搭起“问题框架”，完善“概念教学”， 拓宽“解题思路”

赵娴静

摘 要： 问题是数学的心脏，在数学概念教学课堂上，教师应搭起问题框架：在问题引领下运用问题串的方式、逐层递进，引领学生进行更深入地思考，从而让学生真正成为学习的主人.本文以教材新增内容“复数的三角表示”为例，通过设置问题串，让学生的思维在问题串中浅入深出，完善概念教学、拓宽解题思路.

关键词：  问题框架；概念教学；复数的三角表示

苏教版高中数学必修二中，复数的内容占比不多，难度不大，在高考中也属于容易题，从而往往被一带而过.而新教材添加了“复数的三角表示”这一知识点，虽然它是选学内容，但不少学校都将其作为必学课时，而且在不少大学自主招生考试中也会涉及到.那么新教材为何要添加这部分内容？对于多年没有涉及这方面教学的老师，这个问题值得好好研究.本文从教学的必要性，课堂设计，综合运用及教学心得四个方面进行初步探讨.

1  教学的必要性

复数这一章的学习，是从解决“实系数一元二次方程，当 Δ <0时，在实数集范围内没有根”这一问题出发，进而提出数系需要扩充的问题.复数解决了数集运算的矛盾，其几何意义——平面向量则是形的直观反映.正是因为它和平面向量有着一一对应的关系，所以平面向量的模长等内容就可以类比复数的相关概念.

旧教材中，学生学习了复数的四则运算，了解了复数加减法的几何意义后，这一章的教学就戛然而止了.但一些爱思考的学生会追问：“复数的乘除法有没有几何意义呢？”

数学教育学的主要任务是促进学生思维的发展，数学教学应当强调思维的合理性和全面性.所以加入“复数的三角表示”这一知识点显得很有必要，它也为解决平面向量，三角函数和一些平面几何问题提供了一种重要的方法.

2  课堂设计

本节课的教学目标是复数的三角形式.“问题是数学的心脏”，问题解决是国际数学教育界很早就提出的主要口号.要想解决问题，首先要能够提出好问题，好问题源自学习者自身的内在需求，应该具有适度的思维挑战性.所以笔者用问题串的方式，将概念引入的必要性，定义的合理性讲清楚.

引言：前面学习了复数的四则运算，了解了复数加减法的几何意义，接下来你们想研究什么？

学生很自然地会问：复数乘除法有几何意义吗？这就是本节课要解决的问题，在预设的情境中，如何尽可能地让学生发现并提出问题，是需要教师研究的一个问题.因此，我们要设计好如何引导学生提出问题.一个有一定开放性和自由度的问题，能够给学生独立思考和主动探究留下足够的空间.

问题1     复数 z＝a＋b i （a，b∈ R ）可以由向量 OZ  的坐标（a，b）唯一确定.

我们回顾向量 OZ  的定义：既有大小，又有方向的量.

那么，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？

设计意图： 从复数的几何表示出发，将复数与向量类比，让学生尝试用类比的思想，定量刻画向量的大小和方向.

我们在教学中应该特别重视引导学生仔细辨识新的问题，了解新问题是如何由原来的基本问题通过一定变化生成的，从而就可通过相应思考方法或模式的适当变化顺利地解决问题.

问题2     向量的大小可以用向量的模表示，即 | OZ  |= a2+b2 ，那么向量的方向如何定义呢？

追问：同学们说了，向量的方向可以用角度来刻画.那么，在平面直角坐标系里，如何定义角度比较合适呢？

设计意图： 复数的辐角是本节的新知识，也是重点.当学生提出，方向可以用角度来刻画后，引导学生在平面直角坐标系里，回顾角的定义，类比出复数辐角的定义.这也是类比思想的体现.

问题3     复数的模和辐角确定了，复数是否唯一确定？

反之，复数确定了，复数的模和辐角是否唯一确定？

设计意图： 让学生从正反两方面分析，类比终边相同的角的表示方法，进而意识到，要使两者能够一一对应，需要在辐角的基础上，追加定义辐角主值，让学生感受数学概念产生的必要性，同时感受数学的严谨性.

问题4     学习了复数的三角形式后，请通过几个例子，来研究复数乘法的几何意义.

可以一般化吗？

追问： 复数乘法的几何意义.

设计意图： 这属于开放的“大问题”，在复数三角形式的基础上，留给学生足够的空间，让他们解决本节课开始时提出的问题.而在整个探究的过程中，教师预设让学生从具体复数出发，这也是一般学生能够达到的目标.后面的追问，则是为了让学生体会数学中十分重要的由具体到抽象的思维过程.

以上是本节课的问题链，在问题引领下，通过恰当的引导，追问，让学生的思维不断深入.

3  综合应用

在高考中，复数题的难度不大，一般不需要用三角形式来解决.但在大学自主招生和涉及旋转的综合题中，尝试用复数的三角形式来解决，可能更为简便，以下举两个例子.

例1    （2016中国科学技术大学自主招生题） 设复数 z 1，z 2满足|z 1|=2，|z 2|=3，|z 1+z 2|=4，  z 1 z 2 =      .

思路分析：因为条件涉及两个复数的模，所以可以考虑从三角形式入手，利用数形结合的思想来解决问题.

解： 不妨设 z 2＝3，在复平面内，设复数z 1，z 2 分别对应向量 OB  ， OA  ，則OA＝3，OB＝2，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB（如图），连接OC，AB，则 OC  = OA  + OB  ，即z 1＋z 2对应的向量为 OC  ，由平行四边形的性质得OC2＋AB2＝2（OA2＋OB2），将OC＝4，OA＝3，OB＝2代入，得AB2＝10，设∠AOB＝θ，θ∈（0， π ），在△ABC中，由余弦定理得 cos  θ= 1 4 ，则 sin  θ=  15  4 ，若点B在x轴上方，即B  1 4 ，  15  4  ，则z 1= 1 2 +  15  2  i .又z 2=3，所以 z 1 z 2 = 1 6 +  15  6  i .

同理，若点B在x轴下方，可以得到  z 1 z 2 = 1 6 －  15  6  i .

综上， z 1 z 2 = 1 6 ±  15  6  i .

例2   已知A，B是椭圆  x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）上两点，点A在第一象限，O为坐标原点，OA⊥AB. 若△OAB为等腰三角形（点O，A，B按顺时针排列），求 b a 的最大值．

思路分析：这是一道圆锥曲线题，如果用常规方法求解，计算量大且比较繁琐，这里不再赘述.换个角度，由于题中涉及“旋转”，可以尝试用复数的三角形式来解决.

解： 设 |OA|＝ρ，A（ρ cos  α，ρ sin  α），则 1 ρ2 =  cos 2α a2 +  sin 2α b2  ①，

设 z A＝ρ（ cos  α＋ isin  α），则z B= 2 ρ（ cos  α+ isin  α）  cos  －  π  4  + isin  －  π  4   ，

代入椭圆方程，得  1 2ρ2 =  cos 2 α－  π  4   a2 +  sin 2 α－  π  4   b2  ②，

由①②得 2   cos 2 α－  π  4   a2 +  sin 2 α－  π  4   b2  =  cos 2α a2 +  sin 2α b2 ，

化简，得 2（a2－b2） sin  2α－（a2－b2） cos  2α=a2+b2，

5  sin （2α－φ）= a2+b2 a2－b2 ，其中 tan  φ= 1 2 ，φ∈ 0，  π  2  ，

因为 α∈ 0，  π  2  ，所以 1  5  ·  a2+b2 a2－b2  ≤1，当且仅当α= φ 2 +  π  4 时，等号成立，此时， b a 取最大值， a2+b2 a2-b2 = 5 ，

所以  b a ≤  5 －1 2 ，即 b a 的最大值为  5 －1 2 .

从以上两个例题来看，无论是高校的自招考试，还是涉及到旋转的圆锥曲线综合题，用复数的三角形式来解决，不失为一种好的思路.

4  教学心得

本节课如果直接教授学生复数的三角形式，会显得有些突兀.因为学生已经学习了复数的表示方法：形如 z＝a＋b i （a，b∈ R ），如何想到复数还有三角形式？而从复数的加减法的几何意义，联想到乘除法是否有几何意义，再引出复数的三角表示就显得比较自然，这也是我们提出的“问题引领”.这正是体现了波利亚提出的“适当提问”对于学生解决问题能力的重要性.

适当提问还要提出好问题，没有好问题就无法诱发学生深入的数学思考，深度学习就不可能真正实现.好问题应当具有不断延展的可能性，也就是学生一眼看不到底的，但通过跳一跳，够一够又能获得的.学习了复数的三角形式，通过具体的实例，学生就可以归纳总结出复数乘法的几何意义，再将其一般化，这个过程就是培养学生从特殊到一般的抽象概括的能力.

在问题引领下，还要运用问题串的方式，逐层递进，即如何能让思维在问题串中浅入深出，把提问不断引向深入.从辐角到辐角主值概念的提出，就是数学上化多为少，化复杂为简单的体现.

教师不应满足于通过恰当的问题，帮助学生掌握相关的知識和技能，而应通过问题引领他们进行更深入地思考，并能逐步地学会思维，从而让学生真正成为学习的主人.

因此，不管是从知识结构的完整性考虑，还是在解题中的运用方面，补充学习复数的三角形式都显得很有必要.

参考文献：

［1］ 郑毓信.数学深度教学的理论与实践［M］.南京：江苏凤凰教育出版社，2020.

［2］ 于道洋，宁连华.试论墨家精神及其对数学教育的启示［J］.数学教育学报，2021，30（5）：87 91.

［3］ 单墫.解题研究［M］.上海：上海教育出版社，2013.