一元二次函数、方程和不等式问题的易错点探究

阎慧敏

(山东省淄博市周村区实验中学)

一元二次函数、方程和不等式是数学中常见的基础知识,在解决实际问题和数学推理中起着重要的作用.然而,由于其复杂性和一些特殊情况的存在,求解问题时容易出现错误.常见的易错点包括忽略基本条件、忽略系数符号、忽略隐含条件以及忽略取值范围等问题.因此,深入探究这些易错点,找出其发生的原因,并加以规避和纠正,对于学生正确理解和灵活应用一元二次函数、方程和不等式具有重要的指导意义.

1 忽略基本条件

例1 若x＜0,则( ).

A.有最小值,且最小值为2

B.有最大值,且最大值为2

C.有最小值,且最小值为－2

D.有最大值,且最大值为－2

在使用基本不等式时,要牢记“一正、二定、三相等”的基本条件,本题常见的错解为忽视基本不等式“一正”的使用条件,即

2 忽略系数符号

例2 解不等式ax2－(a＋1)x＋1＞0.

由题意得(ax－1)(x－1)＞0.当a＝0时,－(x－1)＞0,解得x＜1,即不等式的解集为{x|x＜1}.

当a＜0时,解不等式得,故不等式的解集为

在本题中,a＜0,在化简－6ax2－ax＋a＜0时,很容易直接将a约去,而忽略了“变号”的问题,从而出现失误.

3 忽略隐含条件

该题考查隐含条件a＜0,且b＝－a,则b＞0,在解得当时,等号成立后,可判断b的取值满足条件.该题的设定比较简单,并未出现较大的陷阱,即使在解题过程中未能解得等号成立的条件,也能判断该题正确,但结合例5来看,忽略隐含条件可能会造成严重的错误.

例5 已知ax2＋bx＋c＞0的解集是(－2,3),判断:若有解,则m的取值范围是m＜－1或m＞2.

4 忽略取值范围

例6 已知关于x的不等式ax2＋ax＋2＞0的解集为R,记实数a的所有取值构成的集合为M.

(1)求M;

(2)若t＞0,对任意的a∈M,有t2＋3t－2,求t的最小值.

(1)当a＝0 时,不等式显然成立,当a≠0时,要使原式恒成立,只需即可,解得0＜a＜8,故M＝{a|0≤a＜8}.

本题第(1)问较为简单,对于第(2)问,在求解出t的取值范围后,需要根据题干要求“t＞0”将另一侧的解集舍去,忽略取值范围是解二次函数问题常见的错误类型,需特别注意.

例7 已知二次函数f(x)＝2mx2－4x＋1－m.

(2)若m＝1,设函数f(x)在x∈[t,t＋1]上的最小值为h(t),求h(t)的表达式.

本题第(1)问中容易忽略“二次函数”这个条件,需要明确m≠0,如果忽略对该取值范围的讨论,由2m＝0,得m＝0,此时f(x)＝－4x＋1,A＝R,故[0,＋∞)⊆A成立,则“画蛇添足”.在第(2)问中,可将原式化简,在对给定区间上函数的最值进行讨论时,应该对t进行分类讨论,以免漏解.

(完)