解答直线与圆的位置关系问题的三种方法

刘艳林

直线与圆的位置关系主要有三种：相切、相交、相离.判断直线与圆的位置关系问题的常见命题形式有：（1）根据直线与圆的方程判断二者的位置关系；（2）根据直线与圆的位置关系求参数的值或取值范围.解题的关键在于明确直线与圆的位置关系，建立代数或几何关系.下面主要谈一谈解答直线与圆的位置关系问题的三种方法.

一、几何法

运用几何法求解直线与圆的位置关系问题，需先根据圆的方程确定圆心、半径；然后根据点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，或根据圆的半径、弦心距、弦长之间的关系，利用勾股定理求得圆心到直线的距离；再判断圆心到直线距离 d 与半径 r 的大小关系.一般地，①当 r >d 时，直线与圆相交；②当 r =d 时，直线与圆相切；③当 r

例1.直线 l：y =kx+1（k <0）与圆 C： x2+4x +y2-2y +3=0相切，则直线 l 与圆 D：（x -2）2+y2=3的位置关系是（）.

A.相交 B.相切

C.相离 D.不确定

解：

由于直线 l：y =kx+1（k <0）与圆 C：x2+4x +y2-2y +3=0相切，所以可以直接根据圆心到直线的距离等于半径，来建立关系，求得 k 的值，即可求得直线 l 的方程.根据点到直线的距离公式，求得圆 D：（x -2）2+y2=3的圆心到直线 l 的距离，比较该距离与圆 D 的半径之间的大小，即可判断出直线 l 与圆 D 的位置关系.

例2.

解：

要使直线与圆恒有公共点，需使直线与圆相交或相切，那么圆心到直线的距离需小于或等于半径，即 d ≤ r .根据点到直线的距离公式建立不等关系式，即可求得参数 m 的取值范围.

例3.已知圆 M：x + cos θ2+y - sin θ2=1，直线 l：y =kx .下面四个命题：

（1）对任意实数 k 与θ ， 直线 l 和圆 M 相切；

（2）对任意实数 k 与θ ， 直线 l 和圆 M 有公共点；

（3）对任意实数θ ， 必存在实数 k ，使得直线 l 和圆 M 相切;

（4）对任意实数 k ，必存在实数θ ， 使得直线 l 和圆 M 相切.

其中说法正确的有  .

解：

本題主要考查直线与圆的位置关系.经分析可知，四个命题均和直线与圆的位置关系相关.于是先确定圆心、半径、圆心到直线的距离.为了判断出dM - l 与半径1之间的大小关系，将 d2 M - l 与1作差，通过三角恒等变换，根据正余弦函数的有界性比较出 d2 M - l 与1的大小，从而断定出直线 l 和圆 M 有公共点，但不一定相切，进而判断出（1）（2）的正确性.然后根据直线与圆相切，建立关系式 d2 M - l = 1 ，并确定当 d2 M - l = 1 时是否存在满足题意的 k、θ ，进而判断出（3）（4）的正确性.

二、代数法

一般地，若直线与圆有 2 个交点，则直线与圆相交；若直线与圆只有1个交点，则直线与圆相切；若直线与圆没有交点，则直线与圆相离.将直线与圆的方程联立，消去 x 或 y ，即可构建出一元二次方程，根据方程的判别式可以确定直线与圆的交点的个数，即：①若 Δ > 0 ，则方程有2个解，此时直线与圆相交；②若 Δ = 0 ，则方程有1个解，此时直线与圆相切；③若 Δ < 0 ，则方程组无解，此时直线与圆相离.

例4

解：

我们将直线与圆的方程联立，消去 x ，构建关于 y 的一元二次方程，求出判别式Δ<0，即可判定直线 l 与圆 C 有2个公共点，就能顺利判断出直线与圆的位置关系.

三、根据点与圆的位置关系进行判断

若直线恒过定点且定点在圆内，则可断定直线与圆相交；若直线恒过的定点在圆上，则可断定直线与圆相切或相交.该方法的适用范围较窄，一般只适用于求解动直线与圆的问题.

例5.直线（a +1）x +（a -1）y +2a =0（a ∈ R）与圆 x2+ y2-2x +2y -7=0的位置关系是（ ）.

A.相切 B.相交

C.相离 D.随 a 的变化而变化

解：

将直线的方程变形为关于 a 的一元一次方程，分别令 x - y =0，x +y +2=0，那么方程对任意 a 都成立，即直线（a +1）x +（a -1）y +2a =0（a ∈ R）恒过定点（-1， -1）.而（-1，-1）在圆内，那么就可以确定直线与圆相交.

总之，若已知直线与圆的方程，或易求得圆心到直线的距离，则用几何法解题；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法求解.相比较而言，第一、三种方法较为简单，运用第二种方法解题的运算量较大.一般地，尽量用几何法，而不用代数法