浅谈数学思想方法在幂的运算中的渗透

沈磊

【摘要】在数学学习中，学习基础知识的重要性是毋庸置疑的，而数学思想方法的学习也十分重要.掌握数学思想方法不但可以解决一类问题，而且可以培养数学思维.在幂的运算一节，渗透着许多重要的思想方法.

【关键词】幂的运算；数学思想；初中数学

初中数学中幂的运算是整式一章中的基本运算，涉及的运算比较丰富，例如加减乘除和乘方运算，再加上括号，一些学生学习时有些眼花缭乱，做题时无从下手，或者毫无根据的随意计算，数学思想方法的学习有利于对这一节内容从整体上进行把握.在笔者阅读的一些文献中，略有数学思想方法在幂的运算中的渗透[1-2]，经过笔者的总结，这一节涉及的数学思想方法主要有整体思想、转化思想、逆向思维方法等.

1 整体思想

例1 已知5m=2，5n=3，求53m+2n+1.

分析 由已知条件，在初中阶段无法求出m和n的值，分析所求与已知的关系，根据53m=（5m）3，发现53m+2n+1=53m×52n×5=（5m）3×（5n）2×5，从而整体代入求解.

解 因为53m+2n+1=（5m）3×（5n）2×5，

所以53m+2n+1=（5m）3×（5n）2×5

=23×32×5=360.

例2 xm=3，ym=2，求（x2y）m+x2m+y3m的值.

分析 本题中x、y、m的值都无法求出，所以考虑整体代入求值.

解 因为（x2y）m+x2m+y3m=（xm）2·ym+（xm）2+（ym）3，

所以（x2y）m+x2m+y3m

=（xm）2·ym+（xm）2+（ym）3

=32×2+32+23

=18+9+8=35.

点评 整体思想是一种重要的数学思想，无论是数还是式的运算，整体思想都不能忽视，运用整体思想可以避开某些未知数的求值问题，将条件中的式子作为整体代入到代数式中求值，这一思想在整式一章的其他小节也有体现.

2 转化思想

例3 已知a=255，b=344，c=433，试比较a、b、c的大小.

分析 本题如果想要通过求出具体值比较大小，显然数字过于庞大，无法解决，观察数字55，44，33都是11的倍数，把11作为指数，转化为同指数幂，比较底的大小即可.

解 因为a=255=25×11=（25）11=3211，

b=344=34×11=（34）11=8111，

c=433=43×11=（43）11=6411，

又因为32<64<81，

所以a

例4 已知a=8131，b=2741，c=961，试比较a、b、c的大小.

分析 由于幂比较大，直接计算很不现实，观察发现81，27，9都可以转化为3为底数的幂，这样只需要比较指数的大小即可.

解 因为a=8131=（34）31=3124，

b=2741=（33）41=3123，

c=961=（32）61=3122，

又因为122<123<124，

所以c

点评 比较某些幂的大小时，对某些问题计算出具体数值再比较是不切实际的，转化为同底数幂或者同指数幂可以有效地降低运算复杂程度[3]，快速地比较出大小，这种转化思想的运用使得复杂的问题简单化，转化与化归思想是解决数学问题的基本思想.

3 逆向思维

分析 在学习幂的运算法则之前，根据幂的含义把算式分解为一系列数乘积的形式，通过约分也可以计算出结果，计算较复杂，需要经过多次约分计算，但学习了幂的运算法则（ab）n=anbn，逆向使用可以降低计算复杂程度.

=25×（－5）6

=25×（－5）5×（－5）

=［2×（－5）］5×（－5）

=（－10）5×（－5）

=－100000×（－5）=500000.

例6 求32005×72006×52006的个位数字.

分析 把这个算式的计算结果求出是不切实际的，我们需要注意某些数字相乘的尾数特征，例如任意多个尾数是1的整数相乘结果尾数仍然是1，任意多个尾数是5的整数相乘结果尾数仍然是5等.

解  32005×72006×52006

=32005×72005×52005×7×5

=（3×7×5）2005×35

=1052005×35，

因为2005个105相乘的尾数是5，再乘以35之后的尾数仍然是5，所以原算式计算结果的个位数字是5.

点评 以上两个例子都涉及幂的运算法则（ab）n=anbn的逆向使用，对于运算法则，学生们往往记住正向使用，而运算法则是双向的，法则的逆向使用有利于逆向思维方式的培养和思维方式的转变，数学是培养人的思维的学科，在数学学习中培养和锻炼思维是学习数学的根本要求.

4 结语

以上僅仅是数学思想方法在幂的运算中体现的几个例子，对于初中数学，无论是教师的教还是学生的学，现阶段还是侧重于知识点和解题的方法，对其中所蕴含的数学思想方法重视程度往往不够，这对学生今后的学习是不利的，仅仅掌握知识点和解题方法虽然在学生的应试水平上有帮助，但达到某个水平之后很难再提升，这主要还是缺乏数学思想方法的掌握.日常教学中，教师在讲授或探求方法的同时，应注意数学思想方法的渗透，提升学生的思维品质，对学生后续的学习会有很大的帮助.数学的学习不仅要掌握方法，也要领悟其中蕴含的数学思想.

参考文献：

[1]张丽.幂的运算中的思想方法[J].中学生数理化（八年级数学）（配合人教社教材），2021（11）：6-7.

[2]曹阳.转化思想与幂的运算[J].初中生世界，2019（09）：46.

[3]胡娟.幂运算法则的灵活应用[J].初中生辅导，2019（Z1）：94-96.