求解多元最值问题的几种措施

张丽惠

多元最值问题通常较为复杂，这类问题中往往涉及了多个变量，无法直接利用函数的性质求得最值，需充分利用题目中关于变量的关系式进行合理的转化、变形、构造，从而求得最值.下面就以一道多元最值问题为例，谈一谈解答此类问题的措施.

例题：若实数 a，b，c 满足 a+b+c=0，a 2 +b 2 +c 2 =1，求 a 的最大值.

解答本题，需先将已知关系式和所求目标式关联起来，将已知关系式进行合理的变形、转化、构造，主要有以下几种解法.

一、利用基本不等式

二、利用函数思想

运用函数思想解答多元最值问题，需将多元变量中的一个看作函数的自变量，把不等式、等式看作函数式.然后判断出函数的单调性，利用函数的单调性来求函数的最值，从而求得问题的答案.在利用函数思想解题时，要先根据已知条件和代数式的意义来确定函数的定义域.

三、利用判别式法

判別式法是解答二次最值问题的重要工具.在求解多元二次最值问题时，可先选取其中一个变量为主元，构造一元二次方程；然后根据方程有解，建立关于判别式的不等式，即 Δ≥0 ；解该不等式即可解题.利用判别式法解答最值问题，能转换解题的思路，大大减少运算量.

四、三角代换

三角代换法是求解二元最值问题的重要方法.在求解多元最值问题时，可选取其中两个变量用三角函数替换，进而将目标式转化为三角函数式，利用三角函数的有界性和单调性求最值.通常可根据同角的三角函数关系式 sin 2 θ+cos 2 θ=1 将变量进行替换.

由此可见，无论是运用哪种方法求多元最值，都需注意以下几点：（1）将代数式进行合理的变形；（2）进行合理的消元，以减少变量的个数；（3）将问题与函数、方程、不等式等关联起来，运用这些知识解题；（4）灵活运用数学思想，如函数思想、方程思想、转化思想等.

（作者单位：福建省漳州市龙文区龙文中学）