不等式；常见题型；解题技巧

以基本不等式为核心考点的数学题目种类繁多，教师只有一一为学生呈现不同题型，同时组织学生探析不同题型的解题技巧，才能确保学生扎实掌握基本不等式的相关知识，提高学生灵活解题的能力.为实现这一育人目标，中职数学教师应根据中职学生的认知发展特征设计梯度性的解题教学方案，先为学生讲解基本不等式的直接应用问题，之后逐级提升问题难度，促进学生解题思维的进阶发展.

一、中职数学基本不等式的常见题型及解题技巧

（一）基本不等式的求值应用

用基本不等式求最值是基本不等式的常见题型之一，对于锻炼学生的问题分析能力、灵活解题能力有着积极意义.教师可以综合中职数学教科书、练习册及课外教学资源挑选具有代表意义的练习题，之后组织学生解题，确保学生在习题训练中掌握应用基本不等式求最值的方法.下面，文章呈现经典例题及其解析，分析应用基本不等式求最小值的策略.

综合多项分析内容，确定AB两个选项为正确选项.

应用基本不等式求代数式的最值时，需要考虑“一正二定三相等”.其中，“一正”为两项必须都是正数.“二定”为求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值.“三相等”为等号成立的条件必须存在.解题时，由于题目给出了具体的限制条件，在直接应用基本不等式求解最大值、最小值时可能会遇到问题，这时，解题者需要结合原题特征采取变式手段.这类问题的解题思路主要有两种：

（二）基本不等式的构造应用

以原始形式出现的基本不等式问题可以通过直接应用相关公式解决.然而，在中职数学解题教学中，常有题目结构、考查角度、考题形式新颖的题目出现.这类问题很难直接应用基本不等式求解.实际教学中，教师可以选择不同的基本不等式构造应用例题进行解题教学，通过分析问题、求解问题让学生掌握基本不等式的构造应用技巧，进一步提高学生的灵活解题能力.

以例3为例，解此类题时，解题者可以根据题目中给出的数量关系进行代换，以此达到构造不等式的目的.这类问题的解题思路如下：首先，要认真审题，明确原题中已知式与待证不等式；其次，要分析解题思路，比如是选择直接代入的方法构造基本不等式，还是用式子乘1的方式构造基本不等式；再次，用“1”代入后要注意采取变式操作，得到可以用基本不等式进行论证的式子，最后应用基本不等式证明.

（三）基本不等式的消元应用

（四）基本不等式的换元应用

换元法又被称为变量代换法，是一种通过引进新的变量将碎片化信息串联起来、将隐含的条件显露出来的一种解题方法.中职数学基本不等式的解题教学中，常出现信息碎片化、解题步骤复杂的类型题.对于此类问题，教师可以指导学生应用换元法构造元、设元，以此简化原问题，之后快速求解问题答案.

由这一例题可以发现，某些看似无法用基本不等式求解的问题，经过换元后能够变为基本不等式的一般形式.对于此类问题，解题者可以从换元的角度出发，将原函数式转化，再运用基本不等式来求最值.

二、中职数学基本不等式的解题教学反思

（一）优化教法，提升解题教学效率

优化传统解题教学方法是提高中职数学解题教学质量、提升学生解题学习效率的关键.传统解题教学中，教师多使用注入式教学法，通过直接讲解解题原理、直接演示解题过程让学生机械识记不同类型问题的解题方法，并通过大量的练习确保学生掌握解题方法.然而，这样的教学只能让学生处于浅层学习状态，无法让学生理解解题原理.学生一旦遇到了形式更为新颖、内容更为复杂的问题，则无法及时确定解题思路.让学生理解解题方法的本质是中职数学解题教学的重中之重.为此，教师应采用启发教学法、讨论教学法、任务教学法、问题教学法等多种教学方法引导学生深入问题核心，在分析、猜想、尝试、探究的过程中解决复杂问题，并总结问题求解的方法与技巧，使其达到深度学习状态，真正提高学生的基本不等式问题解题能力.

（二）凝练内容，减轻解题学习负担

数学是中职教育的基础教学科目之一，肩负着培养学生逻辑推理、抽象归纳、建模应用、数据分析等能力的育人责任.在以往的教学中，部分中职数学教师为了充分发挥中职数学的育人价值，在课程教学中布置大量的随堂练习题及课后作业，意图让学生在重复练习的过程中巩固所学内容，锻炼专业能力.然而，超量的随堂练习、课后作业会增加学生的学习负担，增加其学习压力，反而会对中职数学教学造成负面作用.为此，教师可以对基本不等式解题教学的内容进行删减，通过删除同质性强的、缺乏育人价值的习题精简练习内容、精简作业内容，达到减轻学生课业负担的目标.比如，教师可以对基本不等式的解题教学内容进行分类，根据不同问题的特征将其分为理解应用、求值应用、构造应用、实践应用等类型问题.之后，教师可以从中职数学教科书、数学教学网站收集、整理具有典型意义的练习题，并将其作为课上练习、课后作业的主要内容.之后，教師围绕典型例题展开精细讲解，使学生在投入较少时间、精力的基础上获得理想的解题学习效果.

（三）跟踪评价，促进学生反思提升

在解题教学中适时给予学生中肯、贴切地评价有利于学生认识到自身在解题学习中存在的不足，确定改正、提升的方向，进一步提升学生的综合水平.在解基本不等式的直接应用、构造应用等类型题时，学生往往需要从多种角度思考数学问题，并进行大量的数学计算，很容易在解题过程中出现错误.然而，很多学生并不能客观认识到自身的错误所在，无法及时纠错、改错.这种情况下，教师可以对学生的思考过程、运算过程、求解过程进行跟踪评价，指出学生在数学分析、运算求解方面存在的不足，以便于学生更加深刻地认识到自身解题学习存在的问题，从而促进学生的反思提升.

结 语

综上所述，基本不等式的常见题型有很多，包括求值应用、构造应用、消元应用、换元应用，等等.其中，基本不等式的构造应用又包括凑配应用、代换应用.解决不同类型问题的原理相同，但方法、思路、步骤存在一定的区别.实际教学中，教师应从不同问题的特征入手，引导学生发现问题的本质，并尝试应用所学知识解决复杂问题，从而锻炼学生正用、逆用、构造应用、变形应用基本不等式的思维能力，提升学生的解题水平.

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