重情境·重思维·重素养

曲巍　张玉萍　吴丽华

摘  要：2023年高考对概率与统计内容的考查，既注重基础，又关注应用，在知识交会处体现综合性，在问题背景和设问中体现创新. 试题立足《中国高考评价体系》，对学生的必备品格和关键能力进行了全面考查，充分体现了高考数学立德树人、服务选才、引导教学的功能.

关键词：概率与统计；高考数学；命题分析

概率与统计知识作为服务人类生产和决策的重要理论，在高中数学课程中占据重要地位. 近年来，高考对此部分知识的考查日趋多元、开放和创新，试题背景也更加凸显与生活的紧密联系和概率与统计知识在生活中的广泛应用. 2023年高考数学全国卷和地方卷都在沿袭中有所发展，以更加丰富的问题背景和综合的设问凸显数学本质，突出考查统计思维，体现数学的科学价值、应用价值和文化价值.

一、考查内容分析

2023年高考概率与统计试题立足《中国高考评价体系》（以下简称《体系》），聚焦学生的数学核心素养进行命制，以稳定的题型、适中的题量、适当的难度考查学生的必备品格和关键能力，突出“一核”评价功能，有效体现“四层”“四翼”的考核要求与内容.

1. 考查内容总览

2023年高考对概率与统计专题的考查内容如下.

计数原理：组合数、基本计数原理、二项展开式.

统计：分层抽样，频率分布直方图，数据的平均数、中位数、标准差、极差等数字特征的意义和计算，独立性检验.

概率：全概率公式、条件概率、古典概型、几何概型、频率与概率、相互独立事件、互斥事件、二项分布、超几何分布、随机变量的分布列和期望.

以上考查内容是概率与统计专题中的基础内容，也是近年来高考的高频考点. 2023年高考概率与统计试题通过命题背景的变换，持续考查学生运用概率与统计的知识和思想方法分析问题、解决问题的能力，具有较强的综合性和应用性.

2. 考查特点分析

整体上看，全国卷中概率与统计部分试题的题量、题型、分值均较为稳定，主要以“2小1大”（选择题和填空题共计2道，解答题1道）呈现，分值为22分（全国甲卷文科“1小1大”，分值为17分）；地方卷则沿袭了各自近年来的考查特点，题型、题量、分值与往年基本保持一致，仅上海卷较往年增加了1道解答题.

试题难度整体较为适中，主要考查学生对必备知识的掌握与运用情况，突出通性通法，对学生数据分析、数学建模、逻辑推理、数学运算和数学抽象等素养进行了全面考查. 同时，试题也在稳中求新、稳中求变，在知识的交会处设问，提升难度与思维含量. 例如，全国新高考Ⅰ卷第21题将概率与数列相结合，难度大幅度提升，有效考查了学生的各项关键能力.

二、命题特点分析

1. 命题意图分析

2023年高考数学概率与统计试题，立足《体系》“四层”“四翼”的考查要求，既有社区服务、文艺汇演、作文比赛、选课或选读物等紧密围绕学生学习生活的问题背景，又有药物检测、产品检测、信号传输、疾病诊断等服务社会生活与生产的问题背景，凸显了时代性和应用性的命题导向，充分体现了数学的应用价值和高考的育人功能.

（1）关注必备知识的考查，突出基础性.

例1 （全国新高考Ⅰ卷·9）有一组样本数据[x1，x2，…，x6]，其中[x1]是最小值，[x6]是最大值，则（    ）.

（A）[x2，x3，x4，x5]的平均数等于[x1，x2，…，x6]的平均数

（B）[x2，x3，x4，x5]的中位数等于[x1，x2，…，x6]的中位数

（C）[x2，x3，x4，x5]的标准差不小于[x1，x2，…，x6]的标准差

（D）[x2，x3，x4，x5]的极差不大于[x1，x2，…，x6]的极差

答案：BD.

考查目标：对平均数、中位数、标准差、极差的概念及含义的理解.

命题意图：通过判断抽象的、相关联的数据的数字特征的大小关系，考查学生对数字特征相关基本概念的掌握情况和对各数字特征含义的理解.

命题评价：此题属于基础题，起点低，入手易. 若对概念的本质有深刻理解，了解每个数字特征的意义，可以省去很多计算，直接得到答案；若只知道每个数字特征的计算公式，也可以逐一列式计算，并用特殊值辅助求解，但与前者相比会花费较多时间. 因此，教学中，教师要引导学生深刻认识每个数字特征的意义，并帮助学生理解不同數字特征之间的联系与区别，了解它们的共性和差异.

高考对概率与统计内容的考查充分体现了基础性，试题难度以中档偏下居多，如全国甲卷（理科）第6题（条件概率）和第9题（计数原理）、全国甲卷（文科）第4题（古典概型、组合数）、全国乙卷（理科）第7题（乘法公式）、全国乙卷（文科）第9题（古典概型）、全国新高考Ⅰ卷第13题（组合数）、全国新高考Ⅱ卷第3题（分层抽样、组合数）、北京卷第5题（二项式定理）、天津卷第11题（二项式定理）等，都直接考查对基本概念的理解和对公式的掌握与应用.

（2）关注统计思维的考查，突出应用性.

例2 （全国新高考Ⅱ卷·19）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到患病者和未患病者该指标的频率分布直方图如图1和图2所示.

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值[c]，将该指标大于[c]的人判定为阳性，小于或等于[c]的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为[pc]；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为[qc]. 假设数据在组内均匀分布. 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

考查目标：对频率分布直方图、用频率估计概率、分段函数、函数最值的理解与应用.

命题意图：以大量的文字信息背景作铺垫，考查学生的阅读能力、信息转化能力和理性思维；以现实生活中的诊断分析体现概率与统计的应用价值，考查学生用概率统计思想解释现实现象的能力.

命题评价：此题考查的知识点都属于基础的应知应会内容，且运算过程合理、运算量适中. 但是试题情境具有很强的现实意义，有较高的抽象性，对学生的思维强度要求较高. 对学生而言，此题存在较大的阅读理解难度，特别是要转化文字信息，与相应频率分布直方图对应，并写出概率表达式. 要求学生有较强的理论联系实际的能力和分析问题、解决问题的能力，较好地考查了学生的思维品质.

高考概率与统计解答题的命制，一方面，着力体现知识的应用性；另一方面，侧重通过不同的背景实现对思维的考查. 全国甲卷（文、理科）第19题、全国乙卷（文、理科）第17题、北京卷第18题分别通过药物检测、环境检测、产品检测、价格预测等实际背景，体现考查内容的应用性，考查学生的概率统计思维和数据分析、逻辑推理、数学抽象、数学建模、数学运算等素养.

（3）关注对关键能力和数学核心素养的考查，突出试题的综合性和创新性.

例3 （全国新高考Ⅰ卷·21）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8. 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

考查目标：对全概率公式、等比数列、两点分布、期望的掌握与灵活应用.

命题意图：在知识交会处设问，在考查学生对概率思想的领会与理解的同时，考查学生思维的灵活度和创新性，对学生的关键能力和数学核心素养提出了更高要求，可以有效检测学生思维的全面性、严谨性和细致性.

命题评价：试题背景是学生熟知的投篮问题，通过从具体的投篮次数推广到未知的投篮次数，由浅入深实现对学生高阶逻辑推理能力和综合能力的检测.试题的创新之处在于跳出常规的概率思考区，将等比数列的构造与求解自然融入其中，完美诠释高考试题的综合性和创新性. 试题难度与其在整张试卷中所处的位置相匹配，有效突出“一核”的评价功能．

2. 命题导向分析

（1）关注教材，服务“双减”.

教材是高考命题的重要依据，概率与统计试题的命制始终坚持以教材为蓝本，充分对教材问题进行拓展、改编和整合，有意引导教学回归教材，服务“双减”落实，在反套路、反刷题的道路上不断前行.

例4 （全国新高考Ⅱ卷·12）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立. 发送0时，收到1的概率为[α 0<α<1]，收到0的概率为[1-α]；发送1时，收到0的概率为[β 0<β<1]，收到1的概率为[1-β]. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次. 收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（    ）.

（A）采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为[1-α1-β2]

（B）采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为[β1-β2]

（C）采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为[β1-β2+1-β3]

（D）当[0<α<0.5]时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率

【评析】此题背景源自人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第三册（以下统称“人教A版教材”）第51页例6. 其均以数字信号传输为背景命制，高考试题将教材例题中具体的数字抽象成数学符号，更具一般性；将例题中的一次传输拓展为三次传输，从简单到复杂，能进一步检测学生的思维和能力.

例5 （全国甲卷·理9）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ）.

（A）120种 （B）60种

（C）40种  （D）30种

【评析】此题的设问与人教A版教材习题6.1的第11题的设问一正一反. 相比于高考试题，教材习题的設问更复杂. 若学生能够透彻地理解教材习题，解决高考试题将轻而易举.

例6 （全国甲卷·理19）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.

（1）设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；

【评析】此题依据知识的内在联系，将教材中的例题和习题进行整合，构建了新问题. 背景源于人教A版教材第79页例6和第134页练习3. 教材例6不放回抽取20个球，其中黄球的个数为随机变量，对应理解超几何分布；高考试题以某两只小白鼠在对照组的个数为随机变量，考查超几何分布及其数学期望. 教材练习题直接给出了分析药物A对预防疾病B疗效的2 × 2列联表，是直接利用[χ2]的计算公式解决判断两个分类变量关联性的问题；高考试题给出对照组和试验组两组具体数据，学生需要依据实际问题的具体要求，独自列出2 × 2列联表，再利用[χ2]计算公式得出能有95%的把握认为药物对小白鼠生长有抑制作用，难度有所提升. 此题不仅创设了符合实际的新背景，还全面考查了学生的“四基”“四能”，展现了高考试题源于教材、高于教材的立意.

以上高考试题与教材例题和习题的对比，仅是高考命题的缩影. 在《体系》的引领下，高考试题的命制会进一步在回归教材、立足教材、拓展教材上倾注心血，继续在深入挖掘教材的基础上创设新情境、构建新问题.

（2）关注思维，淡化“轮换”.

以往高考试题对有关知识点的考查会结合近年历次高考中此知识点的考查频数，向频数小的知识内容倾斜，但是对比近3年高考概率与统计试题，可以看到命题更趋向对核心知识本质的考查，突出对概率的意义和统计思想的检测，而弱化了知识点本身出现的频次. 对于重要的、能反映概率的意义和统计思想的问题，不乏频繁出现的迹象. 例如，近几年高考对平均数、中位数、标准差、极差的考查从未中断，具体涉及2023年全国新高考Ⅰ卷第9题，2021年全國新高考Ⅰ卷第9题、全国新高考Ⅱ卷第9题，2021年全国甲卷（文、理科）第2题等，其都在以不同的背景考查平均数、中位数、标准差、极差概念的本质. 再如，2023年全国新高考Ⅱ卷第19题借助频率分布直方图考查学生的概率与统计思维，2022年全国新高考Ⅱ卷第19题和2021年全国甲卷（文、理科）第2题同样结合频率分布直方图展开系列设问. 2023年全国乙卷（文、理科）第17题考查平均数和方差的性质，并要求学生判断伸缩率是否有显著提高，其与2021年全国乙卷（文、理科）第17题的考查方向基本一致. 在复习教学过程中，教师要重视对学生思维的训练与提升，要全面复习基础知识，切忌主观忽视高频问题.

（3）关注综合，服务选才.

前文例3（2023年全国新高考Ⅰ卷第21题）的命制，再次打破了高考概率与统计试题的“舒适区”，提升了难度系数. 2021年全国新高考Ⅱ卷曾首次在第21题的位置设置以微生物多代繁殖为背景的概率与函数相结合的试题，形式新颖、跳跃性大，且第（3）小题为开放性问题，凸显了数学学科的应用价值. 2023年高考概率与统计试题的命制继续在综合性和创新性上有所突破，突出高考服务选才的评价功能，为高中数学教学与复习备考引领了方向.

三、复习备考建议

1. 注重以教材为主的精讲精练教学

从上述的命题导向分析不难看出教材对实际教学和高考试题命制的重要作用. 因此，要深入挖掘教材中的例题和习题，进行精讲、精析、精练. 借助典型例题和习题，梳理数学基础知识，深化数学思想方法，提升数学核心素养. 在此过程中，既要引导学生关注过程、完善书写，更要引导学生关注解决问题的一般方法. 同时，要注重借鉴高考试题，对典型问题进行巩固变式，拓宽学生的视野，多角度考查核心问题，切忌单纯地模仿记忆训练.

2. 注重以基础为主的通性通法教学

“四基”是学生发展的重要基石，更是高考的主要考查内容. 对于概率与统计专题内容的复习，要注重引导学生独立分析问题，使其内化对基本概念的理解，明晰概率的意义和统计思想，明确数据分析的方法；要侧重将知识的发生发展过程呈现给学生，关注一类问题的解决策略，引导学生透过现象看本质，强化理解性记忆.

3. 注重以能力提升为主的综合训练

高考概率与统计试题的命制背景日趋复杂. 教学中，教师要有意识地培养学生获取信息、分析信息、转化信息的能力，越是文字量大、信息量多的问题，越要放手让学生独立完成阅读与分析转换. 要螺旋上升地培养学生利用概率的意义和统计思想分析问题、解决问题的习惯和能力，明确在不同背景和需求下，使用不同的方法选择、统计、分析数据，着力提升学生逻辑思维的严谨性和对统计思想的感悟，增强学生“用数据说话”的意识. 同时，还要注重概率与统计知识与其他知识的交会和联系，实现思想方法的融会贯通，提升学生分析、处理综合性问题的能力.

四、典型模拟题

1. 某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图3），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、黄色两种花被随机地分别种在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（    ）.

2.（多选题）金枪鱼因为肉质柔嫩鲜美、营养丰富深受现代人喜爱，常被制作成罐头食用，但当这种鱼罐头中的汞含量超过1.0 mg / kg时，食用它就会对人体产生危害. 某工厂现有甲、乙两条金枪鱼罐头生产线，现从甲、乙两条生产线中各随机选出10盒罐头并检验其汞含量（单位：mg / kg），其中甲生产线统计数据如下：0.07，0.24，0.39，0.54，0.61，0.66，0.73，0.82，0.95，0.99，其方差为[s12=0.08]；乙生产线统计数据的均值为[x2=0.4]，方差为[s22=0.11]，下列说法正确的是（    ）.

（A）甲生产线生产的金枪鱼罐头样本汞含量数值的上四分位数是0.82

（B）甲生产线生产的金枪鱼罐头样本汞含量数值的上四分位数是0.775

（C）由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头样本汞含量平均值高于两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值

（D）由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头样本汞含量数值较两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值更稳定

答案：BCD.

3. 生产某种特殊零件的废品率为[p 0

（1）求[p0]；

（2）若工厂生产该零件的废品率为[p0].

① 从生产的产品中随机抽取n个零件，设其中优等品的个数为X，记[Pk=P X=k，k=0，1，…，n]，已知[X=5]时优等品概率[Pk]最大，求[n]的最小值；

② 已知每个零件的生产成本为80元，合格品每件售价150元，同时对不合格零件进行修复，修复为合格后正常售卖，若仍不合格以每件10元的价格出售，若每个不合格零件修复为合格零件的概率为0.5，工厂希望一个零件至少获利50元，试求一个零件的修复费用最高多少元.

答案：（1）[0.2].（2）① 14；② 30元.

4. 碳中和是指国家、企业、产品、活动或个人在一定时间内直接或间接产生的二氧化碳或温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳或温室气体排放量，实现正负抵消，达到相对“零排放”. 2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.” 某工厂响应国家号召，随着对工业废气进行处理的新技术不断升级，最近半年二氧化碳排放量逐月递减，具体数据如表3所示.

（1）这6个月中，任取2个月，求已知其中1个月的碳排放量低于6个月碳排放量的平均值的条件下，另1个月碳排放量高于6个月碳排放量的平均值的概率；

（2）若用函数模型 p = p0ekt 对两个变量月份 t 与排放量 p 进行拟合，根据表3中数据，求出 p 关于 t 的回归方程.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中. 数形结合与数学模型：高中数学教学中的核心问题［M］. 北京：高等教育出版社，2018.

［3］周远方，李冉，徐新斌. 2020年高考“计数原理、概率与统计”专题命题分析［J］. 中国数学教育（高中版），2020（11）：31-40.

［4］曲巍，王锐，吴丽华. 2021年高考“概率与统计、计数原理”专题命题分析［J］. 中国数学教育（高中版），2021（9）：38-44.

［5］王锐，曲巍，吴丽华. 立足必备品格  考查关键能力：2022年高考“概率与统计”专题命题分析［J］. 中国数学教育（高中版），2022（10）：55-64.

基金项目：黑龙江省教育科学“十四五”规划2021年度重点课题——基于核心素养的数学建模实践研究（JJB1421242）；

黑龙江省教育科学“十四五”规划2022年度重点课题——“轻负高质”的高中数学教与学模式的实践研究（JJB1422244）.

作者简介：曲巍（1981— ），女，助理研究员，主要从事高中数学教育教学研究；

张玉萍（1971— ），女，中学高级教师，主要从事高中数学教育教学研究；

吳丽华（1964— ），女，研究员，主要从事高中数学教育教学研究.