如何比较两个不同底数的对数函数式的大小

沈海翔

比较对数函数式的大小问题常以选择题或填空题的形式出现，侧重于考查同学们对对数函数的单调性、图象以及运算性质等知识的掌握情况.比较对数函数式的常用思路是利用对数函数的单调性.而对于不同底数的两个对数函数式，往往需通过作差、取中间值、指对数互化来比较其大小.

一、取中间值

中间值法是通过取一个中间数来比较两个对数函数大小的方法.当无法直接比较出两个对数函数的大小时，可先确定两个函数式的取值范围；然后引入一个合适的中间量，将这两个对数函数式分别与中间量相比較；再根据不等式的传递性得出结论.

观察三个对数式，可发现这三个对数函数的底数和真数各不相同，我们无法直接根据函数的图象和单调性得出结论.于是用取中间值的方法来比较三个函数式的大小，即先以1为中间值，比较a与b、a与c之间的大小；然后根据对数函数的单调性来比较b与c的大小.

二、利用指数函数的性质

比较不同底数的两个对数函数式时，可以通过指对数互化，将对数函数化为指数函数，利用指数函数的性质进行比较.

三、作差

当要比较的两个对数函数式的真数相同，但底数不同时，可以通过作差来进行比较.先利用换底公式，将这两个对数函数换成相同底数的函数式；然后将两式相减，并根据对数函数的运算性质对其进行化简，最后将所得的结果与0比较，即可得出结论.

无论是运用中间值法、作差法，还是利用指数函数的性质比较不同底数的两个对数函数的大小，都需灵活运用对数函数的单调性、运算性质.这就要求同学们熟练掌握对数函数的单调性、运算性质，以顺利解题.

（作者单位：江苏省大丰区南阳中学）