例谈高中数学错误资源的有效利用

郦胜翔

摘 要： 本文主要研究学生在高中数学学习过程中常见的一些错误，针对不同错误的研究，提升学生不同的能力，帮助学生顺利优化高中数学素养，对高中知识的掌握更加熟练.

关键词： 高中；数学；错题资源；能力提升

在高中数学教学中，学生经常出现各种错误，事实上学生在知识的建构过程中会有一些认识上的偏差甚至是负迁移，笔者谈谈如何有效地利用这些错误资源进行教学的做法与体会，不到之处请批评指正.

1  有效利用概念错误资源 加深学生对概念的理解

数学概念是反映数学对象的本质属性，数学概念是数学理论体系中十分重要的组成部分.因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础.我们正确的做法是利用一些概念易错题让学生在做中错、错中思、思中醒，体会概念的内涵与外延，从而加深对概念的正确理解.

例1   求过点（0，1）的直线方程，使它与抛物线y2=2x仅有一个交点.

错解：  设所求的过点（0，1）的直线方程为y=kx+1，

由 y=kx+1，

y2=2x， 消去y，得（kx+1）2-2x=0，

整理，得k2x2+（2k-2）x+1=0.

∵直线与抛物线仅有一个交点，

∴Δ=（2k-2）2-4k2=0，解得k= 1 2 .

故所求直线的方程为y= 1 2 x+1.

分析：  此处解法共有三处概念存在理解上的错误：

第一，设所求直线为y=kx+1时，没有考虑k=0与斜率不存在的情形.

第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相交的情况，只考虑相切的情况.原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透彻.

第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零.

正解：  ①  当所求直线的斜率不存在，即直线垂直x轴时，因为过点（0，1），所以直线的方程为x=0；

② 当所求直线的斜率为零时，直线的方程为y=1，此时直线与抛物线y2=2x只有一个交点；

③ 设所求的过点（0，1）的直线为y=kx+1（k≠0），同错解可得直线的方程为y= 1 2 x+1.

综上，满足条件的直线方程为y=1或x=0或y= 1 2 x+1.

通过这道题的训练，可以帮助学生强化直线与抛物线仅有一个交点等概念的深刻理解.

学概念是为了用概念，在用的过程中才能理解概念，有效利用概念错误资源，客观上可以给学生提供对概念由表及里，由浅入深的认识机会.

2  有效利用思维上的错误资源 提升学生的思维能力

思维能力是学生数学能力的重要标志，思维能力的培养是高中数学教与学的主旋律.利用学生思维上所犯的错误，可以透视学生的思维取向，从而发现教学中存在的问题，让学生在思维的犯错中训练思维能力，提高思维品质.

2.1  有效利用思维缺乏深度的错误 培养学生思维的深刻性

例2   已知函数f（x）= （3-a）x+2 （x≤2），

a2x2-9x+11 （x＞2）， 数列{a n}满足a n=f（n）（n∈ N *），若数列{a n}是递增数列，则实数a的取值范围为           .

错解：  由题意，得 3-a＞0，

a＞1，

8-2a≤a， 解得 8 3 ≤a＜3.故填答案：  8 3 ，3 .

分析：  这道题主要考查函数与数列的本质区别，即：函数的定义域为一切实数，而数列是特殊的函数，其定义域为n∈ N* 或其子集，由于学生对定义的本质缺乏思维上的深度理解造成错误.

正解：  由题意，得 3-a＞0，

a＞1，

f（2）＜f（3）， 即 3-a＞0，

a＞1，

8-2a＜a2， 解得2＜a＜3.故填写答案：（2，3）.

思维缺乏深度，一方面是概念的缺失，另一方面与思维习惯、方式、能力因素有关，有效利用思维缺乏深度的错误可以帮助学生训练思维的深刻性，让学生认识到思维质量的高低对决策的影响至关重要.

2.2  有效利用思维缺乏严谨的错误 培养学生思维的严密性

例3   若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为x+3y=0，则此双曲线的离心率为      .

错解：  设双曲线的标准方程为 x2 a2 - y2 b2 =1（a＞0，b＞0），由題意，得 b a = 1 3 ，∴e= c a = 1+  b a  2 = 1+ 1 9  =  10  3 .

分析：  错解的原因是学生没有把焦点在坐标轴上作为一个重要条件，仅考虑焦点在x轴上，从而漏解.

正解：  渐近线方程可写为y=- 1 3 x，当焦点在x轴上时，同错解，得e=  10  3 ；当焦点在y轴上时，可设双曲线的标准方程为 y2 a2 - x2 b2 =1（a＞0，b＞0），由题意，得 a b = 1 3 ，即 b a =3，∴e= 1+  b a  2 = 1+9 = 10 .故填写答案：  10  3 或 10 .

“丢三落四”看似粗心，实质上是思维不严谨所致，不严谨的思维往往会造成解题结果的遗漏或重复.有效利用思维缺乏严谨性的错误，可以训练学生思维的严密性、精确性和敏感性，纠正学生的思维偏差，培养缜密思考的好习惯.

2.3  有效利用思维惯性的错误 培养学生思维的理性、质疑精神

例4   设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S 3+S 6=2S 9，求数列{a n}的公比q.

错解：  ∵S 3+S 6=2S 9，

∴ a 1（1-q3） 1-q + a 1（1-q6） 1-q =2· a 1（1-q9） 1-q ，

整理，得q3（2q6-q3-1）＝0，

解得q=-  3 4  2 或q=1.

分析：  在错解中，学生习惯运用公式由 a 1（1-q3） 1-q + a 1（1-q6） 1-q =2· a 1（1-q9） 1-q ，忽略了等比数列的公比q也可能为1的情况.因此，在解题时应先讨论公比q=1的情况，再在q≠1的情况下，对式子进行整理变形.

正解 ：若q=1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1，

所以S 3+S 6＝9a 1，2S 9=18a，所以S 3+S 6≠2S 9，与题设矛盾，故q≠1.

由S 3+S 6=2S 9，

可得 a 1（1-q3） 1-q + a 1（1-q6） 1-q =2· a 1（1-q9） 1-q ，

整理，得q3（2q6-q3-1）＝0，

即（2q3+1）（q3-1）=0.

因为q≠1，所以q3-1≠0，所以2q3+1=0，解得q=-  3 4  2 .

惯性思维缘于经验依赖，或是应试模式的产物，告知式、满堂灌的教学方式会使学生在思维上逆来顺受，学生一路被教师牵着鼻子走，学生缺乏自己的学习空间，没有创造性，面对新问题很可能出问题.惯性思维即为惰性思维，也可以说没有思维，随意性很大，思维过程不严谨，态度不严肃.有效利用思维惯性错误可以培养学生理性意识和质疑精神，明晰思维方向，提高思维准度.

3  有效利用新旧交替形成的错误 帮助学生形成新规则

在新旧知识交替时最容易发生的错误是将旧知识不经甄别地移植到新知识体系过程中的负迁移，如：对数运算性质会出现 log  a （x+y）= log  a x+ log  a y等情况，这些错误发生了，学生也未必能察觉，所以要利用新旧知识交替形成的错误，让学生有所警醒，使学生形成正迁移.

例5   已知方程x2+（m+4 i ）x+1+2m i =0至少有一个实数根，求m的取值范围.

错解：  ∵方程至少有一个实数根，

∴Δ=（m+4 i ）2-4（1+2m i ）=m2-20≥0，

解得m≥2 5 或m≤-2 5 .

分析：  实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用.一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，学生盲目地搬用结论把它推广到复系数一元二次方程中，容易造成解法错误.

正解：  設a是方程的一个实数根，

则a2+（m+4 i ）a+1+2m i =0，

∴a2+ma+1+（4a+2m） i =0.

由于a，m都是实数，

∴ a2+ma+1=0，

4a+2m=0， 解得m=±2.

初高中知识的呈现有许多是交叉递进的，比如数系的扩充（引入复数），指数的运算（引入分数指数），实数的运算（引入向量的运算），平面几何（引入立体几何），新知识的引入，往往伴随着新规则的出台，学生往往认识不足，在接受新知识的同时依然沿袭旧的思维方式，对新规则难以接受，因此有效利用新旧知识交替的错误可以帮助学生树立新规则意识的同时，实现新旧知识的顺利交接.

4  有效利用观念未形成所犯的错误 培养学生形成正确的解题观

高中数学教育的宗旨就是培养学生正确的数学观念，所有数学行为都围绕这一中心话题，同时，从课程设置以及学生的认知规律来看，形成正确的观念最重要的时期就在高一，有效利用观念未形成所犯的错误，帮助学生树立正确的数学观念，是一个值得尝试的教学手段.

例6   求y= 2  sin 2x + 8  cos 2x 的最小值.

错解：  y=  2  sin 2x + sin 2x +  8  cos 2x + cos 2x -1≥2 2 +2 8 -1=-1+6 2 ，故y的最小值为-1+6 2 .

分析：  该题说明学生对基本不等式的一正二定三相等的解题观念还没有形成.在错解中，y=-1+6 2 的充要条件是

2  sin 2x = sin 2x，且 8  cos 2x = cos 2x，即 sin 2x= 2 ， cos 2x=2 2 ，显然这是不可能的.

正解 ：y= 2  sin 2x + 8  cos 2x = 2（ sin 2x+ cos 2x）  sin 2x + 8（ sin 2x+ cos 2x）  cos 2x =10+ 2  tan 2x +8 tan 2x≥10+2 16 =18，当且仅当 2  tan 2x =8 tan 2x，即 tan x=±  2  2 时，等号成立.故y的最小值为18.

我们要在学生未形成正确的解题观时多次强化学生，从而使其掌握正确的解题思路.

观念支配行动，也决定成败，没有正确的数学观念，学习就会迷失方向，有效利用在数学观念尚未形成时所犯的错误，可以极大地打开学生的思维，拓展学生的视野，帮助学生指点迷津，明辨是非，明确什么是正确的数学原理、思想和方法，学会如何思考问题，促进学生领会数学的本质，为后续学习做认识上的储备.

5 结束语

有效利用错误资源进行教学有助于学生正确理解概念，能培养学生的质疑精神和批判性思维，磨炼学习意志，激发学生兴趣，增强信心，提高认识的准度和思维的深度.有效利用错误资源进行教学，可以使学生对概念的认识更深刻，思维更严谨，观念更正确，最终获得良好的数学素养.

参考文献：

［1］ 郑锐.如何促进数学思维能力发展［J］.知识文库，2020（23）：35 36.

［2］ 胡桂仙.论初中数学教学中错题资源的有效利用［J］.数学学习与研究，2016（2）：22.