甘志国
(北京丰台二中,北京 100071)
图1图象
图2图象
由以上解答及图1,可以完整解答以上诸问(可先猜后证:先求出两个焦点坐标,再用双曲线的定义证明该曲线是双曲线).
由后文定理1及图1,还可得到下面的结论:
(2)令
①
下面给出四种证法.
②
由B>0,x>0及均值不等式,可得
③
由B>0,x<0及均值不等式,可得
④
再参见图1,可证得欲证结论成立.
证法2把②式两边两次平方,得
xy=Ax2+B(x2+y2≥4AB,B>0).
由均值不等式,可得
再参见图1,可证得欲证结论成立.
两边平方,得
两边再平方,得
⑤
在该推导过程中:第二次平方是等价变形,第一次平方还不能确定是否是等价变形.所以还需证明⑤⟹②.
再由结论④及③,可得
②的左边
再参见图1,可证得欲证结论成立.
=±2β,
而可证得
证明同定理1的证明.