巧方法证明，妙函数应用

燕海军

摘 要： 函数与导数的综合应用问题是高考中一个重要的解答题类型.结合一道高考真题的分析，从不同视角切入，利用函数与导数思维来证明对应的不等式成立，归纳解题技巧与策略，指导数学教学与学习.

关键词： 函数；导数；不等式；最值

涉及函数的不等式恒成立问题，是函数与导数的综合应用的体现，是高中数学此类模拟知识的重要内容之一，也是历年高考中的一大热点之一.常常需要利用导数法来转化，结合函数的单调性、极值与最值等来处理，能够很好地考查学生的数学基本知识，数学基本思想方法和数学基本能力，以及数学学科的核心素养，倍受各方关注.

1 真题呈现

【高考真题】   （2023年高考数学新课标Ⅰ卷·19） 已知函数f（x）=a（ e x+a）-x.

（1） 讨论f（x）的单调性；

（2） 证明：当a＞0时，f（x）＞2 ln  a+ 3 2 .

2 真题剖析

函数与导数的综合应用问题，是历年高考试卷中解答题不变的考点之一，形式多样，变化多端，创新新颖.

而在2023年高考数学新课标Ⅰ卷中，函数与导数的综合应用问题放在解答题第三个的位置上，难度在一定程度上有所降低，属于中等难度程度，也是近几个新高考数学试卷中此类问题位置变化最明显的一次，也是位置最靠前的一次.

这样回避了前几年新高考数学试卷中此类问题位于解答题的最后两题的位置，在一定程度上也给以后的数学教学与学习提供一个明确的方向.导数作为研究函数及其应用问题的一种重要工具，重在基础，重在根本，重在导数应用的本质属性，而不在于繁杂的逻辑推理与复杂的数学运算.

因而，把握函数与导数的综合应用问题的根本技巧策略是解决此类问题的关键，也是数学教学与学习中的重点所在.

3 真题破解

解析：  （1） 依题知函数f（x）的定义域为 R ，且f ′（x）=a e x-1，

当a≤0时，f ′（x）＜0，故函数f（x）在 R 上单调递减；

当a＞0时，由f ′（x）=a e x-1=0，解得x=- ln  a，

則当x∈（-∞，- ln  a）时，f ′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（- ln  a，+∞）时，f ′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

综上分析，当a≤0时，函数f（x）在 R 上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在（-∞，- ln  a）上单调递减，在（- ln  a，+∞）上单调递增.

解后反思：  根据函数的求导处理，利用导函数的正负取值情况来判断函数的单调性，是解决问题的基本思维方法.要注意的是，涉及函数含参，必须对参数的取值情况进行合理的分类讨论，这也方便对导函数的正负取值情况的判断.分类讨论时，要注意不重复不遗漏，全面细致.

（2）   方法1  （函数最值法）

由（1）知，当a＞0时，f（x）  min =f（- ln  a）=a（e- ln  a+a）+ ln  a=1+a2+ ln  a，

令函数g（a）=1+a2+ ln  a- 2 ln  a+ 3 2  =a2- ln  a- 1 2 ，a＞0，

则有g′（a）=2a- 1 a = 2a2-1 a ，由g′（a）=0，解得a=  2  2 ，

则当x∈ 0，  2  2  时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减；当x∈   2  2 ，+∞ 时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，

所以g（a）≥g   2  2  =   2  2  2- ln    2  2 - 1 2 =- ln    2  2 ＝ ln   2 ＞0，所以f（x）＞2 ln  a+ 3 2 ，证毕.

解后反思：  延续第一小问的结果，直接利用函数f（x）的单调性来确定其最小值问题，通过作差比较法构建新的函数，进一步通过求导与运算，结合函数的单调性判断与最值的确定可证明新构建的函数恒为正，进而得以证明对应的不等式.函数最值法比较直接地延续了前面问题中解题思路与结果，解法方法自然，水到渠成.

方法2  （切线放缩法）

当a＞0时，利用重要的切线不等式，可得f（x）=a（ e x+a）-x= e x+ ln  a+a2-x≥x+ ln  a+1+a2-x=a2+ ln  a+1，当且仅当x+ ln  a=0时等号成立，

以下部分同方法1，所以f（x）＞2 ln  a+ 3 2 ，证毕.

解后反思：借助重要的切线不等式 e x≥x+1，对原函数关系式进行放缩处理，确定函数的最小值，并在此基础上同方法1构建新函数，利用导数及其应用来分析与证明.利用重要的切线不等式来放缩处理，在解决指数型、对数型的函数不等式问题中经常用到，熟悉掌握重要的切线不等式是基础，也是破解问题的关键所在.

方法3  （逆推分析法）

由（1）知，当a＞0时，f（x）  min =f（- ln  a）=a（ e - ln  a+a）+ ln  a=1+a2+ ln  a，

要证不等式f（x）＞2 ln  a+ 3 2 成立，只需证1+a2+ ln  a＞2 ln  a+ 3 2 成立，等价于a2- 1 2 ＞ ln  a，

结合重要的切线不等式 ln  a≤a-1，当且仅当a=1时等号成立，

即证不等式a2- 1 2 ＞a-1成立，等价于a2-a+ 1 2 ＞0，

因为a2-a+ 1 2 = a- 1 2  2+ 1 4 ＞0成立，所以f（x）＞2 ln  a+ 3 2 ，证毕.

解后反思：  分析法是推理证明中非常常用的一种基本方法，比较契合思维过程，从结论入手，合理通过等价变形以及相关公式、定理等的应用，逆向思维，反向操作.特别在证明此类不等式成立问题中，也是比较常用的方法.在逆推分析过程中，要保证不等式成立的等价性，并会加以合理变形与转化，以及巧妙的过渡应用.

方法4  （同构法）

当a＞0时，要证不等式f（x）＞2 ln  a+ 3 2 成立，只需证a（ e x+a）-x＞2 ln  a+ 3 2 成立，

等价于 e x+ ln  a-（x+ ln  a+1）+ 1 2 （a2- ln  a2-1）+ 1 2 a2＞0，

借助重要的切线不等式 e x≥x+1，可得 e x+ ln  a-（x+ ln  a+1）≥0，

又由于重要的切线不等式 ln  a≤a-1，可得 1 2 （a2- ln  a2-1）≥0，

而 1 2 a2＞0，故不等式 e x+ ln  a-（x+ ln  a+1）+ 1 2 （a2- ln  a2-1）+ 1 2 a2＞0顯然成立，

所以f（x）＞2 ln  a+ 3 2 ，证毕.

解后反思：  结合所要证明的不等式成立加以分析法处理，并对所要证明的不等式应用同构法，合理分拆并重组，利用重要的切线不等式进行放缩处理，这是同构法的难度与重点所在.同构法的目的是通过结合共同点等结构特征来合理变形与转化，进而方便利用指数型、对数型的重要切线不等式进行综合与应用.

4 教学启示

4.1 方向明确，按部就班

此类涉及函数不等式恒成立的问题，解题思路与方向相对比较明确，关键就是构造与之相吻合、比较恰当的函数，把不等式恒成立问题合理转化，借助导数法对函数的单调性、极值或最值问题进行分析与处理.

在具体证明不等式或解决相关的不等式恒成立问题时，合理按照既定的方向，按部就班，逐步推进，只是处理过程中的函数的构建不同，以及逻辑推理与数学运算量的大小不一而已，基本上都可以突破.

数学教学与学习过程中要注重对考生这方面自信心的养成.

4.2 把握根本，掌握技巧

解决此类函数与导数的综合应用问题时，切入点众多，技巧性和方向性强，思维方法多样，具有一定的综合性与交汇性.

在具体解题过程中，随着问题的深入分析与解决，巧妙形成完整的数学知识体系，清晰数学解题思路，综合应用相应的推理方法，从而提升学生的理解问题、分析问题与解决问题的能力，提升数学能力，拓展数学品质，培养数学核心素养.