深化基础考查·强化关键能力·突出思维品质

杨林军　韩静波　周当侠

摘  要：通过对2023年高考函数与导数试题的多角度梳理，从必备知识、关键能力和学科素养等方面分析试题命制中呈现的一些特点，并通过对典型试题的分析，归纳出深化基础考查、强化关键能力、突出思维品质的命题主旨，并在此基础上提出回归教材、强化基础、提升能力、优化思维的高考复习教学建议.

关键词：函数与导数；命题特点；复习教学建议

2023年高考数学试卷共9份，具体为全国甲卷（文、理科）、全国乙卷（文、理科）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷、北京卷、天津卷和上海卷. 各份试卷对函数与导数内容的考查符合《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）的要求，全国卷整体难度与2022年相比有所降低. 由于函数与导数内容的联系性、综合性，以及试题解法的灵活性，使得其在各份试卷的各类题型中常常作为“把关题”出现. 试题通过创新试题情境和设问方式，重点考查“四基”“四能”，在问题解决、方法探究和知识应用中落实数学核心素养，实现立德树人总体要求. 试题注重对学生思维品质的考查，充分发挥高考试题区分与选拔的功能，同时对日常教学具有很好的引导作用.

一、考查内容分析

对于2023年高考函数与导数试题，从其在各份试卷中的分值占比来看，仍然是高考考查的重点，凸显了其在中学数学知识中的核心地位；从题型分布来看，涵盖了选择题（包括多选题）、填空题和解答题所有题型，凸显了其在全面考查学生基础知识、关键能力和数学核心素养等方面的突出作用；从其在各份试卷中所处的位置来看，大多数位于各份试卷中各类题型压轴题或次压轴题的位置，凸显了其在考查学生关键能力、思维品质、创新思维，以及在区分与选拔等方面的重要作用.

1. 深化对必备知识的考查

（1）全面考查函数与导数部分的主干知识.

2023年高考函数与导数试题的考查内容包括函数的概念与性质、导数的概念、导数在研究函数中的应用，以及利用函数的性质解决不等式、求参数的取值范围和一些简单的实际问题等.

对于函数的奇偶性，要求理解定义的本质，并将其拓展到一般意义上曲线的轴对称和中心对称，能利用其解决一些新情境中的问题. 例如，全国新高考Ⅱ卷第4题、全国甲卷（理科）第13题、全国乙卷（理科）第4题，重点考查了利用函数的奇偶性定义求参数的取值范围.

对于函数的单调性，要求掌握通过几何直观、代数运算、导数工具等多种途径研究函数的单调性的方法，特别是利用导数工具研究由四则运算和复合运算构成的函数的单调性问题. 例如，全国甲卷（理科）第21题、全国乙卷（理科）第16题、全国新高考Ⅰ卷第4题和第19题、全国新高考Ⅱ卷第6题.

对于函数的极值，要求深刻理解极值的概念，特别是判断极值的充分条件和必要条件，要求理解极值与最值之间的关系，在复杂情境中，能根据函数的极值对问题进行转化. 例如，全国乙卷（理科）第21题的第（3）小题、全国新高考Ⅰ卷第19题的第（2）小题，以及全国新高考Ⅱ卷第11题和第21题.

对于函数的零点，主要考查零点存在定理，特别是在已知单调性的情况下通过观察找出特殊点，由特殊点处函数值的正负判断函数零点存在的方法，对学生的关键能力和思维品质要求较高. 例如，全国乙卷（文科）第8题.

对导数的概念及几何意义、导数的运算、导数的应用等内容的考查占有较大比重，而且较多试题处于压轴题的位置，要求学生灵活运用导数工具，准确进行导数运算，根据导数的正负判断函数的单调性.

相较于2022年，2023年高考对于抽象函数的考查在数量和难度方面都有所下降，主要考查通过赋值判断函数所具有的性质. 当然，也可以类比基本初等函数的运算性质（如[fxy=fx+fy]可以表示对数函数）通过构造满足条件的具体函数解决问题.

对于分段函数，主要运用基本初等函数的图象与性质，结合几何直观，考查分段函数的定义域、值域、单调性和零点等性质. 例如，上海卷第5题和北京卷第15题.

关于函数的应用，主要考查利用函数的性质比较实数大小、证明不等式及解决一些实际问题. 例如，全国甲卷（文科）第11题、天津卷第3题、全国甲卷（理科）第21题、全国甲卷（文科）第20题，全国新高考Ⅱ卷第22题、全国新高考Ⅰ卷第10题.

（2）注重对通性通法的考查.

通性通法一般是指解决某一类问题的基本方法，与一些技巧性与特殊化方法相比，其适用范围较广. 判断函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值等均属于通性通法. 例如，全国新高考Ⅱ卷第4题已知含参函数为偶函数，要求参数值. 这类试题通常有多种解法，可以利用偶函数的定义求解；可以通过取特殊值建立方程，找出使其为偶函数的一个必要条件，再验证其充分性满足题意；可以基于函数解析式的结构特征，对参数进行分类讨论，找到符合题意的参数值；等等. 但是这些解法中，利用偶函数的定义求解的方法是最具有普适性的，从定义出发进行推理，获得的答案是充要的. 这种解法基于概念本质，同时包含丰富的数学思想，可以迁移到寻找定点与定值的问题当中，因此属于解决此类问题的通性通法.

（3）对数学思想方法的考查贯穿始终.

数学思想方法是对数学知识在更高层次上的抽象、概括和凝练，它蕴含在知识发生发展和应用的过程中，是学生良好思维品质的具体体现，因而也是历年高考数学考查的重点. 函数与导数部分涉及的数学思想方法主要包括函数与方程思想、轉化与化归思想、数形结合思想、分类与整合思想、特殊与一般思想、有限与无限思想. 例如，全国新高考Ⅰ卷第19题的第（2）小题需要将证明不等式的问题转化为求函数的最值问题求解；全国乙卷（文科）第8题需要通过数形结合将三次函数的零点问题转化为两个基本初等函数交点的个数问题求解；全国新高考Ⅱ卷第22题和全国甲卷（理科）第21题均需要将导数与三角函数巧妙地结合起来，利用分类讨论、转化与化归、分类与整合等思想方法求解与函数的单调性和极值等有关的问题.

2. 加强对关键能力的考查

数学关键能力指运用数学的基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验，分析问题和解决问题所需的稳定的个性心理特征和思维品质，具体表现为在掌握基础知识和基本技能的基础上，对知识进行迁移和创新，能够在新的情境中解决一些具有开放性、推广性、变式性、反思性的问题. 在高考函数与导数试题中，主要考查学生的抽象概括、逻辑思维、运算求解、直观想象、阅读理解、信息整理、语言表达等能力.

阅读理解能力、信息整理能力、语言表达能力体现在对每道试题缜密审题、思路形成、证明求解、规范表达等问题解决的全过程. 例如，全国新高考Ⅰ卷第10题要求学生对表格中的信息进行转化，用符号语言表达数量关系，进而在明确问题的基础上，通过选择合理的运算路径解决开放性问题，对于学生的阅读理解能力和信息整理能力要求较高.

逻辑推理能力是数学关键能力的核心，也是数学思维品质的重要体现，在高考中的考查主要体现为在对已有信息进行整理的基础上，明确解决问题的方向，并基于问题和概念，有层次、有逻辑地进行问题转化、推理论证、精确运算和规范表达. 例如，全国新高考Ⅱ卷第11题需要学生将函数“既有极大值也有极小值”转化为其导函数在[0，+∞]上有两个变号零点，进而转化为二次方程有两个正根的充要条件，从此出发进行推理，解决开放性问题. 又如，全国乙卷（理科）第21题要求学生根据参数的性质进行分类讨论，考查学生思维的条理性和严谨性.

2023年全国各地区高考函数与导数试题，都不约而同地加大了对运算能力的考查力度，要求學生明确运算对象、掌握运算法则、恰当选择运算路径、准确求得结果，在面临复杂的运算对象时，能优化运算路径，体现运算的灵活性和创新性. 例如，全国甲卷（理科）第21题、全国乙卷（理科）第21题、全国乙卷（文科）第8题、全国新高考Ⅱ卷第22题、北京卷第20题等.

3. 强化对数学核心素养的考查

通过数学学习形成和发展数学核心素养是《标准》提出的要求，文献［5］在《中国高考评价体系说明》和《标准》的基础上，将高考数学考查的学科素养提炼为理性思维、数学应用、数学探索和数学文化. 从这个角度看，函数与导数试题是落实高考对学生核心素养考查目标的主要载体.

2023年高考函数与导数试题注重在运用数学知识解决问题的过程中考查学生的数学核心素养. 例如，全国新高考Ⅰ卷第10题要求学生利用对数函数研究噪声声压水平解决实际问题，重点考查学生的数学建模和数学运算素养；全国甲卷（文科）第11题和天津卷第3题要求学生利用函数的性质比较三个实数的大小，重点考查学生的数学抽象和逻辑推理等素养.

2023年高考函数与导数试题注重通过创新设问形式，在问题解决中考查学生的数学核心素养. 全国新高考Ⅰ卷和全国新高考Ⅱ卷继续坚持通过多选题的形式增强结论的开放性，对学生的逻辑思维能力和思维的严谨性、灵活性等思维品质提出了较高的要求. 例如，全国乙卷（理科）第21题通过“是否存在”的设问方式，较好地考查了学生的逻辑思维能力；全国新高考Ⅰ卷第11题通过设置抽象函数背景和结论开放的选项，重点考查学生的批判性思维能力和构建新函数的创新能力；北京卷第15题将与解析几何有关的函数嵌入分段函数中，通过巧妙设置参数和结论开放的背景，全面考查学生的数学探究能力.

2023年高考函数与导数试题，注重在解决函数问题的过程中全面考查学生的数学抽象和逻辑推理素养，在明确问题、思路探索、运算求解中着力考查学生思维的逻辑性、严谨性，考查学生在复杂情境中把握事物之间的关联及把握事物发展的脉络的能力. 这样的考查方式有利于提升学生重论据、有条理、合逻辑的思维品质，促使学生形成理性精神，进而实现数学教学的教育价值.

二、命题特点分析

1. 命题意图分析

通过创设关联情境，在问题解决的过程中深入考查学生对函数与导数部分必备知识的掌握情况，特别是对基础知识的本质理解、对基本方法的熟练掌握，以及灵活运用所学知识与方法分析问题和解决问题的能力.

例1 （全国乙卷·理16）设[a∈0，1]，若函数[fx=ax+1+ax]在[0，+∞]上单调递增，则[a]的取值范围是_________.

答案：[5-12，1].

考查目标：此题考查导数的概念、指数函数的求导运算、导数与函数的单调性的关系等基础知识，以及利用导数研究函数单调性的方法. 考查学生灵活运用导数工具分析问题、解决问题的能力，以及逻辑推理能力、运算求解能力、函数与方程思想和转化与化归思想.

命题意图：此题将两个均与参数[a]相关联的指数函数通过运算构成所要研究的函数，需要运用导数工具研究函数的单调性，将函数在给定区间上的单调递增转化为不等式在给定区间上恒成立的问题，从而获得求解的必要条件. 具体推理过程中，需要学生运用函数思想构建新的函数，研究新函数的性质，并利用函数的性质求出参数的取值范围. 此题也可以结合几何直观，利用两个指数函数的图象，根据导数和函数单调性的关系建立不等关系求解.

命题评价：此题紧扣《标准》，借助学生熟悉的基本初等函数通过代数运算构建所要研究的函数，在已知函数的单调性的情况下要求学生求解参数的取值范围. 作为选择题的压轴题，入口宽，重点考查学生对导数与函数的单调性关系的理解. 对学生的思维品质提出了一定要求，起到了甄别的作用，对教学起到了良好的导向作用.

通过创设学科内综合情境，在运用基础知识和数学思想方法解决问题的过程中深入考查学生的逻辑推理和数学运算等关键能力，彰显了高考试题的综合性，凸显了高考对学生关键能力的重点考查.

例2 （全国甲卷·理21）已知函数[fx=ax-sinxcos3x，][x∈0， π2].

（1）若[a=8]时，讨论[fx]的单调性；

（2）若[fx

答案：（1）略；（2）[-∞，3].

考查目标：此题考查求导公式和导数运算法则，以及利用导数判断函数的单调性的方法；考查学生灵活运用导数工具分析问题和解决问题的能力，综合考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力及分类讨论思想和转化与化归思想.

命题意图：此题对由一次函数和三角函数通过运算构成的函数进行研究，由于函数中含有参数，预示着要对参数进行分类讨论. 第（1）小题给定参数的值，以此考查学生对函数求导及利用导数判断函数的单调性等基本方法的掌握程度，面向大部分学生；第（2）小题虽然是学生熟悉的由不等式恒成立求参数范围的题型，但是问题转化的过程比较灵活，为学生的发挥提供了广阔的空间，对学生的运算能力、推理能力和逻辑思维能力都提出了较高要求，对中学数学教学具有很好的导向作用.

命题评价：此题巧妙地将一次函数和三角函数结合进行命制. 对于第（2）小题，虽然恒成立问题是学生所熟悉的，但是函数形式却是陌生的. 学生如果盲目地分离参数，则会陷入复杂的运算中，导致解题出错. 此题层次分明、内容丰富，具有较高的区分度，可以较好地考查学生进一步学习的潜能，引导中学数学教学从理解概念入手，不断提高学生的逻辑推理能力、分析综合能力、运算求解能力和问题转化能力.

通过命题形式的不断创新，包括试题情境创新、设问方式创新，重点考查学生的问题转化、推理探究和知识迁移等能力，考查学生思维的灵活性和创新性，从而全面考查学生的数学核心素养，体现《中国高考评价体系》中对创新性的要求，引导中学数学教学在概念理解及学生关鍵能力和思维品质的提升上下功夫.

例3 （全国新高考Ⅱ卷·22）（1）证明：当[0

（2）已知函数[fx=cosax-ln1-x2]，若[x=0]是[fx]的极大值点，求[a]的取值范围.

答案：（1）略；（2）[a∈-∞，-2?2，+∞.]

考查目标：此题考查函数的概念与性质，考查初等函数特别是复合函数的求导法则，以及导数与函数的单调性和函数的极值之间的关系等，考查学生问题转化、深入思考、严密推理、精确计算及灵活运用导数分析问题、解决问题的能力.

命题意图：第（1）小题考查利用函数与导数证明不等式的基本方法，不含参数，较为基础，适合大多数学生发挥，同时为第（2）小题的放缩提供了方向和所需结论；第（2）小题，注意到函数是偶函数，要求学生能根据题设条件与极值的局部性质对问题进行转化，需要学生深入掌握并理解极值的概念，同时对学生的分析能力、转化能力、运算能力和逻辑能力提出了较高要求，对学生思维的灵活性也有较高要求，具有一定的难度，突出了高考试题的选拔功能.

命题评价：此题多角度考查了导数的基础知识，利用导数研究函数性质的方法，函数极值的局部性质及不等式的性质. 在高中数学教材中，关于函数极值的判定有如下结论：当[fx0=0]时，如果在[x0]附近的左侧[fx0>0]，右侧[fx0<0]，那么[fx0]是极大值. 此题依赖极值的基本判定方法进行命制，紧贴教材，对学生的逻辑能力、运算能力、分析能力和转化能力提出了较高要求. 此题层次分明，内容丰富，区分度较高，使不同学生的理性思维深度、知识掌握牢固程度、运算求解娴熟程度都得到了充分展示，可以较好地考查学生进一步学习的潜能，引导中学数学教学注意认真提炼和总结解题方法，不断提高学生对基础知识的理解，促进学生有关能力和素养的发展.

2. 命题导向分析

第一，回归教材，回归知识本源，深化对必备知识的掌握，特别是对核心概念的本质理解. 函数的奇偶性是函数的重要性质，几乎在每年高考中都有考查，试题通过函数形式的变化与设问方式的改变，深度考查学生对奇函数和偶函数定义的理解. 这些试题涉及的函数都源于教材习题，而且教材中对于“奇函数 + 奇函数”“偶函数 + 偶函数”“奇函数 × 偶函数”，特别是利用“[fx±f-x]”构造奇函数或偶函数都有相应的练习题，这些题解法多样，不同的解法体现了对奇函数和偶函数定义不同层次的理解. 例如，在定义域区间对称的前提下，通过对定义域内任意 x 成立，可以得到充要条件；也可以通过特殊值获得必要条件，进而验证充分性；也可以根据基本函数的奇偶性，判断由基本函数经过加、减、乘、除等运算后获得函数的奇偶性. 特别地，全国乙卷（理科）第21题的第（2）小题需要将偶函数关于直线[x=0]对称类比得到一般函数曲线关于直线[x=a]对称的性质解决问题，这是对偶函数定义的拓展，体现了对偶函数定义的深度考查.

第二，在问题解决中，提升学生的数学阅读理解、问题转化、抽象概括、逻辑推理、数学运算等关键能力. 高考中对于关键能力的考查，首先是阅读理解能力，即通过审题，要弄清楚已知是什么，所要解决的问题是什么. 对于函数问题，要先清楚所要研究的函数由哪些基本函数通过怎样的运算构成，定义域是什么，有无特殊点或恒过的定点，能否不用求导就可以判断函数的单调性. 如果问题不明确就需要进行转化，直到转化为熟悉的或已经解决的问题为止. 例如，全国乙卷（理科）第21题的第（3）小题，试题选取与对数函数、幂函数相关的初等函数，通过乘积构成所要研究的函数. 通过对函数性质的研究，全面考查了函数的定义域、对称性、单调性，极值的概念，零点的概念、存在性等知识，考查了导数及其应用等基础知识. 第（1）小题面向大部分学生，要求学生能正确应用导数公式和求导法则进行导数运算，利用函数值和导数值求出切线方程. 第（2）小题通过设置探究与第（1）小题关联的函数曲线是否具有轴对称性质的背景，重点考查了学生利用轴对称图形性质建立等量关系确定参数值并进行验证的逻辑推理能力和运算能力，对学生的思维品质有较高的要求. 第（3）小题则多角度考查了利用导数研究函数性质的方法，以及对函数极值概念的本质理解，为学生的发挥提供了广阔的空间，对学生运用所学知识寻找合理的解题途径及推理论证能力提出了较高要求. 试题紧扣《标准》，考查学生的逻辑推理、数学运算、分类讨论等能力，具有较高的选拔功能.

第三，通过创新题型和设问形式，在复杂情境和综合问题的解决中提升学生的探究能力、应用能力、创新能力，优化学生的思维品质及思维的灵活性、严谨性和深刻性，全面考查学生的数学核心素养.

三、复习教学建议

第一，回归教材，注重对核心概念的本质理解，建构和健全知识体系，熟练技能，掌握通法，不断夯实和深化“四基”.

通过命题分析可以看出，大多数高考试题源于教材，注重在运用知识解决问题的过程中考查学生对知识的本质理解. 因此，复习中要将必备知识的理解、构建知识之间的联系、落实“四基”放在首位. 回归教材不是对教材内容和习题的简单重复，而是对概念本质的再认识，对知识形成过程中隐含的数学思想方法的感悟，对解决一类问题的通性通法的真正掌握. 例如，对于如何研究一个新函数，人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册一直强调“构建函数的研究框架”，如在第92页的阅读材料“探究函数[y=][x+1x]的图象和性质”中用三个问题引导构建框架：你认为可以从哪些方面研究这个函数？你认为可以按照怎样的路径研究这个函数？按照你构建的路径研究你想到的问题. 因此，回归教材，要注重对核心概念的本质理解，建构和健全知识体系，不断夯实和深化“四基”是复习教学的根基.

第二，将数学阅读与信息获取、问题的转化与化归、数学思想方法的落实贯穿教学过程的始终，在问题解决中强化学生的逻辑推理能力，扎实学生的数学运算，进而不断提升学生的“四能”.

要以解题教学为抓手，高质量上好解题教学课，从例题选择、学生参与、教师指导等多方面入手，引导学生深刻体会如何审题，如何找到解决问题的路径，如何在明晰运算对象的基础上选择合理的运算路径，从而准确、快捷地求得结果，并对结果进行验证等. 在复习教学过程中，要以问题解决为抓手，强化学生的问题转化能力，有意识地培养学生的逻辑推理、运算求解、数学建模等关键能力.

第三，在复习教学的一开始，教师应该有意识、有计划地逐步加入一些具有复杂、综合、创新、开放情境的问题. 例如，结构不良问题、多选题、探究性问题、实际应用问题、渗透数学文化的试题等. 另外，在确定所要研究的新函数时，应该创新思路，利用基本函数通过运算巧妙构建新函数，在问题解决中逐步提升学生分析问题和解决问题的能力，不断提升学生的数学核心素养水平，优化学生的思维品质.

参考文献：

［1］中華人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］教育部考试中心. 中国高考评价体系［M］.  北京：人民教育出版社，2019.

［4］教育部考试中心. 中国高考评价体系说明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［5］任子朝，赵轩. 基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径［J］. 中国考试，2019（12）：27-32.

［6］向立政，周远方，张云辉. 深度考查关键能力  充分发挥育人功能：2022年高考数学试题命题特点及复习教学建议［J］. 中国数学教育（高中版），2022（9）：3-13.

［7］俞平. 数学关键能力测验试题编制：理论与方法［J］. 数学通报，2019，58（12）：1-7.

作者简介：杨林军（1964— ），男，正高级教师，主要从事中学数学教育教学研究；

韩静波（1984— ），男，高级教师，主要从事中学数学教学研究；

周当侠（1965— ），女，高级教师，主要从事中学数学教学研究.