基于核心素养的数学课堂教学

陈煜舟

【摘要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》颁布后，“如何将核心素养真正落实到课堂教学中”成了诸多教师、学者热烈讨论的话题.本文通过“二次函数中与角有关的存在性问题”这节专题课的教学，以小见大，将数学思想渗透于学生的数学活动中，以培养学生的数学核心素养，让学生学有所得.文章应用新课标引领教育新生态，采用“巧设问题，体验由繁化简；对比探究，悟得方法优劣；变化局部，调动类比思维；探本寻源，发展建模素养；以编促学，统筹知识全局”等策略，旨在将核心素养真正落实到数学课堂，让学生在分析和思考问题的过程中感悟转化、对比、类比等数学思想方法，提炼出思维精华，发展建模素养，在开放性的问题中打破知识的壁垒，建立联系，从而通过教学活动实现数学教育的育人功能.

【关键词】数学活动；数学思维；核心素养

一、新课标引领教育新生态

2022年4月21日，教育部颁布了《义务教育数学课程标准（2022年版）》，标志着我国以核心素养为导向的新一轮课程改革拉开了序幕.从“双基”到“三维目标”，再到现在以“核心素养”为本位，数学教学把核心素养的培育作为主要教学目标，使义务教育呈现出新的面貌，也使数学学科独特的育人价值不断地体现出来.初中阶段，学生的数学学习需要掌握很多显性的表层知识，如一些概念、性质、公式等.新课标更加关注数学思维的形成、活动经验的积累、理想信念和价值观的引领，让学生在与周围环境产生相互作用时具备良好的数学核心素养.接下来，笔者以“二次函数中与角有关的存在性问题”这节专题课的教学为例，阐述如何将核心素养的培养贯彻到数学教学中.

二、核心素养落地数学课堂

（一）巧设问题，体验由繁化简

首先，学生会画一个草图了解点P的大致位置（如图2），但经过尝试会发现直接求点P的坐标比较复杂.因此，教师抛出一个简单清晰的问题“点P的位置在哪里”，以合适的问题引导学生观察点P的位置：点P在抛物线上，也在直线CP上.这便让学生意识到：要求点P的坐标，可以先求直线CP的解析式.这是解决该问题最关键的一步.

这一巧妙的设计开拓了学生的思路，使学生能通过观察点的位置主动推理出解决问题的方法.因此，教师应通过巧设问题引导学生分解、转化综合问题，为学生提供思维的阶梯.

按照上述解题思路，大问题分解成了相对简单的小问题，由难到易，由繁化简.教师应有意识地向学生揭示这里利用了转化的数学思想，将数学思想加以明确.

（二）对比探究，悟得方法优劣

在求旋转后的直线解析式时可以发现只有一个点C的坐标是已知的，因此还需确定这条直线上另一点的坐标.那么如何选取这个点呢？教师让学生合作讨论后再分享各自的做法.有的小组提出：过点A向l1作垂线，交l1于点D（如图4），然后求垂足D的坐标；也有小组认为：过点A向AC作垂线，交l1于点D（如图5），然后求点D的坐标.还有一些类似的方法这里不一一赘述.

接着，教师引导学生回忆求点的坐标的常用方法：向x轴或y轴作垂线.学生马上联想到可通过构造“k型全等”求出点D的坐标.为了更好地让学生感受“构造”这一数学方法，教师请学生将解题方法进行对比，可以发现两种方法都构造了“k型全等”，即把倾斜着的难以解决的线段转化为横平竖直的线段，从而转移了线段长度，求出了点的坐标，这是一种大家常用的化斜为直的构造方法.但两种方法有繁易之分，所以教师进一步请学生分析两种方法的不同之处：图4中的解题过程比较烦琐，需要设未知数，图5可直接求解.教师继续引导：造成这种区别的主要原因是什么呢？学生通过观察发现，图4中由于点D未知，Rt△EDC与Rt△FAD的直角边都是未知的，所以需要设未知数；而图5中点A是已知的，Rt△AOC的两条直角边都已知，因此可以直接求解.两种思路的比较让学生感悟到：在解决此类问题时，应尽可能地选择以已知点为直角顶点构造“k型全等”.

在这一过程中，学生由浅入深、由表及里，在对比中主动地“悟”出解决这个问题的好方法.教师的启发引导、小组的相互合作、班级的分享互动，改变了传统的“教师教，学生学”的教学模式，构建了以学生为中心的课堂.

（三）变化局部，調动类比思维

考虑到正切值的利用应该放在直角三角形中，学生经过观察、分析能迅速类比得出此类问题的解决思路，依然可以作垂直构造“k型相似”，并且模仿较简单的辅助线构造方法，即以点A为直角顶点构造“k型相似”.

角度的一般化同时带来了“k型全等”到“k型相似”的变化，教师通过列举一个一般化的例子，调动起学生的类比思维，让学生在以后接触到其他一般化的角度时也能得心应手地解题，这为后续归纳解题步骤做好了铺垫.

（四）探本寻源，发展建模素养

此时，学生对本节课的第一个难点有了初步的理解，但是教师不需要急着展开后面的内容，应该给予学生充分的时间，小结解决问题的步骤，归纳图形的共同属性.教师引导学生观察图形中的已知信息：直线AC是已知的，点A，C为已知点，旋转角度α也是已知的.列举出已知信息之后，教师请学生思考要求的是什么，并将已知信息与所求内容用语言组织起来，进行口头完整叙述.问题是：“已知直线AC绕点C旋转一个角度α，其中点A，C是已知点，旋转角度α已知，如何求旋转后的直线解析式？”解法是：“应该尽可能以已知点A为直角顶点构造‘k型相似，再求点D的坐标，最后求直线解析式.”

将思维的结果用文字语言表达出来，可以帮助学生梳理解题脉络，并锻炼他们的表达能力，也能辅助教师及时获得学情，让教师了解学生是否观点明确、条理清晰，是否具有丰富的数学语言系统，从而调整教学策略.

为了将信息多方面地呈现给学生，教师请学生用图示的方法明确解题思路，进一步把抽象的文字语言转化为具体、直观的图示信息（如图6）.

接下来，教师带领学生“回头”看课堂开始时提出的问题.通过前后比较，学生能够很容易找出两幅图关联的地方，即有两条相同的直线，因此可将求二次函数上动点的坐标转化为求抛物线与直线的交点.至此，这个问题便迎刃而解.这时，教师就可顺势引出本节课研究的专题“二次函数中与角有关的存在性问题”.

自然的过渡强化了学生的解题思路：对于这类二次函数中与角有关的存在性问题，需要先求旋转后的直线解析式.接下来，教师请学生完善图6的步骤（如图7）.

就如初中数学一开始先学习具体的有理数加减乘除、再学习用字母表示数一样，学生总能慢慢地从特殊的数据处理中得出具有普遍意义的结论.在本节课上，教师通过具体的语言归纳以及直观的图示两种策略，让学生对于这类问题的解决脉络逐渐清晰化，建立起这类题目的解题模型，达到对这类问题的深度认知目标，将知识尽快地转化为学生的能力.

（五）以编促学，统筹知识全局

在应用部分，教师让学生模仿例题，合作编题，并讨论解决.具体过程如下：

教师：这个角度可以为45°，在相同的题目条件下，根据我们研究的内容，还可以怎样编题呢？

生1：在抛物线上是否存在点P（在AC上方），使得∠ACP=30°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

生4：问题也可以改成：在抛物线上是否存在点P，使得∠ACP=∠BCO？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

教师在此处可进行适当的停顿，并引导学生发现这是一道什么类型的题目，从而引导学生总结出：对于二次函数中一个角等于已知角的问题，也可以用类似的方法求解.

由角相等也可以联想到相似，所以也会有学生做下面的联想.

生5：在抛物线上是否存在点P，过点P作PD⊥AC，垂足为D，使得△CPD∽△CBO？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

生6：在抛物线上是否存在点P，过点P作PD⊥AC，垂足为D，使得△CPD与△CBO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

思维比较发散的学生也能想到更换角的顶点.

生7：在抛物线上是否存在点P，使得∠CAP=∠BCO？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

生8：在抛物线上是否存在点P，使得∠ACP=∠ACO？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

在这种情况下，AC是∠OCP的平分线，所以也可以利用角平分线加平行推导出等腰三角形来解决.一题多解的具体方法可以留给学生课后思考.

如果此时学生觉得提问题有难度，那么教师可以继续引导学生思考：两个角还可能有什么关系？是互余、互补或两倍角吗？

生9：在抛物线上是否存在点P，使得∠PCA与∠CAO互余？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

这一环节实际上检验的是学生对这类问题是否真正建立起了数学模型，即是否都能转化为今天课堂开始时提出的问题.开放性的编题活动促使学生全身心地参与课堂活动，让学生在自己创造性的思考以及聆听他人想法的过程中感受这类问题的特点，强化了对这类问题的认知，突破了“就题论题”的弊端.以后碰到类似的问题时，学生就能迅速将新问题转化为旧问题，自身的数學思维得以提升.

教师的例题是一个“纲”，学生通过讨论将一个问题进行发散，将已有的知识进行串联、积累、加工，主动地进行一种更高难度的思维活动，是一种立足于整体的学习.在这一过程中，教师只需要扮演点拨者的角色，在学生有困难的时候帮助其将知识点牵桥搭线，建立起宏观的数学观念.

课堂最后，教师拓展布置了一道题：“在相同的条件下，在第四象限是否存在点P，点Q在PB的延长线上，满足∠CBQ=∠CAB+45°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.”这道题也涉及两个角度之间的关系，改编自一道中考题.学生通过课后思考巩固本节课所学知识及思想方法，链接了中考.同时，教师可以通过这道题检验学生的习得情况，对学生今日所学做出评价.

三、数学活动变革学科育人

《义务教育数学课程标准（2022年版）》坚持了以往课标中对于数学基本属性的描述，即“数学是研究数量关系和空间形式的科学”，还明确提出：“数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系；基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律.数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言.数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分.”

以这节专题课作为“数学”的典型代表，学生学会了如何解决这类问题，在分析图形的过程中感悟到了转化、对比、类比等数学思想方法，同时经历了文字语言、图形语言的抽象归纳过程，提炼出思维精华，发展了建模素养，最后在开放性的问题中打破了知识的壁垒，建立了联系.这些真实、深刻的数学活动让学生的学习变得更有价值，学生在潜移默化中感悟到数学是什么，具备了认识世界的一种“眼光”、思考世界的一种“方式”、表达世界的一种“语言能力”.正如著名的数学家波利亚所说，“完善的思想方法犹如北极星”，许多人通过它找到了正确道路，从“解题”学会“解决问题”，从“做题”学会“做人做事”，以期学生之所学终身受用.

【参考文献】

[1]义务教育数学课程标准修订组.聚焦核心素养 指向学生发展：义务教育数学课程标准（2022年版）解读[J].基础教育课程，2022（10）：12-18.

[2]史宁中.核心素养统领的数学教育：《义务教育数学课程标准（2022年版）》修订的理念与要点[J].小学教学（数学版），2022（07）：4-12.

[3]陈华忠.《义务教育数学课程标准（2022年版）》“新”在何处[J].课程教材教学研究（小教研究），2022（07）：7-10.