巧设情境蕴含多元视角 重视基础倡导数学探究

薛红霞　谢永清

摘  要：分析2023年高考立体几何试题的内容特点，探析其命题意图：引导数学探究活动的开展；注重对作图能力和空间几何体中基本元素关系的研究；提供多角度思考问题的情境，在综合情境中考查学生分析问题的能力. 归纳命题导向，即注重立体几何学习的基本功和研究方法的多样性. 在此基础上给出2024年立体几何专题内容的复习备考建议．

关键词：立体几何；命题分析；直观想象；数学探究

2023年高考立体几何试题依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）的要求命制，突出对立体几何部分基础知识的考查，延续原有命题风格且适当创新. 部分试题从不同视角切入可以产生不同的解法，在关注学生个体差异性的同时，引导教学注重培养学生思维的灵活性和批判性；部分试题凸显立体几何学习的基本方法，突出“理念作图”，侧重对学生直观想象素养的考查；部分试题的情境来源于数学探究活动，充分考查学生分析问题和解决问题的能力. 本文结合具体试题，对2023年高考立体几何试题的立意展开深入剖析，力求揭示其对教学的引导作用．

一、考查内容分析

2023年各份高考数学试卷中，立体几何试题的数量相对均衡. 其中，北京卷、上海卷和天津卷中各包含1道客观题，全国乙卷（理科）中包含3道客观题，其他试卷中均包含2道客观题；各份试卷中均包含1道立体几何解答题. 客观题部分，全国乙卷（文、理科）中各有1道试题处于同类题型第3题的位置，其他试题排在同类题型比较靠后的位置；解答题部分，除全国新高考Ⅱ卷中位于第20题的位置外，均排在前3题的位置. 由此可知，2023年高考立体几何试题难度跨度较大，且客观题以中档题和难题为主，解答题以容易题和中档题为主.

2023年高考立体几何试题均以柱体、锥体、台体和球体为情境，以表面积、体积、角、线段长等及其相关元素的计算求解为目标，覆盖对空间几何体的结构与度量，以及空间中点、直线、平面的位置关系等核心知识的考查，研究方法上兼容综合法和向量法．命题形式和考查内容都是学生比较熟悉的，但是深挖命题背景，会发现部分试题体现了数学探究的过程，这是创新点所在. 相较于2022年高考立体几何试题，没有出现判断位置关系的客观题和开放性试题．

二、命题特点分析

1. 命题意图分析

（1）傳承中有所创新，注重立体几何的研究方法.

对空间几何体结构与度量的考查常以几何体的切截为载体，2023年高考在保持以往考查特点的基础上有所创新.

① 创新情境，一般观念指引下的数学探究活动是源泉.

例1 （全国新高考Ⅰ卷·12）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ）.

（A）直径为0.99 m的球体

（B）所有棱长均为1.4 m的四面体

（C）底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体

（D）底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体

考查目标：此题考查正方体、球体、正四面体、圆柱体的结构特征，以及基本元素的度量. 突出考查综合情境下学生分析问题的能力和空间想象能力．

命题意图：此题考查学生对空间几何问题的分析与转化能力，考查学生思维的灵活性. 试题情境新颖，且与生活联系密切. 要求学生抓住确定几何体的基本元素，如球体的球心和半径、正四面体的棱长、圆柱的高和底面圆的半径等，将问题转化为探求相关基本元素与正方体的中心、棱长、面对角线、体对角线的长度之间的关系，进而求解. 如果学生的思维停留在几何体整体上，解题思路就会受阻．

如图1，因为棱长为1 m的正方体中存在棱长为[2]m的正四面体，故选项B正确. 如图2，在与体对角线垂直的所有截面中，最大截面为正六边形，其内切圆直径为[62>1.2]，故能够放入一个底面直径为1.2 m的非常薄的圆柱. 那么，这个圆柱的高能否达到0.01 m呢？如图3，通过三角形相似可以计算出允许放入的圆柱高的最大值为[3-1.2×2>]

命题评价：此题突出考查研究立体几何的一般观念，即研究其基本组成元素. 对于选项A，要研究球体能否整体放入正方体中，当球心与正方体的中心重合时，只需要考查球的直径与正方体的棱长之间的大小关系即可. 其他三个选项的求解思路与此类似，只要抓住几何体的基本元素即可．

对于选项C和选项D，可以统一为探究“正方体中与体对角线垂直的截面的内切圆面积”. 选择恰当的自变量，即图3中的AJ = x，建立内切圆半径r与它的函数关系r =[22]x[0

将此题一般化，即为《标准》中的“案例11 正方体截面的探究”. 与之相关的试题还有2018年全国Ⅰ卷（理科）第12题，2022年全国乙卷（理科）第9题. 各版本教材中与正方体有关的例题和习题都很多，如人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册第35页的第2题和第3题等．

② 理念作图，直观想象素养展风采.

例2 （全国甲卷·理15）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点．以EF为直径的球的球面与该正方体的棱公共点的个数为_______．

考查目标：试题考查正方体和球体的结构特征，以及基本元素的度量；考查学生分析问题的能力和空间想象能力．

命题意图：此题考查学生对立体几何基本技能的掌握情况及相应的空间想象能力. 求解此题，首先要按要求画出正方体，并找到球心O和直径EF，如图4所示. 依据正方体和球的对称性分析、想象与作图，可以将正方体与球的切截问题转化为平面内圆与正方形的切截问题，如图5所示. 只要计算出圆的直径与正方形对角线长即可. 计算求得OM = OE，所以球O与棱BB1相切. 故根据正方体和球的对称性，可知交点总数为12.

此题考查学生通过空间想象把握问题的本质及通过代数计算解决问题的意识和能力. 能有效考查学生的思维能力，以及对基本几何体结构特征的整体把握和灵活应用情况．

命题评价：此题情境是学生熟悉的，设问清晰明了，关键就在于分析转化. 一方面，要将立体几何问题转化为平面几何问题；另一方面，要将位置关系问题转化为基本组成元素的大小关系问题. 体现了空间想象和代数论证之间相辅相成的关系，全国甲卷（文科）第16题虽然与此题的命制情境和载体有所差异，但是考查的本质是相同的，体现了研究方法的一致性. 类似的试题还有2012年上海卷（理科）第14题、2022年北京卷第9题等. 特别是2020年全国新高考Ⅰ卷第16题，是对“理念作图”的挑战，其求解过程体现了掌握研究方法的重要性．

③ 注重基础，寻找元素间稳定的基本关系是突破口.

例3 （全国乙卷·文16）已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA的值为________．

考查目标：此题考查球和三棱锥的结构特征，以及基本元素的度量；考查学生从复杂图形中抽取基本元素位置关系的分析问题的能力和直观想象素养．

命题意圖：此题能够对学生基于作图和想象转化问题的能力进行有效考查. 试题的考查载体是球及其内接三棱锥，求解的关键是找到基本元素（球心、球半径及截面圆的圆心和半径）间的位置关系，并基于位置关系确定数量关系，进而将空间问题转化为平面问题求解．

命题评价：此题的命制情境是学生熟悉的几何体切截问题，求解过程中用到的位置关系和数量关系都是学生熟悉的，只要根据题意准确作图即可顺利求解，体现了基础性．

2023年高考中定位于考查基础的立体几何试题还包括：全国乙卷（理科）第8题、全国新高考Ⅱ卷第9题，考查圆锥中基本元素之间的关系及相关的线面位置关系问题；全国新高考Ⅰ卷第14题、全国新高考Ⅱ卷第14题，考查棱台的体积，可以根据定义还原为棱锥求解，也可以直接利用棱台的性质求解；天津卷第8题考查了棱锥体积的基本计算方法；全国乙卷（文 / 理科）第3题以三视图为背景给出几何体，求表面积. 与球有关的切截问题在历年高考中也时常出现，如2013年全国Ⅰ卷（文 / 理科）第10题、2020年全国Ⅱ卷文科第16题和理科第15题、2022年全国新高考Ⅱ卷第7题. 这些试题虽然形式各异，但本质上都是对空间几何体中基本元素之间位置关系和数量关系的考查，且在各版本教材的例题和习题中都有所体现. 由此可见，这类试题旨在引导教师在教学中注重对基础知识的强化.

（2）多角度切入，体现研究方法的多样性.

例4 （全国新高考Ⅱ卷·20）如图6，三棱锥[A-BCD]中，[DA=DB=DC]，[BD⊥CD]，[∠ADB=][∠ADC=60°]，E为[BC]的中点．

（1）证明：[BC⊥DA]；

（2）点[F]满足[EF=DA]，求二面角[D-AB-F]的正弦值．

考查目标：此题考查线面位置关系的判定和二面角的求解；考查学生的观察能力、思维能力，以及直观想象和逻辑推理素养．

命题意图：此题依托三棱锥考查线面位置关系，不同思维特点的学生可以有不同的解题切入点．

第（1）小题，依据线面垂直的性质，可以将问题转化为证明BC⊥平面ADE；或取AD的中点G，将问题转化为证明AD⊥平面BCG；如果借助向量法，选择基底[DA， DB， DC，] 表示出向量[BC]，[DA]，计算其数量积即可；如果利用坐标法，可以建立如图7所示的空间直角坐标系，进而利用几何关系求出向量[BC]，[DA]的坐标，计算数量积即可．

第（2）小题同样有多种解法. 可以延续第（1）小题的坐标法，求出点F的坐标，将二面角问题转化为向量夹角问题；可以建立不同的空间直角坐标系求解，如将坐标原点移至点D；可以依据二面角的定义求解，取AB的中点N（如图8），证得DN⊥AB，AF⊥AB，进而将二面角问题转化为向量[ND]，[AF]的夹角问题；可以过点N作AF的平行线，确定二面角的平面角，进而求解；可以将所给三棱锥补形为六面体求解，如图9所示.

不同方法对应的解题难易程度不同，能够对学生的逻辑思维能力和运算求解能力进行有效考查，具有较好的区分度．

命题评价：此题内涵非常丰富，涵盖了立体几何研究的两大类方法，即综合法和向量法，这是《标准》的要求，也是教材中给出的立体几何问题的研究路径.

2023年全国甲卷（文科）第10题虽然设问与此题不同，但求解用到的方法与之完全相同. 同类试题还有全国甲卷（文 / 理科）第18题、全国乙卷（文 / 理科）第19题、全国新高考Ⅰ卷第18题、上海卷第17题、天津卷第17题. 教材中也有很多类似的题目，如与第（1）小题类似的有人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“人教A版教材”）必修第二册第152页第3题、第163页第5题等. 与第（2）小题类似的有人教A版教材选择性必修第一册第37页例8等．

由对上述例题的分析，我们可以看出2023年高考立体几何试题呈现出了同类问题研究方法的多样性，同时体现了对于不同立体几何试题分析基本图形方法的一致性．

（3）综合性问题，直观想象与代数计算并重.

例5 （全国甲卷·理11）已知四棱锥[P-ABCD]的底面是边长为4的正方形，[PC=PD=3，∠PCA=][45°]，则[△PBC]的面积为（    ）.

（A）[22] （B）[32]

（C）[42] （D）[62]

考查目标：此题考查四棱锥中基本元素间的位置关系和数量关系；考查学生综合应用余弦定理求解问题的能力及基于合情推理分析问题的能力和数学运算技能．

命题意图：此题要求△PBC的面积. 如图10，根据已知条件，分析该四棱锥的结构特征，因为PC =PD，所以PA = PB. 而在△PAC中，已知两边及其夹角，于是可得PA2 = AC2 + PC2 - 2AC·PCcos∠PCA = 17. 所以PA =[PB=17]. 于是得解. 此题是一道综合性问题，借助四棱锥考查学生分析、求解三角形问题的能力．

命题评价：此题求解的关键在于对目标“△PBC的面积”的分析与转化. 转化过程中充分展现了学生对该四棱锥对称性的掌握情况. 该四棱锥虽然不是正四棱锥，但顶点所在位置具有特殊性——在底边CD的中垂面上，这是此题求解的突破口．

2023年高考试题中同类题还有全国乙卷（理科）第9题和第19题. 立体几何与代数、函数、解析几何的综合是一种常见的命题方式. 这些试题虽然考查的是计算问题，但是对于立体图形结构的充分了解才是求解的关键. 因此，此类试题充分体现了空间想象和代数计算能力的相互作用对求解立体几何综合问题的重要性．

2. 命题导向分析

基于以上分析，结合往年高考立体几何试题的特点，可以看出高考立体几何试题的命制具有以下导向．

（1）突出对作图基本功的考查.

求解立体几何试题，作图是基本功. 无论在纸上作图，還是在头脑中构图，都是空间想象之下的作图，也是基于理性思维的作图. 作图是立体几何试题研究方法的体现，一方面，要抓住关键元素作图；另一方面，要注重从复杂的图形中抽取出简单图形进行分析，进而将复杂问题转化为简单问题，将空间问题转化为平面问题，降低问题求解的难度．

推理能力是求解立体几何问题的重要保证，其中包括合情推理和逻辑推理. 合情推理用于寻找解题思路，逻辑推理则直接体现在规范表达中．

（2）全面考查立体几何问题的研究方法.

高中数学必修部分的立体几何内容主要包括对空间几何体结构特征的研究及对基本元素的度量，在选择性必修部分主要涉及利用向量研究空间几何体基本元素间的位置关系及相关角和距离的计算. 2023年高考立体几何试题均以基本几何体为载体命制，涉及对面积、体积、线段长、线面角、二面角等的计算和空间中有关元素位置关系的证明，全面考查了直观想象和代数运算并举的立体几何问题的研究方法，部分试题既可以使用定义法求解，又可以使用向量法求解，对学生的思维能力进行了有效考查.

综合应用已有知识，通过有效手段降维，将空间问题转化为平面问题，是求解立体几何问题的重要策略，也是自然之举. 借助基本模型分析问题是求解立体几何问题的重要方法．

三、复习教学建议

1. 加强作图训练，有效培养直观想象素养

立体几何学习的根本及相关试题破解的关键都在于对图形性质的把握和理解. 因此，在教学中要加强对学生作图基本技能的训练. 从实物到纸上作图是基础，更重要的是基于空间想象和理性思维的作图．

2. 开展数学探究活动，彻底破解一类问题

《标准》指出，教师可以指导并帮助学生选择一些立体几何问题作为数学探究活动的课题. 数学探究活动常态化，才能有助于培养学生数学探究的思维. 为此，要在教学过程中进行有关研究和设计. 例如，围绕球与其他几何体的切截问题进行探究，可以不断变换球的内接几何体模型，从正四面体到有特殊性的四面体再到任意四面体，从三棱锥到四棱锥，从棱锥到棱柱再到棱台，研究变化中的不变元素及位置关系. 对于中心重合的正方体与球体的位置关系问题，类比圆与正方形，可以分为如图11所示的7种情况. 其中，球的半径为r，正方体的棱长为2m、面对角线长为2n、体对角线长为2l. 再如，对于空间中点、直线和平面位置关系的研究，可以以直线与平面平行关系的研究为示范，对其他元素间位置关系的探究则可以类比其研究路径展开. 无论是对概念和定理的学习，还是对某类问题求解路径的探究，都可以采取数学探究活动的方式进行.

3. 想象、推理与计算结合，提升学生解决问题的综合素养

立体几何问题的求解始于空间想象和合情推理，终于逻辑推理和准确计算. 遇到问题，首先要探寻求解思路，寻找思路时要引导学生多角度思考，以寻求最简便的解决路径. 教学中，还要注重多媒体技术的应用，借助多媒体技术培养学生的直观想象素养．

在呈现探索结果时，要做到严谨、准确. 严谨表现了对研究对象的全面认知和对规则的准确应用. 虽然立体几何试题的计算量远低于解析几何试题和函数试题，但是依然不能轻视．

4. 用好高考试题，在实践中落实“四基”、发展“四能”

2023年高考立体几何试题在教材和历年高考试卷中都可以找到同类题，但是学生的作答情况仍然不理想. 对此，教师在复习教学过程中要基于一般观念带领学生对历年高考试题进行归类研究，引导学生把握问题的本质，培养学生思维的深刻性. 同时注重对教材中有关例题和习题的应用与拓展，切实做好落实“四基”、发展“四能”的复习备考工作．

参考文献：

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［2］章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］. 上海：华东师范大学出版社，2021.

［3］赵轩，任子朝，翟嘉祺．高考数学科情境化试题设计研究［J］. 数学通报，2021，60（12）：1-3，66.

［4］张永刚．“兴趣”引领 “项目”实施：“正方体截面的探究”教学设计与反思［J］. 中国数学教育（高中版），2021（3）：45-52.

［5］蓝云波，张荣华. 数学高考经典：立体几何［M］. 北京：中国科学技术大学出版社，2023.

［6］刘莉，闫旭. 立足基础·聚焦素养·突出能力：2022年高考“立体几何”专题命题分析［J］. 中国数学教育（高中版），2022（9）：58-64.

作者简介：薛红霞（1970— ），女，中小学高级教师，山西省特级教师，主要从事中学数学教育和课堂教学改革研究；

谢永清（1969— ），男，中小学正高级教师，主要从事中学数学教育和课堂教学改革研究．