联想公差(或公比)巧解数学问题

李居强 李 琪

(陕西省宝鸡市教育教学研究室)

在高三复习过程中,经常会碰到一些较难的综合问题,比如函数求值、证明条件不等式、求参数取值范围、解无理方程等.有时已知条件与要解决目标之间的关系较为隐蔽,让我们束手无策.若能转变思路,另辟蹊径,或许就能“柳暗花明”.本文介绍联想公差(或公比)巧解难题,也就是若题目的已知条件中隐含着等差(或等比)数列的条件(比如两数和(或积)为常数),直接解决该题比较困难时,就应及时联想公差(或公比),从而改变问题的结构,使得解题过程简捷、新颖.

联想1 若x＋y＝k(常数),则成等差数列.

联想2 若x•y＝k(k＞0且为常数),则x,k(或－k),y成等比数列.

若已知条件能构造以上形式,则用公差d(或公比q)就可以表示x,y,从而使问题迎刃而解,本文举例说明.

1 解函数问题

在解函数求值问题时,若已知和(或积)为常数,我们就可以按照前面的联想,利用等差(或等比)数列解决问题.

2 证明不等式

在证明不等式时,有些已知条件针对所要证明的结论而言,切入点比较难找,学生往往在此处花费了大量的时间和精力,有时找到的方法还是一个“死胡同”.但若题目已知中有和(或积)为常数的条件,并能及时联想到等差(或等比)数列,问题就简单得多了.

例4 已知a,b∈R∗,a＋b＝1.求证:

这道题也有很多解法,但大部分解法思路比较繁杂,学生不易掌握,而通过构造公差法可以降低难度.

由于a＋b＝1,设,其中d为公差,则

例5 已知a＋b＝2k(k为常数),求证:a4＋b4≥2k4.

证明 根据题设a＋b＝2k,可知a,k,b成等差数列.故令a＝k－d,b＝k＋d,其中d为公差,则

3 求取值范围

对于有些求参数取值范围的问题,如果条件中有和(或积)为常数的条件,那么及时构造公差(或公比)解题,往往会起到化难为易、化繁为简的效果.

例6 已知a＞0,b＞0,且a＋b＝1,若a2＋b2≥k恒成立,求k的最大值.

此题可以用均值不等式解决,也可以通过数形结合利用几何意义解决,但联想到等差数列中的公差,可以降低思维难度.

4 解无理方程

解含两个及以上根式的无理方程,过程一般比较烦琐,但如果无理方程是根式之和(或之积)为常数的形式,可联想等差数列(或等比数列)解题.

该无理方程涉及二次根式和三次根式,直接利用乘方的办法特别繁冗,若把无理方程通过整体思想看成两项和为1,联想等差数列来解决,思维难度、计算难度都会明显降低.

本文从三个方面说明了联想公差(或公比)巧解数学问题可以降低问题难度,笔者认为,教会学生通过联想解决数学问题的思维方式比解决这几道题更值得反思总结.希望通过本文的启发,能抛砖引玉,拓宽学生联想、转化的数学思维方法.

链接练习

1.(2020年新高考Ⅰ卷11,多选题)已知a＞0,b＞0,且a＋b＝1,则( ).

2.(2017年北京卷文11)已知x≥0,y≥0,且x＋y＝1,则x2＋y2的取值范围是_________.

3.(2019 年 天 津 卷13)设x＞0,y＞0,x＋2y＝4,则的最小值为_________.

4.已知,则sinθ－cosθ的值为_________.

5.解方程:x2＋8x＋21＋x2－8x＋21＝10.

链接练习参考答案

(完)