如何解答数列问题

姬学琴

数列是高中数学中的重要内容.常见的数列问题有求数列的某一项、求数列的通项公式、求数列的前 n 项和、与数列有关的应用问题、求参数的取值范围.求解数列问题，需灵活运用等差和等比数列的通项公式、定义、性质、前 n 项和公式.下面结合实例，谈一谈下列三类数列问题的解法.

一、求数列的某一项

求数列的某一项问题的难度一般不大.解答此类问题，通常需先明确该项对应的 n 的取值；然后将 n 的值代入数列的通项公式或递推式中，即可求得该项的值.

我们仔细观察数列的递推式，可发现该数列具有周期性，于是令 n =1、2、3、4、5，并将其代入递推式中，即可求出数列各项的值.由数列的递推式求数列的项，需明确数列中 an + 1 、an、an - 1 之间的关系，然后对 n 进行赋值，建立关系式即可解题.

二、数列求和问题

数列求和问题通常要求根据已知的递推式或关系式求数列前 n 项的和.解答数列求和问题常用的方法有：观察法、累加法、累乘法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等.在解题时，往往要先仔细研究数列的通项公式，将其进行裂项、拆分、放缩；然后将数列的和式乘以公比，或将和式中各项的顺序倒过来，从而求得数列的和.

仔细研究数列{bn} 的通项公式，可发现该式中的 n + 1视为等差数列的通项公式，2n + 1 可视为等比数列的通项公式，于是在数列和式的左右同时乘以公比 1 2 ，并将其与原和式错位相减，即可运用错位相减法求得数列的前 n 项和.

在解答本题时，我们需先将数列的通项公式裂项，得出 bn = 1 2n - 1 - 1 2n + 1 - 1 ；然后将数列的各项相加，通过裂项相消法求得数列 {bn} 的和，从而求得数列 {cn} 的通项公式；再根据数列 {cn} 的单调性求得 k 的取值范围.

三、与数列相关的应用问题

与数列相关的应用问题侧重于考查同学们综合运用数列知识解决问题的能力.解答这类问题，要先仔细审题，将自然数变量用 n 表示，建立关于 n 的关系式，并将其视为数列的通项公式或前 n 项和式；然后利用等差和等比数列的通项公式、性质、定义、前 n 项和公式进行求解.

将牧场从2022年起每年年初的计劃存栏数视为数列，求得数列 {cn - 500} 的首项、公比，即可根据等比数列的通项公式求得数列 {cn - 500} 的通项公式，得到问题的答案.

数列问题的命题形式较多，其解法各不相同.同学们在解题时，不仅要灵活运用等差和等比数列的通项公式、性质、定义、前 n 项和公式，还要学会运用转化思想、函数思想、分类讨论思想来辅助解题.